自己整理抽象函数单调性及奇偶性练习及答案.doc

1、1、已知 的定义域为 R，且对任意实数 x，y 满足 ，求fx() fxyfy()()证： 是偶函数。2、已知 f(x)是定义在(-,+)上的不恒为零的函数,且对定义域内的任意x,y,f(x)都满足 f(xy)=yf(x)+xf(y).(1)求 f(1),f(-1)的值;(2)判断 f(x)的奇偶性,并说明理由.3、函数 f(x)对任意 xyR,总有 f(x)+f(y)=f(x+y),且当 x0时, 0时，f(x)1，且对任意的a、bR，有 f(a+b)=f(a)f(b)，（1） 求证：f(0)=1；（2） 求证：对任意的 xR，恒有 f(x)0；（3）证明：f(x)是 R上的增函数；（4）若

2、 f(x)f(2x-x2)1，求 x的取值范围。7、已知函数 的定义域为 R,对任意实数 都有 ,且 ,()fx,mn1()()2fnfmfn()0f当 时, 0.12(1)求 ;()f(2) 判断函数 的单调性,并证明.)fx8、函数 的定义域为 R,并满足以下条件:对任意 ,有 0;对任()fx xR()fx意 ,有 ; .,yR()(yffx1()3f(1)求 的值; (0)f(2)求证: 在 R上是单调减函数;x9、已知函数 的定义域为 R,对任意实数 都有 ,且()fx,mn()()fnfmn当 时, .01(1)证明: ;(),0fx且 时 f()(2)证明: 在 R上单调递减;1

3、0、 函数 对于 x0有意义，且满足条件()fx减函数。(2)1,(),fyfyx是（1）证明： ；()0f（2）若 成立，求 x的取值范围。32x11、 定义在 R上的函数 y=f(x)，f(0)0，当 x0时，f(x)1，且对任意的a、bR，有 f(a+b)=f(a)f(b)，（3） 求证：f(0)=1；（4） 求证：对任意的 xR，恒有 f(x)0；（3）证明：f(x)是 R上的增函数；（4）若 f(x)f(2x-x2)1，求 x的取值范围。12、 已知函数 ()fx,g在 R上有定义，对任意的 ,xyR有()()fxyyf且 (1)0f（1）求证： ()fx为奇函数（2）若 2， 求

4、(1)g的值13、 已知函数 对任意实数 恒有 且当 x0，)(xfyx, )()(yfxyf.21.0)(xf又(1)判断 的奇偶性；(2)求 在区间 3,3 上的最大值；)(f(3)解关于 的不等式x .4)()2)(axfaxf14、定义在 R上的函数 f（ x）对任意实数 a、 b都有f（ a+b）+ f（ a b）=2 f（ a） f（ b）成立，且 。f()0（1）求 f（0）的值；（2）试判断 f（ x）的奇偶性；15、已知定义在 上的函数 满足：Rfx（1）值域为 ，且当 时， ；1,010fx（2）对于定义域内任意的实数 ，均满足： 1fmfnfn,xy试回答下列问题：（）试

5、求 的值；0f（）判断并证明函数 fx的单调性；16、定义域为R的函数f(x)满足：对于任意的实数x，y都有f(x+y)=f(x)+f(y)成立，且当x0时f(x)0恒成立.(1)判断函数f(x)的奇偶性，并证明你的结论；(2)证明f(x)为减函数；若函数f(x)在-3，3）上总有f(x)6成立，试确定f(1)应满足的条件； )0a,n(),afx(fn1)(fax(fn1x)3( 22 是 一 个 给 定 的 自 然 数的 不 等 式解 关 于参考答案1、分析：在 中，令 ，得fxyfy()()xy1f()10令 ，得 于是fff()()10ff()(故 是偶函数x2、解析:(1)f(x)对

6、任意 x,y都有f(xy)=yf(x)+xf(y),令 x=y=1,有 f(11)=1f(1)+1f(1).f(1)=0,令 x=y=-1,有f(-1)(-1)=(-1)f(-1)+(-1)f(-1),f(-1)=0.(2)f(x)对任意 x,y都有 f(xy)=yf(x)+xf(y),令 y=-1,有 f(-x)=-f(x)+xf(-1).将 f(-1)=0代入,得 f(-x)=-f(x).函数 f(x)是(-,+)上的奇函数.3、解析:(1)令 x=y=0,f(0)=0, 令 x=-y,可得 f(-x)=-f(x),设 x1x2(-,+)且 x1x2,则 f(x1)-f(x2)=f(x1)

7、+f(-x2)=f(x1-x2)x1x2,x1-x20. 又x0 时,f(x)0,1 x1x20， 0,12x又( x2 x1)(1 x2x1)=(x21)( x1+1)0时，f(x)10，当 x0，f(-x)0 0)(1)xff又 x=0时，f(0)=10对任意 xR，f(x)0(3)任取 x2x1，则 f(x2)0，f(x 1)0，x 2-x10 )()()( 11 xffff(x 2)f(x1) f(x)在 R上是增函数（4）f(x)f(2x-x 2)=fx+(2x-x2)=f(-x2+3x)又 1=f(0)，f(x)在 R上递增由 f(3x-x2)f(0)得：3x-x 20 00, 令

8、xR()fx0,2xy得, 2(0)01ff(2)任取任取 ,则令 ,故122,xx且 12,3xp12p函数 的定义域为 R,并满足以下条件:对任意 ,有 0;对()f xR()fx任意 ,有 ;,xyR()(yfxf()f 121212() )()33ppffpf0 x函数 是 R上的单调减函数.()f9、解： (1)证明:令 ,则01mn(0)(1)ff当 时, ,故 , ,x()fx当 时,当 时, ,则0x (0)1()()ffxfxffxfx(2)证明: 任取 ,则1212,R且2 1211()()()()fxffxfxfxffx11 ,00时，f(x)10，当 x0，f(-x)0

9、 0)(1)xff又 x=0时，f(0)=10对任意 xR，f(x)0(3)任取 x2x1，则 f(x2)0，f(x 1)0，x 2-x10 )()()( 11 xffff(x 2)f(x1) f(x)在 R上是增函数（4）f(x)f(2x-x 2)=fx+(2x-x2)=f(-x2+3x)又 1=f(0)，f(x)在 R上递增由 f(3x-x2)f(0)得：3x-x 20 02时， 2|a或14、解：（1）令 a=b=0则 f（0）+ f（0）=2 f（0） f（0）所以 2 f（0） f（0）1=0又因为 ，所以 f（0）=1()（2）令 a=0， b=x，则 f（ x）+ f（ x）=2 f（0） f（ x）由 f（0）=1 可得 f（ x）= f（ x）所以 f（ x）是 R上的偶函数。15、解：（）在 中，令 ，则有1fmnf0,n即： 也即：01fm ffmf2ff由于函数 的值域为 ，所以， ，所以 x1,210f0f（）函数 f的单调性必然涉及到 ，于是，由已知xy，我们可以联想到：是否有 ？1mfnfn 1fmfnfn（）这个问题实际上是： 是否成立？fnf为此，我们首先考虑函数 的奇偶性，也即 的关系由于xfxf与，所以，在 中，令 ，得0f1fmfnfnm所以，函数 为奇函数故（）式成立所以，0fmffx任取 ，且 ，则nfn12,xR12x