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分析数学教案主讲人 姜广浩淮北师范大学数学科学学院2010年3月1日第一章 一元函数的极限 1.1 利用定义及迫敛性定理求极限设表示实数集合,表示扩张的实数集,即.例1 若.证明 (算术平均值收敛公式).证明 (1)设,由,当时, .因此,其中.又存在,当时, .因此当时, .(2) 设,则,当时,.因此,其中.由于,所以存在,当时, ,.因此.(3) 当时,证明是类似的.(或令转化为(2).注 例1的逆命题是不成立的.反例为,容易看出,但是极限不存在.例2 设为单调递增数列, .证明若,则证明 由为单调递增数列,当时有.固定,则有,其中.令,则.又由于,所以.令,由迫敛性定理得注 当为单调递减数列时,上述结论也成立.例3 设数列收敛,且,证明.(几何平均值收敛公式).证明 设,则由极限的不等式性质得.(1)若,则,由例1, .因此(2)若,则.因此,.注 可以证明当时结论也成立.例4
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