高三数学第二轮专题直线与圆.DOC

1、第 1 页 共 19 页xyO1C2才1l2高三数学第二轮专题 直线与圆江苏省木渎高级中学 沈雪明一、复习要点1、熟练掌握探求直线和圆的方程，掌握直线与圆、圆与圆的位置关系的判断和性质的运用；2、掌握与直线和圆有关的探索性问题、存在型问题、定点定值的解题策略。二、典型例题例 1 在平面直角坐标系 中 ，已知以 为圆心的圆与直线 ： ，xOyOl(34)ymx恒有公共点，且要求使圆 的面积最小.()mR（1）写出圆 的方程；（2）圆 与 轴相交于 A、 B 两点，圆内动点 P 使 、 、 成等比数列，求Ox |A|PB的范围；PAB（3）已知定点 Q（ ，3） ，直线 与圆 交于 M、 N 两点

2、，试判断 4l tanQMN是否有最大值，若存在求出最大值，并求出此时直线 的方程；若不存在，给出理由.l【分析】 （1）一般来说，求圆的方程有两类办法：几何法，即通过研究圆的性质进而求出圆的基本量；代数法，即设出圆的方程，用待定系数法求解本小题关键是找到直线经过定点 M（ 4,3） ，这样符合条件的圆 ，就是以 OM 为直径的圆；l O（2）对条件 的化简，要有整体思想这样可以使运算量大大减少；2|POAB（3）充分利用直线与圆几何性质.【解答】 （1）因为直线 ： 过定点 T（ 4，3） ,由题意，要使圆 的面l(34)ymxO积最小, 定点 T（4，3）在圆上， 所以圆 的方程为 . 2

3、5xy（2）A（-5，0） ，B（5，0） ，设 ， 则 0,P0， ，由 成等比数列得，(,)Pxy()xy|,|APOB，|O即 ，整理得： ,即 2220000(5)(5)205xy2200xy由（1） （2）得： ， ， 4y2(5)PABx 5,)PAB（3） . tan|costanQMNQMNMQN |sin2MQNSA由题意，得直线 与圆 O 的一个交点为 M（4，3） ，又知定点 Q（ ，3） ，l 4直线 ： ， ，则当 时 有最大值 32. l3y|8(0,)SA即 有最大值为 64，此时直 线 的方程为 . ta l250xy【反思】 研究直线与圆、圆与圆的位置关系要紧

4、紧抓住圆心到直线、圆心距与圆的半径的大小关系这一关键点在讨论有关直线与圆相交问题时，如能充分利用好平面几何中的垂径定理，并在相应的直角三角形中计算，往往能事半功倍例 2 如图，在平面直角坐标系 中，已知圆 ：xOy1C，圆 ： 2(1)xy2C22(3)(4)（1）若过点 的直线 被圆 截得的弦长为 ，1( 0)， l 65求直线 的方程；l（2）设动圆 同时平分圆 的周长、圆 的周长12证明：动圆圆心 C 在一条定直线上运动；动圆 是否经过定点？若经过，求出定点的坐标；第 2 页 共 19 页ODCBAyx11若不经过，请说明理由【分析】 （1）在求直线方程时应先判断一下是否有斜率不存在的情

5、况，然后再进行求解；（2）的第小题其实质是求轨迹问题，即以圆 C 的半径相等作为等量关系来证明结论；（2）的第小题的求解要学会与第小题的相联系起来考虑，以表达出圆的含参方程，从而可以判断出结论.【解答】 （1）设直线 的方程为 ，即 因为直线 被圆 截得的弦l(1)ykx0kxyl2C长为 ，而圆 的半径为 1，所以圆心 到 ： 的距离为 652C23 4， lk451k化简，得 ，解得 或 0kk所以直线 的方程为 或 l43xy0xy（2）证明：设圆心 ，由题意，得 ，即( )， 12C 化简得 ，222(1)xy3即动圆圆心 C 在定直线 上运动0xy圆 过定点，设 ，则动圆 C 的半径

6、为 (3)m， 2221(1)(3)m于是动圆 C 的方程为 22()1()()m整理，得 26xyxy由 得 或210 ， ，13 2， ； 32 .xy，所以定点的坐标为 ， 3， 2，【反思】1、第（2）题的第小题的提法与书本要求相一致的，避免了求轨迹方程的嫌疑2、定点问题 解题关键在于寻找题中用来联系已知量、未知量的垂直关系、中点关系、方程、不等式，然后将已知量、未知量代入上述关系，通过整理、变形转化为过定点的直线系、曲线系问题来解决。例 3、已知圆 O： ，O 为坐标原点21xy（1）边长为 的正方形 ABCD 的顶点 A、B 均在圆 O 上，C、D在圆 O 外，当点 A 在圆 O

7、上运动时，C 点的轨迹为 E求轨迹 E 的方程；过轨迹 E 上一定点 作相互垂直的两条直线 ，并且0(,)Pxy12,l使它们分别与圆 O、轨迹 E 相交，设 被圆 O 截得的弦长为 ，1l a设 被轨迹 E 截得的弦长为 ，求 的最大值2l ba（2）正方形 ABCD 的一边 AB 为圆 O 的一条弦，求线段 OC 长度的最值【分析】 （1）解决与圆的方程有关的问题时，数形结合是常用的方法，结合圆所具有的平面几何性质可以使解题过程简化由边长为 的正方形 ABCD2可知， 是等腰直角三角形.在 中，已知 OB、BC 及 ，由余弦定理可求OABBCAAB得 OC 是定长；（1）直接求出弦长 、

8、，利用基本不等式求得结果；ab（2）对正方形 ABCD 位置的讨论，即分 A、B、C 、D 按顺时针方向和逆时针方向的讨论.【解答】 （1）连结 OB，OA，因为 OA=OB=1，AB= ，所以 ，222O所以 ，所以 ，在 中， ，2 分4BA34O5BCB第 3 页 共 19 页PMOy x所以轨迹 E 是以 O 为圆心， 为半径的圆，所以轨迹 E 的方程为 ； 5 52yx设点 O 到直线 的距离分别为 ，因为 ，所以12l， 12d， 21l， 则 ，2210dPxy5dba则 422211()46()5abd)221166d() = ， 当且仅当 ， 即 时取“=”，21()=(0)

9、82125,d219,d所以 的最大值为 ； ba2（2）设正方形边长为 a， ，则 ，OBAcos2a 0,当 A、B、C 、D 按顺时针方向时，如图所示，在 中，OBC，2 21cosaOC即 2()1cosinO24ssin，co3si234由 ，此时 ； 2,4(1,OC当 A、B、C 、D 按逆时针方向时，在 中，B，2 21cosa即 2()1cosinO24cos1sin，2csin323由 ，此时 ， ,41,5)OC综上所述，线段 OC 长度的最小值为 ，最大值为 221【反思】1、通过几何图形的特点，用几何法求圆的方程也是一个有效途径；2、 （1）还可以根据直线 、 与圆的

10、位置关系，将 a、b 转化到圆 O 弦、弦心距、半径1l2之间的关系来处理三、检测巩固检测 1、已知圆 :O42yx（1）直线 ： 与圆 相交于 、 两点，求l03OABxODBA11CyxODBA11Cy第 4 页 共 19 页；AB（2）如图，设 、 是圆 上的两个动点，点 关于原点的对称点),(1yxM),(2yxPOM为 ，点 关于 轴的对称点为 ，如果直线 、 与 轴分别交于1 1P2y和 ，问 是否为定值？若是求出该定值；若不是，请说明理由 ),0(m,n【解答】 （1）圆心 到直线 的距离 圆的半径 ，)0,(O033d2r 22drAB（2） ， ，则 ， ， ，),(1yx,

11、2yxP),(11yxM),(12yx412x ： ，得 4)(21 2m： ，得 2PM()(21 yxxy12xn4)42121 xnm检测 2、如图，在平面直角坐标系 oy中，已知 1(,0)F， 2(,)，(0,8)A，直线 (08)yt与线段 1A、 2分别交于点 P、 Q.过点 Q作直线 R 1F交 2于点 R，记 的外接圆为圆 C.()求证:圆心 C在定直线 740x上；（II）圆 是否恒过异于点 的一个定点?若过，求出该点的坐标；若不过，请说明理由. 【解答】 （I）解法一：由题意，得 直线 AF1： ，AF 2：8yx，所以，可得 P ，Q ，再由 ，得 ，则线28yx8(,

12、)2t(,)t1QRAF(4,0)t段 F1R 的中垂线方程为 ，线段 PF1 的中垂线方程为 .由x568t，解得 的外接圆的圆心为 ，经检验，该圆心在直线5628tyx1RFA7(,2)t上.740解法二: 易得直线 12:8;:8yxyx,所以可得 8(,)(,)2ttPQ,再由QR 1AF,得 (,)t，设 1PRF的外接圆 C的方程为 0yDxEF,则2240()8DytttE,解得 7416Dtt所以圆心坐标为 7(,),经验证,该圆心在定直线 80xy上 （II）由（I）可得圆 C 的方程为 27()4xyttPAROF1QxyF2第 5 页 共 19 页该方程可整理为 2 7(

13、16)(4)0xytxy,则 由241607xy,解得4132xy或 0, 所以圆 C恒过异于点 1F的一个定点,该点坐标为 3(,)1.高三数学第二轮专题 圆锥曲线（1）江苏省木渎高级中学 沈雪明一、复习要点1、熟练掌握椭圆的定义，椭圆中长轴、短轴、焦距、离心率之间的关系，熟悉求椭圆方程的各种方法；2、对椭圆及其性质有深刻的认识，并能解决有一定综合性的问题.3、在解决直线与圆锥曲线的位置关系问题时，有时还要用到平几的基本知识和向量的基本知识，这一点适当加强.二、典型例题例 1 设椭圆 M： 1(ab0)的离心率为 ，点 A(a,0)，B(0，b)，原点 O 到直线x2a2 y2b2 22AB

14、 的距离为 .233(1) 求椭圆 M 的方程；(2) 设点 C 为(a,0)，点 P 在椭圆 M 上(与 A、C 均不重合)，点 E 在直线 PC 上，若直线PA 的方程为 ykx4，且 ，试求直线 BE 的方程0BE【分析】本题是椭圆的相关问题，重点考查了椭圆的标准方程及几何性质.在求解时要分清问题条件，正确进行求解对于第(1)问，由条件列出参数 a，b 的方程组，解之即可；对于第(2)问，先利用条件求出直线 BE 的斜率，再由点斜式写出直线 BE 的方程【解答】 (1)由 e2 1 ，得 a b.由点 A(a,0)，B(0 ，b)知直线 ABc2a2 a2 b2a2 b2a2 12 2的

15、方程为 1，即 x y b0.又 ，所以 b .xa y b 2 2 |0 0 2b|12 22 2b3 233 2所以 b22，a 24，所以椭圆 M 的方程为 1.x24 y22(2)由(1)知 A、B 的坐标依次为(2,0) 、(0， )因为直线 PA 经过点 A(2,0)，所以202k4，得 k2，即得直线 PA 的方程为 y2x4.因为 ，所以0PCBEkPCkBE1，即 kBE .1kPC设 P 的坐标为(x 0，y 0)，则 kPAkPC 2k PC，得 4，即直y0x0 2 y0x0 2 y20x20 4 12 1kPC线 BE 的斜率为 4.又点 B 的坐标为(0， )，因此

16、直线 BE 的方程为 y4x .2 2【反思】本题是一道椭圆的常规性综合问题对于第(2)问，求解直线 BE 的斜率是解决问第 6 页 共 19 页题的关键，要先求出直线 PC 的斜率，再由 求出直线 BE 的斜率这里要把握0PCBE住 的几何意义，即直线 CP 与直线 BE 垂直，则它们的斜率互为负倒数，把握0PCBE住这一点，问题就容易解决了例 2 如图，在平面直角坐标系 xoy 中， 椭圆 C：1(0)xyab的离心率为 ，以原点为圆心，椭圆 C23的短半轴长为半径的圆与直线 x-y+2=0 相切（1）求椭圆 C 的方程；（2）已知点 P(0,1),Q(0,2),设 M,N 是椭圆 C 上

17、关于 y 轴对称的不同两点，直线 PM 与 QN相交于点 T。求证：点 T 在椭圆 C 上。【分析】 （1）直接抓住 a、b、c、e 之间的关系即可求得；（2）以 M,N 是椭圆 C 上关于 y 轴对称的不同两点这一条件为突破，可设 M 的坐标为(x0，y 0)，则 N (x 0，y 0)，分别建立直线 PM、QN 的方程组，求出 T 点坐标，再证明点 T在椭圆 C 上；或者，由直线 PM、QN 的方程的方程组获得 M 点 ，代入椭圆方程已达到证明点 T 在椭圆 C 上。【解答】 （1）由题意知 b 因为离心率 e ，所以 所以2ca ba 12a2 所以椭圆 C 的方程为 1 2x28 y2

18、2（2）证明：由题意可设 M， N 的坐标分别为(x 0，y 0)，( x 0，y 0)，则直线 PM 的方程为 y x1， y0 1x0直线 QN 的方程为 y x2 y0 2 x0证法一 联立 解得 x ，y ，即 T( ， )由 1 可x02y0 3 3y0 42y0 3 x02y0 3 3y0 42y0 3 x028 y022得 x0284y 02因为 ( )2 ( )2 18 x02y0 3 123y0 42y0 3 x02 4(3y0 4)28(2y0 3)2 8 4y02 4(3y0 4)28(2y0 3)2 1，所以点 T 坐标满足椭圆 C 的方程，即点 T 在椭圆 C32y0

19、2 96y0 728(2y0 3)2 8(2y0 3)28(2y0 3)2上 证法二 设 T(x，y )联立解得 x0 ，y 0 因为 1，所以 (x2y 3 3y 42y 3 x028 y022 18)2 ( )21整理得 (2y3) 2，所以x2y 3 123y 42y 3 x28 (3y 4)22 12y 84y 212y9，即 1所以点 T 坐标满足椭圆 C 的方程，即点 Tx28 9y22 x28 y22在椭圆 C 上 【反思】一般说来，每一个题目总会有一点某种暗示，如能抓住这一“题眼” ，那么问题就能迎刃而解了。例 3 （嘉定区 2013 届高三一模 理科）已知椭圆 ： （ ）经过

20、12byax0a与 两点，过原点的直线 与椭圆 交于 、)1,(23,6lCAOABMxy第 7 页 共 19 页两点，椭圆 上一点 满足 BCM|BA（1）求椭圆 的方程；（2）求证： 为定值222|1| OA【分析】 （1）待定系数法求椭圆方程；（2）求 等价于求222|1| OMBA的值.在求 时，不要忘记讨论点 A、B、M 的特殊位置。22OM221M【解答】 （1）将 与 代入椭圆 的方程，得 ， ),(3,6C143222ba解得 ， 所以椭圆 的方程为 32a2b 132yx（2）由 ，知 在线段 的垂直平分线上，由椭圆的对称性知 、 关于|MBAABAB原点对称若点 、 在椭圆

21、的短轴顶点上，则点 在椭圆的长轴顶点上，此时M 2121|2|1| 22 babO同理，若点 、 在椭圆的长轴顶点上，则点 在椭圆的短轴顶点上，此时| 22222aBA若点 、 、 不是椭圆的顶点，设直线 的方程为 （ ） ，Mlkxy0则直线 的方程为 设 ， ，xky1),(1yA),(2M由 ，解得 ， ， 32xky2213213k所以 ，同理可得 ，2212)(| kyxOBA2)1(3|kO所以 )()1(3)(|1 2222 kM综上， 为定值 |【反思】对于第（2）小题也可以设点法来处理，即设点 A ，B()Ocos,in，分别代入椭圆方程即得结果.此法是运用了三角函数中()(

22、)22OBcos,sin的点的表示或者说是极点在原点的极坐标表示法，同时免于了讨论.三、检测巩固检测 1、在直角坐标系 xOy中，椭圆第 8 页 共 19 页21:xycab（ 0a）的左、右顶点分别为 A、 B，左、右焦点分别为 1F、 2，2F也是抛物线 2:4cx的焦点，点 S为 C1 与 C2 在第一象限的交点，且 53S.（）求椭圆 C1 的方程；（）设点 P为椭圆 C1 上不同于 A、 B的一个动点，直线 P、 与椭圆右准线分别相交于 M、 N. 证明：以 为直径的圆必过椭圆外的一个定点。解：（）由 2:4cyx知： 2,0F，设 1,Sxy. S在 C2 上， 53， 153.得

23、： 13x， 16y， S在 C1 上，且椭圆 C1 的半焦距 1c， 248193ab，且2ba.消去 并化简得： 429370a，解得 24a， 23b. 故椭圆方程为24xy.（）设 ,Pcosin， ,Mm， ,Nn.则 ,0A， ,B，由 A、 P、 M三点共线，得 1m， 由 B、 P、 三点共线，得 1sinco.以 MN为直径的圆的方程为： 24xy.整理得：234901sinixyco，解900，得： 7xy（ （舍去） ， 以 MN为直径的圆必过椭圆外的一个定点 ,0，命题成立.检测 2、已知椭圆 的离心率 ，一条准线方程为2:1xCab63e362x求椭圆 的方程；设 为

24、椭圆 上的两个动点， 为坐标原点，且 ,GHOGOH当直线 的倾斜角为 时，求 的面积；O60H是否存在以原点 为圆心的定圆，使得该定圆始终与直线 相切？若存在，请求出该定圆方程；若不存在，请说明理由（ 1）因为 ， ， ，解得 ，所以椭圆方程为3ac22cba3,ba392yx（2）由 ，解得 ， 由 得 ， 12yx10279yx132yx2392x所以 ，所以 6,503OHG5GOHS假设存在满足条件的定圆，设圆的半径为 ，则RGHR第 9 页 共 19 页因为 ，故 ，22GHO2211RO当 与 的斜率均存在时，不妨设直线 方程为： ，Gkxy由 ，得 ，所以 ， 1392yxk2

25、239kyxG22319同理可得 （将 中的 换成 可得） ， ，22kOHk22194ROHG，R当 与 的斜率有一个不存在时，可得 ，G 2221941O故满足条件的定圆方程为： 492yx高三数学第二轮专题 圆锥曲线（2）江苏省木渎高级中学 沈雪明一、复习要点1、对圆锥曲线中的定点、定值和最值（取值范围）问题的方法探究；2、直线与圆锥曲线的位置关系问题的探究.二、典型例题例 1 （2013 届镇江市高三上学期期末试题）已知椭圆 的中心在原点，长轴在 x 轴上，O右顶点 到右焦点的距离与它到右准线的距离之比为 . 不过 A 点的动直线(,0)A 23交椭圆 于 P,Q 两点2yxmO（1）

26、求椭圆的标准方程；（2）证明 P，Q 两点的横坐标的平方和为定值；（3）过点 A,P,Q 的动圆记为圆 C，动圆 C 过不同于 A 的定点，请求出该定点坐标.【分析】1、本题考查圆锥曲线的基本量间关系、直线与圆锥曲线的位置关系；考查定点定值问题；考查运算求解能力和推理论证能力；2、第（3）小问涉及求的圆方程，要根据条件选用合适的圆的方程.本题选用圆的一般式方程，通过待定系数法求解运算量相对较小.【解答】 （1）设椭圆的标准方程为 .由题意得 . 012bayx 23,ea, , 椭圆的标准方程为 . 3cb4（2）证明：设点 ，将 代入椭圆，化简得：),(),(21yxQPmx ，02mx21

27、21,()x, P，Q 两点的横坐标的平方和为定值 4. 21112()4（3）(法一) 设圆的一般方程为: ,则圆心为（ ）,20xyDxEyF2DE第 10 页 共 19 页PQ 中点 M( ), PQ 的垂直平分线的方程为: , 2,m mxy23圆心（ ）满足 ，所以 , ,EDmxy232ED圆过定点(2,0)，所以 ，40DF圆过 , 则 两式相加得：12(,)()PxyQ11220,yxyFxE2112121,，2 212()()()()04xx DxyF, .1ym520mEF因为动直线 与椭圆 C 交与 P,Q（均不与 A 点重合）所以 ，1x 1m由 解得: 3()335,

28、422D代入圆的方程为： ,2(1)()0xyxmy 整理得： ，23533( )4242所以， 解得： 或 (舍). 0,2xyy 0,1xy2,所以，圆过定点(0,1).(法二) 设圆的一般方程为: ,将 代入的圆的方程：2 0xyDxEyFmx2.0452mEDmx方程与方程为同解方程. ，圆过定点(2,0)，所以212(1)54，02F因为动直线 与椭圆 C 交与 P,Q（均不与 A 点重合）所以 .xy 1m解得: ， (以下相同)3(1)335,422mDEFm【反思】本题第（3）小题的解法，尤其是解法二与 08 年江苏卷的第 17 题解析几何题的解法具有相类似之处.例 2 （黄浦区 2013 届高三一模 理科）给定椭圆 C： ，称圆心在原21(0)xyab点 O、半径是 的圆为椭圆 C 的“准圆”已知椭圆 C 的一个焦点为 ，其短2ab (2,F轴的一个端点到点 的距离为 F3（1）求椭圆 C 和其“ 准圆”的方程；（2）若点 是椭圆 C 的“ 准圆”与 轴正半轴的交点， 是椭圆 C 上的两相异点，且Ax,BD