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向量和三角形的五心一、前言: 在本校自然资优班的一次数学课堂中,笔者讲到以下的性质:在中,若点为的重心,则,其中点为任一点。 下课后,有位许同学便到办公室提出以下的问题:(1)在中,点为的重心,可得到的结果;那么反过来, 若有一点,满足,是否保证点为的重心呢?(2)在中,另外的四心,即内心、垂心、外心、傍心,是否也有类似充要条件的性质呢? 当时笔者告诉许同学,重心、内心、傍心有类似性质,其中重心的性质是充要条件没错;至于内心、傍心的性质是否为充要,还须再证明看看;而垂心、外心的向量充要性质老师还没看过,容老师再思考一些时间。 接到许同学的问题后,笔者便与刘国莉老师一起讨论,经过仔细探讨之后,我们得到以下的结果:1. 重心向量性质的充要条件与证明。2. 内心向量性质的充要条件与证明。3. 傍心向量性质的充要条件与证明。4. 外心向量性质的充要条件与证明。5. 垂心向量性质的充要条件与证明。二、重心的向量性质: 我们将三角形重心与向量性质的充要条件写成定理1如下:定理1:如图(一),在
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