扩频系统使用的伪随机码PN码.DOC

1、86(b)第六章 扩频系统使用的伪随机码（PN 码）在扩展频谱系统中，常使用伪随机码来扩展频谱。伪随机码的特性，如编码类型，长度，速度等在很大程度上决定了扩频系统的性能，如抗干扰能力，多址能力，码捕获时间。6.1 移位寄存器序列移位寄存器序列是指由移位寄存器输出的由“1”和“0”构成的序列。相应的时间波形是指由“1”和“-1”构成的时间函数，如图 6-1 所示。图 6-1 （a）移位寄存器序列（b）移位寄存器波形移位寄存器序列的产生如图 6-2 。主要由移位寄存器和反馈函数构成。移位寄存器内容为 或 1，反馈函数的输入端通过系数与移位寄存器的各级状态相),(21nxf联（ ）输出通过反馈线作为

2、 的输入。移位寄存器在时钟的作用下把)0通或断ic 1x反馈函数的输出存入 ，在下一个时钟周期又把新的反馈函数的输出存入 而把原 的1 1x1内容移入 ，依次循环下去， 不断输出。2xn根据反馈函数对移位寄存器序列产生器分类：(1)线性反馈移位寄存器序列产生器（LFSRSG）：如果 为 的模 2 加。),(1nxf nx,1(2)非线性反馈移位寄存器序列产生器（NLFSRSG）：如果 不是 的模 2 加。例 1： LFSRSG：n=4， 4314321),(xxf (a)1 1 1 1 0 1 0 1 1 0 0 1 0 0 0 1 1 1 1 0图 6-2 移位寄存器序列生成器),(21nx

3、xf输出1234n反馈线移位寄存器cc时钟87共 16 个不同状态，1111，0000 为死态，每个状态只来自一个前置态。例 2： LFSRSG：n=4， 4143214321 ),(,0, xxfcc 设初态为: ，则移位寄存器状态转移图如下：1,1,4321xx1x234x输出1111输出4cf00001111011110110101101011010110 1001001101000010000110001100111000001001010000101010010111100111001100011000110010110110110112388共 16 个状态，0000 为死态，共有

4、 15 个状态构成以 15 为周期的循环中，每个状态在一个周期中只出现 1 次。例 3： NLFSRSG：n=4， 414321),(xxf在 16 种状态中,1111,0000 为死态，且 0011，0001，0010，0000 可来自不止一个前置态。比较以上三例看出：(1)LFSRSG： 任一状态只来自一个前置态。NLFSRSG：有的状态来自不止一个前置态。(2)对 LFSRSG，例 1 中初态不同，则状态的转移路径也不同。例 2 中，对除“0”态以外的任一初态，状态转移路径均相同，且所经历的状态数为 ，即把除全“0”以外的1n状态全部穷尽。称此为最大长度线性反馈移位寄存器序列（简称 m

5、序列）。6.2 m 序列6.2.1 m 序列的性质(1)n 级 m 序列的长度为 ，m 序列的穷尽。如例 2： 。12nN 152,4nN(2)在 m 序列中，“1”的个数比“0”的个数多 1，即为 ，“0”的个数为)1(。如例 2 中有 8 个“1”，7 个“0”。)1(2(3)用宽度为 n 的窗口沿 m 序列滑动 N 次，每次移 1 位，除全“0”外，其它每种 n 位状态刚好出现一次。如例 2。输出c1c4x234xcf1011110111100111001100011111100111000110101001010010 01001000 000089(4)在 m 序列中定义连续相同的一

6、组符号为一个游程，把该相同符号的个数称为游程长度，则对任一 m 序列有：a) “1”的长度为 n 的游程只有 1 个,“0”的长度为 n 的游程为 0 个。如例 2 中有一个“1111”,无“0000”。b) “1”的长度为(n-1)的游程为 0 个,“0”的长度为(n-1)的游程为 1 个。如例 2 中有一个“000”,无“111”。c) “1”的长度为(n-2),“0”的长度为(n-2)的游程各为 1 个。如例 2 中有一个“11”，一个“00”。d) “1”的长度为(n-3),“0”的长度为(n-3)的游程各为 2 个。如例 2 中有二个“1”，“1”，二个“0”，“0”。e) “1”的

7、长度为(n-4),“0”的长度为(n-4)的游程各为 4 个。例 2 中无法验证。f) “1”的长度为 k,“0”的长度为 k 的游程各为 个,其中 1 k n-1, 2knbnka如如 ,1(5)一个 m 序列与该序列的任意位相移后的序列模 2 加后仍为具有某种相移的该 m 序列。此性质为线形叠加性。(6)自相关函数是周期性的，双电平。 lNkkNlRAC且 ,21,0.)(为归一化自相关函数。定义：在每个序列周期内“0”与“1”的数目最多差 1如(4)中符号的关联特性在一个序列周期内， )(0,10常 数ckRACAC满足以上三条者称为 PN 码。显然 m 序列是 PN 码。例： n=4,

8、 KRAC 非 完 全 对 准完 全 对 准总 位 数 不 同 位 数相 同 位 数 15)5(6.2.2 自相关和互相关函数在扩展频谱系统中，不管是通信系统还是测距系统，都非常注重研究扩频码的自相关和互相关特性。特别是在码分多址通信系统中，码序列的过大的自相关旁瓣和互相关峰值会使码捕获的虚警概率增加，对雷达系统（扩频方式）也是类似影响。自相关函数定义为dtftRAC)()(为捕获序列，也常用 表示)(tf c互相关函数定义为 tgtfC)()(其中 、 为两个码序列。tf对二进制时间离散码序列，自相关函数和互相关函数的计算可简化如下:平衡性随机性90把两个码序列进行逐对和逐比特比较（模 2

9、加），则自相关（或互相关）值为一致比特数减不一致比特数，逐次改变 从 ，则可得到自相关（或互相关）函数，0cnT)1(如图 6-3。如把相关值除以 ，称为归一化相关函数。显然，自相关函数的最大值)12(n为 1。为了表示自相关和互相关特性的好与不好，引入“鉴别指数”(ID)，它表示最大自相关值与次最大自相关值之间的差值，或最大自相关值与最大互相关值之间的差值。对于m 序列，自相关鉴别指数 或 （最大相关值为 ，其它相关值nID12n为-1，鉴别指数越小，接收机的鉴别能力越强。两个码序列的互相关函数一般与)(cT具体码序列有关，不同的码序列互相关函数一般不相同，所以鉴别指数也不同。在码分多址通信

10、中，对一组地址码中的任两个码序列之间的互相关特性都必须研究清楚，如有几种不同的互相关值，每种出现几次等。例： 5 级 m 序列：5,3与5,2（互为镜像，也称反码）的互相关峰值为 11，鉴别指数为 20(31-11)。5,3码与5,4,32码互相关峰值为 7，鉴别指数为 31-7=24,但在一周期内出现 10 次。思考题：试讨论互相关值大小与出现次数对接收性能的影响（只有两个地址码（功率相同和不同。有多个地址码，但任两个地址码间的互相关值及分布均相同。对 m 序列，参与反馈 的数目为奇还是为偶？如果考虑到地址码序列的电平不完全相同，结果如何？）6.2.3 m 序列的平均功率谱密度m 序列是一种

11、伪随机序列，根据平稳随机过程理论，它的平均功率谱密度为其自相关函数的付氏变换，即 deRSjACR)()(其中 为自相关函数，在一个周期内，AC即 如图 6-4。cNT,0 CCC CCA NTNTnTNR )1(1)()1( 0)1(mRfpfS)(0离散谱-1 10-12nNN-1 N+1)(cT图 6-3 m 序列自相关函数)(cTNN-110图 6-491其中 CmNTf mcp1 )2,1(0)(sin1022 若 ，则 为连续形(如图 6-5 所示) 。)fSR(sinsin( 22CCfTcf m 序列谱特点：谱是离散的，因为 是周期性的。谱线间隔为 ，如 N 很大，则谱线间隔很

12、 )(ACRCT1小，近似为连续谱。第一个零点在 处，主瓣宽度为 。CTf1C2 时， 。N 很大时， 。0f20p0p6.2.4 m 序列的产生6.2.4.1 m 序列产生器的结构在设备中，m 序列可以用硬件产生，也可以用软件产生，然后存在 ROM 中。在硬件中可使用移位寄存器，也可用声表面滤波器件等延迟线来产生。用移位寄存器产生 m 序列，从结构上又有两种方式，一种是简单线性码序列发生器(SSRG)，另一种是模块式码序列发生器(MSRG)，前一种结构如图 6-6（上），参加反馈的各级输出经多次模二加后把最后结果送入第一级。第二种结构如图 6-6（下），多级的输出都可能与反馈信号模二和后送入

13、下一级，因为 n 级码产生器是由几个相同模块构成，因而称为模块式结构，每个模块中包括一级触发器和一级模二加构成。可以证明，这两种结构是等价的，即可产生同一 m 序列，不同的是前一种因多个模二加是串联的，所以延时大，工作速度较低，后一种模二加在各级触发器之间，模二加的动作是同时并行的，所以延时小，工作速度高。Motolora 公司把四个模块集成在一起，型号为 MC8504。注意，不管哪种结构都需有全“0”起动电路，否则由于某种原因（如启动）发生器可能死在全“0”状态。 1D21nDccn0cf(a)SSRG0)ffcT1cT122图 6-5 m 序列功率谱密度926.2.4.2 SSRG 的反馈

14、系数如何提取 SSRG 的反馈系数才能得到最大长度 序列？这显然是十分重要的)12(m问题。这就必须从移位寄存产生器的数字基础讲起。首先，对移位寄存器状态和它的运转特性，可以通过 n 维矢量矩阵的运算来表示。如对 n=4 )()()(010()1()()( 43214324321 jAXjxjccjxjxj 其中(j)表示第 j 次移位，(j+1)表示第 j+1 次移位，矩阵中 表示反馈系数即为421,c的第 j+1 时刻的输出，以下第 i 行的 1 表示 在 j+1 时刻的输出为 j 时刻 的输出。1 i 1x对 n 级 )()()(0101)()( 32132 jXAjxjjxccjx n

15、nn 在 中第一行： 完全表明了反馈函数与各级寄存器的关系，其它各nA)(,121ncc行只是表明下一级输入是前一级的输出，只是状态的延时，所以能否构成最大长度序列，完全取决于 。换句话说， 完全表达了寄存器的状态转移。,n nA特征方程和特征多项式：特征多项式对研究移位寄存器序列的产生起到非常重要的作用，是一个重要工具。对于 的 A 矩阵，将行列式 定义为 的特征多项式 ，称方程nIn)(f为特征方程，记为 ，其中 I 为0)1()1()20 nccf F单位矩阵 为参数。,例： n=41D2 1nDn输出1c2cc0c 0ccf图 6-6 m 序列产生器结构(b)MSRG930110323

16、144321 ccccIA（因为-1=+1，模 2）对 n 级，有特征多项式为，一般取 ，否则低于 n 级nkcxf0)(10c1nc特征多项式的系数 与 SSRG 的反馈连接系数 一一对应。所以，研究n,21 ,2m 序列的反馈连接系数问题就转化成从数学上研究特征多项式的特性。定理：如果 SSRG 序列的长度为最大，则特征多项式是不可约的。 （必要条件）定理：若 n 阶特征函数是不可约的，则 SSRG 的序列周期是的 一个因子。 （对产生1nm 序列不充分）推论：如果 是个素数，则每个不可约的 n 阶特征多项式对应一个最大长度的移位寄12存器序列。如果对任意的 n（即 不一定是素数）都产生最

17、大长度序列，则特12征多项式必须是本原的。所谓本原多项式，是当且仅当不可约的 n 阶多项式能够除尽 ，其中 m 不小于 。mx根据该推论，先求本原多项式，确定系数 中哪些为 0，哪些为 1，即可nc,21得到 SSRG 的反馈连接方式。6.2.4.3 最大长度多项式的数目Zierler 证明，最大长度序列的数目由下式给出： nNm)12(其中 是欧拉数，它等于包括 1 在内的小于 而与 互质的正整12nn数个数。例： n=4,则 （与 15 互质的数有 14,13,11,8,7,4,2,1248m或不互质数：3,5,6,9,10,12。见表 7.1）Zierler 还证明，n 阶不可约多项式数

18、目为：dIN)(21其中 d 为能整除 n 的正整数，包括 1 和 n。如 n=6,则 d=1,2,3,6。194函数的含义为：若 p 和 q 是不同的本原数，则 个 不 同 素 数 的 积为 如是 正 整 数 ， 且，kn npnnnk kiiikii)1( 2327314,101)( 121 例： n=4,则 d=1,2,4 3416)(401 )1(62(4)(2)(22142 IN本原多项式的反商也是本原多项式（本原多项式性质）。反商定义为： )()(xffnR例： n=4, 是本原多项式。41则 也是本原多项式。431)() xxfR 6.2.4.4 m 序列生成表在给定 n 之后找

19、出本原多项式，从而确定 ，即确定了具体)1(,21ncc反馈连接方式，利用反商（逆）可使具体实现方式加倍。若给定的反馈逻辑 ,则利用反商得到的系数形式为,nrqp，称为镜像序列。,rqpnSSRG 与 MSRG 序列之间关系： 与 为同一sr, mrqp,序列，但相位不同。例： n=4，表给出 ss4,3,1反 商1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 41 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 10 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 01 0 1 1 0 0 1 1 0 1 1 10 1 0 1 0 0 0 1 1 0 1 01 0 1 0 1 0 0 0 0 1 0 11 1

20、0 1 0 1 0 0 1 0 1 10 1 1 0 0 0 1 0 1 1 0 00 0 1 1 1 0 0 1 0 1 1 01 0 0 1 1 1 0 0 0 0 1 10 1 0 0 0 1 1 0 1 0 0 00 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 00 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 01 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 11 1 0 0 1 1 0 1 1 0 0 11 1 1 0 1 1 1 0 1 1 0 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1(a) (b) (c) s4, s4,3 m4,395可见，(a)与(c)为同一 m 序列，但相移不同

21、，二者与(b)码互为镜像。从表中看出，反馈抽头的数目为偶数，不可为奇数。很容易理解，如为奇数则会静止在全 1 状态。对于 m 序列，它是线性码，只要知道长度为(2n+1)比特的一段码，即可得到该 m 序列发生器的反馈逻辑，从而产生该 m 序列，因而 m 序列是很容易被破译的。当然加大 n 可增加破译的难度。对于码分多址通信，要求有很大的码组供不同用户使用。为了使通信系统具有良好的捕获特性和抗干扰性，以及尽量减小信号间的干扰，要求这个庞大的码组中，每一码序列具有好的自相关特性（鉴别指数很大，任两个码序列间的互相关尽量小，尽可能接近于正交即互相关为 0）。Gold 码的特性非常适合码分多址通信中的

22、应用。 6.3 复合码6.3.1 Gold 码Gold 码是 Gold 于 1967 年提出的，它是用一对优选的周期和速率均相同的 m 序列模二加后得到的。其构成原理如图 6-7 所示。两个 m 序列发生器的级数相同，即 。如果两个 m 序列相对相移不同，n21所得到的是不同的 Gold 码序列。对 n 级 m 序列，共有 个不同相位，所以通过模二加1后可得到 个 Gold 码序列，这些码序列的周期均为 。12nGold 码的性质：(1) 个 Gold 码与产生该 Gold 码的两个 m 序列一起构成由 个不同码序列组成n 2n的 Gold 码家族，周期均为 。12n(2)在一个 Gold 码

23、家族中，Gold 码序列的自相关旁瓣及任两个码序列之间的互相关值都不超过该家族中的两个 m 序列的互相关值，即 )2(4,012 212()()( 211)(2)1( nn nnnkR 峰 值 比 ：整 除即 不 能 被模为 偶 数 但 峰 值 比 ：为 奇 数m 序列优选对的最大互相关值：n 5 6 7 9 10 11码周期 31 63 127 511 1023 2047最大互相关值 9 17 17 33 65 65由上看出，n=7 比 n=6 性能好(互相关同为 17)，n=11 比 n=10 好(互相关同为 65)。归一化的标差103（ 标差45。比较归一化标准差看出十一级的 Gold 码比十级要好些。 Gold 码有三种不同的 特性。图 6-7 Gold 码发生器m 序列发生器n 级m 序列发生器n 级初态设置时钟 Gold 码 21m12