湖南省岳阳市2015届高考信息卷数学（文）试题 Word版含答案.doc

1、 开始i=0,s=1i4? i=i+1s=s+ 1()i输出 s结束是否图 1岳阳市 2015 届高考信息卷（文数）时量：120 分钟 满分：150 分一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1若复数 ， 为虚数单位， 则 = Bzi2zA B C Dii112设 集合 ，则 B2|90,|4xxAA B C D 3,4(133,),33若 为实数，则“ ”是“ ”的 AabbabA充分不必要条件 B必要不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件4设函数 和 分别为 R 上的奇函数和偶函数，则下列结论恒成立的是 D(

2、)fxgA 为奇函数 B 为奇函数 |()fxgC 为偶函数 D 为偶函数+5已知等差数列 的公差 ，且 ，na0d312a则 的值为 C1324A B C D65436执行如图 1 所示的程序框 图，输出的 s 的值为 AA B C D957416457在钝角 中,若 ， ，2A且 ,则 D1ABCSA B C D210108已知某几何体的三视图都是全等的等腰直角三角形，直角边长为 1，如图 2 所示， 则该几何体的表面积是 AA B 122C D 619已知抛物线的方程为 ，过其焦点 的直线24yxF与抛物线交于 、 两点，且 ， 为坐标原点，AB|3AO则 的面积和 的面积之比为 DOF

3、正视图 侧视图俯视图图 2A B C D1233210在 中，点 满足 ，当 点在线段 上移动时，CD4EA若 ，则 的最小值是 CEA2(1)tA B C D3108490418二填空题：本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分把答案填在答题卡中对应题号后的横线上11某校有老师 320 人，男学生 2200 人，女学生 1800 人现用分层抽样的方法从所有师生中抽取一个容量为 的样本；已知从女学生中抽取的人数为 45 人，则 = 108 n n12在极坐标系中，已知直线 过圆 的圆心，则 =_1_(sinco)a2cosa13已知 的半径为 4，在圆 内任取一点 ，则点 到圆心 的距

4、离大于 1 且小于 2 的概率OOPO为 _3/16_14设 满足约束条件 ，若目标函数 的最大值为 4，则,xy3602,xy(0,)zaxby的最小值为 12 32ab15已知函数 满足 ，且 时， ，则当()yfxR()2)fxf1,x()|1fx时， 与 的图象的交点的个数为 9 .9,0,xy13log|三 、 解 答 题 （ 本 大 题 共 6 小 题 ， 共 75 分 解 答 应 写 出 必 要 的 文 字 说 明 、 证 明 过 程 或 演 算 步 骤 ）16 （本小题满分 12 分）已知函数 的最小值为 ,且)0,(cssin2)( mxxf 2图象上相邻两个最高点的距离为

5、（）求 和 的值；m（）若 ，求 的值)43,(,56)2(f )8(f解：（）函数 ，所以 sin2xx 2,2)(min mxf3 分又由已知函数 的最小正周期为 ，所以 ， 6 分)(f2T（）有 （）得 ，所以)42sin(x6()sin(),45f， ， 53)4sin(3,28 分24cos()1sin()45, 10 分10274sin)co(sin )si(2in24)8(2sn)8( f12 分5107217 （本小题满分 12 分）省教育厅为了解 该省高中学校办学行为规范情况，从该省高中学校中随机抽取 100 所进行评估，并依据得分（最低 60 分，最高 100 分，可以是

6、小数）将其分别评定为A、B、C 、D 四个等级，现将抽取的 100 所各学校的评估结果统计如下表：评估得分 60,70) 70,80) 80,90) 90,100 评定等级 D C B A频率 m 0.62 0.32 2m（）求根据上表求 m 的值并估计这 100 所学校评估得分的平均数；（）从评定等级为 D 和 A 的学校中，任意抽取 2 所，求抽取的两所学校等级相同的概率 .解（）由上表知： 20.631 2 分.设 所学校评估得分的平均数为 ，则10x分. 5 分65.7.85.90.478x（）由（1）知等级为 A 的学校有 4 所记作： ；等级为 的学校有 所记作：1234,xD2从

7、 中 任取两所学校取法有 、 、 、 、2,y13412,xy12,13,x14,x23,、 、 、 、 、 、 、 、 、412,xy1,y2y1、 共 种. 9 分2,x12,5记事件 为”从 中任取两所学校其等级相同” ，则事件 包含的基本事件有E3412,x E、 、 、 、 、 、 共 个12,1, 3x24,x34,12,y7故 .12 分()P7518 （本题满分 12 分）如图，在四棱锥 中， 平面 ，四边形 为平行四边形， ，PABCDPABCDAB1AB， ，点 在 上， 2BC45EP（）证明：平面 平面 ；（）若二面角 的大小为 ，求异面直线 与 所成角的大小150（第

8、 19 题图）【解析】 （） ， ， ， 1AB2C45AB ， ， ，22cos1C=+-=CABC ， ，/D 平面 ， ，又 ，PPPI 平面 ， 平面 ， ，EDE ，又 ，EI 平面 ，A又 平面B平面 平面 . 6 分C（）如图，以 为原点， ， ， 所在射线分别为 x，y，z 轴的正半轴，AP建立空间直角坐标系 Axyz，设 ， ， ， ， ，t(0,)(1,0)B(,10)C(1,0)D（ ）.(0,)Pt ， ， ， 平面 ，ABEPBEAE平面 的一个法向量为 . (,1)ntru ， .设 ，C21tACP ， 2sin1tcost . (0,)tE设平面 的一个法向量为

9、 ， ， ，AD(,)mxyzur 2(0,)1tAEur (1,0)ADur ，令 ，得 . 2201ttyzx1,)t二面角 的大小为 ，BE5 ，解得 .2| 3|cos, |cos50|21nmtrur 2t在 中， ， ， . RtPCD3CD6P ，异面直线 与 所成角为 ，/APABC异面直线 与 所成角的大小为 12 分619. (本小题满分 13 分)某企业投入 81 万元经销某产品，经销时间共 60 个月，市场调研表明，该企业在经销这个产品期间第 个月的利润函数 （单位：万元） 为了获得更多的利x1, 20N*,60xfx润，企业将每月获得的利润再投入到次月的经营中记第 个

10、月的利润率为x，例如 gx第 个 月 的 利 润第 个 月 的 资 金 总 和 33812fg（）求 ；及第 个月的当月利润率；10x（）求该企业经销此产品期间，哪一个月的当月利润率最大，并求出该月的当月利润率【解析】 （）依题意得 ，12391fff 3 分101108290fgf当 时， x当 时， ，则211ffxf，880xgff而 也符合上式，故当 时， 1x2gx当 时，260812011fgxf ffx ，2181 6002xffxx ，第 个月的当月利润率为 8 分x21,08,66xgx（）当 时， 是减函数，此时 的最大值为 120180xg1g当 时， ，26x2 206

11、791gx当且仅当 ，即 时， 有最大值为 1040*xNg， 当 时， 有 最大值为 ， 2798279即该企业经销此产品期间，第 40 个月的当月利润率最大，其当月利润率为 13279分20. (本小题满分 13 分)设抛物线 的焦点为 ，点 ，线段 的中点在抛物线上. 设动直线2(0)ypxF(0,2)AFA与抛物线相切于点 ，且与抛物线的准线相交于点 ，以 为直径的圆记为:lkmPQP圆 C（）求 的值；（）证明：圆 与 轴必有公共点；x（）在坐标平面上是否存在定点 ，使得圆 恒过点 ？若存在，求出 的坐标；若不MCM存在，说明理由【解析】 （）利用抛物线的定义得 ，故线段 的中点的坐

12、标为 ，代入方(,0)2pFFA2(,)4p程得 ，解得 . 2 分124pp（）由（）得抛物线的方程为 ，从而抛物线的准线方程为 ，2yx12x由 得方程 ，2yxkm20kym由直线与抛物线相切，得 ，12k且 ，从而 ，即 ， 1yk21xk(,)Pk由 ，解得 ， 12x2(,)Q 的中点 的坐标为 ，圆心 到 轴距离 ，PC213(,)4kCx223()4kd，2221()kQ 222213()()44kkd 21()0圆 与 轴总有公共点. Cx(或 法二：由 ， ，以线段 为直径的方程为:21(,)Pk2(,)QkPQ2) 0xy令 得 0y2214xk，所圆与 轴总有公共点）.

13、 8 分22(3)() 0kk x（）假设平面内存在定点 满足条件，由抛物线对称性知点 在 轴上，MMx设点 坐标为 ， 1(,0)x由（）知 ，2Pk2(,)Qk .11(,),Mxx由 得，0212()0kk ，即 或 22114kxx12平面上存在定点 ，使得圆 恒过点 . 13 分(,)CM证法二：由（）知 ， ， 的中点 的坐标为21,Pk2(,)kQPC213(,)4k，221()()kPQ圆 的方程为 ， C22221311()()()()44kkkxy整理得 ，2220yxy上式对任意 均成立，0k当且仅当 ，解得 ， 22100xy120xy平面上存在定点 ，使得圆 恒过点

14、. 13 分1(,)2MCM21. (本小题满分 13 分)已知函数 (sinxfe.（）求函数 的单调区间；（）如果对于任意的 0,2， ()kxf 总成立，求实数 k的取值范围；（）设函数 ()cosxFxfe， . 过点 1(,0)2M作函数20135,()x图像的所有切线，令各切点的横坐标构成数列 nx，求数列 nx的所有项之和 S的值.【解析】 （）由于 ()inxf，()sincos(cos)2si()4xx xfeee.当 2,)4k，即 3,4k时， 0fx；当 (2x，即 7()xk时， (). )f的单调递增区间为 (,)k，单调递减区间为 372,)4k(kZ. 4 分（

15、）令 ()sinxgxfe，要使 ()fxk总成立，只需 0,x时min0.对 求导得 ()cosg，令 ()scoxhe，则 20xh，( ,)2) 在 ,2上为增函数， ()1,e.对 k分类讨论：当 1时， ()0gx恒成立， ()gx在 0,2上为增函数， min()(0)gx，即()0gx恒成立；当 21ke时， ()0gx在上有实根 0x， ()h在 0,2上为增函数，当 0(,)x时， ， ()g，不符合题意；当 2时， (恒成立， 在 (,)上为减函数，则 ()0gx，不符合题意. 综合可得，所求的实数 k的取值范围是 ,1. 8 分（） ()cos(incos)xxFxfex， ()2cosxFe，设切点坐标为 00,(in)，则斜率为 0f，切线方程为 02(xye，将 1(,)2M的坐标代入切线方程，得 0 01sic)cs()2xex001tan()2x，即 0tan(2x，令 1y， yx，则这两个函数的图像均关于点 (,0)对称，它们交点的横坐标也关于 对称成对出现，方程 tanx， 2103,x的根即所作的所有切线的切点横坐标构成的数列 的项也关于 对称成对出现，在 内共构成 1007 对，每对的和为 ，20135,x因此数列 n的所有项的和 . 13 分107S