三角形全等综合证明试题带答案.doc

1、第 1 页（共 30 页）三角形全等综合证明试题一解答题（共 13 小题）1 （2015于洪区一模）如图 1，在 ABC 中，ACB 为锐角，点 D 为射线 BC 上一点，连接 AD，以 AD 为一边且在 AD 的右侧作正方形 ADEF（1）如果 AB=AC， BAC=90，当点 D 在线段 BC 上时（与点 B 不重合） ，如图 2，线段 CF、BD 所在直线的位置关系为 ，线段 CF、BD 的数量关系为 ；当点 D 在线段 BC 的延长线上时，如图 3， 中的结论是否仍然成立，并说明理由；（2）如果 ABAC， BAC 是锐角，点 D 在线段 BC 上，当ACB 满足什么条件时，CFBC（

2、点 C、F 不重合） ，并说明理由2 （2013烟台）已知，点 P 是直角三角形 ABC 斜边 AB 上一动点（不与 A，B 重合） ，分别过 A，B 向直线 CP 作垂线，垂足分别为 E，F，Q 为斜边 AB 的中点（1）如图 1，当点 P 与点 Q 重合时，AE 与 BF 的位置关系是 ，QE 与 QF 的数量关系式 ；（2）如图 2，当点 P 在线段 AB 上不与点 Q 重合时，试判断 QE 与 QF 的数量关系，并给予证明；（3）如图 3，当点 P 在线段 BA（或 AB）的延长线上时，此时（2）中的结论是否成立？请画出图形并给予证明第 2 页（共 30 页）3 （2013昭通）已知

3、ABC 为等边三角形，点 D 为直线 BC 上的一动点（点 D 不与B、C 重合） ，以 AD 为边作菱形 ADEF（A 、D 、E、F 按逆时针排列） ，使DAF=60，连接 CF（1）如图 1，当点 D 在边 BC 上时，求证：BD=CF；AC=CF+CD；（2）如图 2，当点 D 在边 BC 的延长线上且其他条件不变时，结论 AC=CF+CD 是否成立？若不成立，请写出 AC、CF、CD 之间存在的数量关系，并说明理由；（3）如图 3，当点 D 在边 CB 的延长线上且其他条件不变时，补全图形，并直接写出AC、CF、CD 之间存在的数量关系4 （2013东营） （1）如图（1） ，已知：

4、在 ABC 中，BAC=90，AB=AC，直线 m 经过点 A，BD 直线 m，CE 直线 m，垂足分别为点 D、E证明：DE=BD+CE（2）如图（2） ，将（1）中的条件改为：在ABC 中，AB=AC，D 、A、E 三点都在直线m 上，并且有BDA= AEC=BAC=，其中 为任意锐角或钝角请问结论 DE=BD+CE是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由（3）拓展与应用：如图（3） ，D 、E 是 D、A、E 三点所在直线 m 上的两动点（D、A、E三点互不重合） ，点 F 为BAC 平分线上的一点，且 ABF 和 ACF 均为等边三角形，连接BD、CE，若BDA= AEC=

5、BAC，试判断 DEF 的形状5 （2014泰安）如图， ABC=90，D 、E 分别在 BC、AC 上，AD DE，且 AD=DE，点F 是 AE 的中点， FD 与 AB 相交于点 M（1）求证：FMC= FCM；（2）AD 与 MC 垂直吗？并说明理由第 3 页（共 30 页）6 （2011绍兴）数学课上，李老师出示了如下框中的题目小敏与同桌小聪讨论后，进行了如下解答：（1）特殊情况 探索结论当点 E 为 AB 的中点时，如图 1，确定线段 AE 与的 DB 大小关系请你直接写出结论：AE DB（填“”， “”或“= ”） （2）特例启发，解答题目解：题目中，AE 与 DB 的大小关系是

6、： AE DB（填“”， “”或“ =”） 理由如下：如图 2，过点 E 作 EFBC，交 AC 于点 F， （请你完成以下解答过程）（3）拓展结论，设计新题在等边三角形 ABC 中，点 E 在直线 AB 上，点 D 在直线 BC 上，且 ED=EC若ABC 的边长为 1，AE=2，求 CD 的长（请你直接写出结果） 7 （2010临沂）如图 1，已知矩形 ABED，点 C 是边 DE 的中点，且 AB=2AD（1）判断ABC 的形状，并说明理由；（2）保持图 1 中ABC 固定不变，绕点 C 旋转 DE 所在的直线 MN 到图 2 中（当垂线段AD、BE 在直线 MN 的同侧） ，试探究线段

7、 AD、BE 、DE 长度之间有什么关系？并给予证明；（3）保持图 2 中ABC 固定不变，继续绕点 C 旋转 DE 所在的直线 MN 到图 3 中的位置（当垂线段 AD、BE 在直线 MN 的异侧） 试探究线段 AD、BE、DE 长度之间有什么关系？并给予证明第 4 页（共 30 页）8 （2014郑州二模）如图 1，点 P、Q 分别是边长为 4cm 的等边ABC 边 AB、BC 上的动点，点 P 从顶点 A，点 Q 从顶点 B 同时出发，且它们的速度都为 1cm/s，（1）连接 AQ、CP 交于点 M，则在 P、Q 运动的过程中， CMQ 变化吗？若变化，则说明理由，若不变，则求出它的度数

8、；（2）何时PBQ 是直角三角形？（3）如图 2，若点 P、Q 在运动到终点后继续在射线 AB、BC 上运动，直线 AQ、CP 交点为 M，则 CMQ 变化吗？若变化，则说明理由，若不变，则求出它的度数9 （2014德州）问题背景：如图 1：在四边形 ABCD 中，AB=AD，BAD=120，B=ADC=90 E，F 分别是BC，CD 上的点且 EAF=60探究图中线段 BE，EF，FD 之间的数量关系小王同学探究此问题的方法是，延长 FD 到点 G使 DG=BE连结 AG，先证明 ABEADG，再证明AEFAGF，可得出结论，他的结论应是 ；探索延伸：如图 2，若在四边形 ABCD 中，AB

9、=AD，B+D=180 E，F 分别是 BC，CD 上的点，且EAF= BAD，上述结论是否仍然成立，并说明理由；实际应用：如图 3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O 处）北偏西 30的 A 处，舰艇乙在指挥中心南偏东 70的 B 处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以 60 海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东 50的方向以 80 海里/小时的速度前进.1.5 小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达 E，F 处，且两舰艇之间的夹角为70，试求此时两舰艇之间的距离10 （2015前郭县二模） （1）问题发现如图 1，ACB 和DCE 均为等边三角形，点

10、 A，D，E 在同一直线上，连接 BE第 5 页（共 30 页）填空：AEB 的度数为 ；线段 AD，BE 之间的数量关系为 （2）拓展探究如图 2，ACB 和DCE 均为等腰直角三角形， ACB=DCE=90，点 A，D，E 在同一直线上，CM 为DCE 中 DE 边上的高，连接 BE，请判断AEB 的度数及线段 CM，AE，BE之间的数量关系，并说明理由11 （2014齐齐哈尔）在等腰直角三角形 ABC 中，BAC=90，AB=AC，直线 MN 过点A 且 MNBC，过点 B 为一锐角顶点作 RtBDE， BDE=90，且点 D 在直线 MN 上（不与点 A 重合） ，如图 1，DE 与

11、AC 交于点 P，易证：BD=DP （无需写证明过程）（1）在图 2 中，DE 与 CA 延长线交于点 P，BD=DP 是否成立？如果成立，请给予证明；如果不成立，请说明理由；（2）在图 3 中，DE 与 AC 延长线交于点 P，BD 与 DP 是否相等？请直接写出你的结论，无需证明12 （2009沈阳）将两个全等的直角三角形 ABC 和 DBE 按图方式摆放，其中ACB=DEB=90， A=D=30，点 E 落在 AB 上，DE 所在直线交 AC 所在直线于点 F（1）求证：AF+EF=DE；（2）若将图中的DBE 绕点 B 按顺时针方向旋转角 ，且 0 60，其它条件不变，请在图中画出变换

12、后的图形，并直接写出你在（1）中猜想的结论是否仍然成立；（3）若将图中的DBE 绕点 B 按顺时针方向旋转角 ，且 60180 ，其它条件不变，如图你认为（1）中猜想的结论还成立吗？若成立，写出证明过程；若不成立，请写出 AF、EF 与 DE 之间的关系，并说明理由第 6 页（共 30 页）13 （2008宁德）如图 1，在正方形 ABCD 中，E 是 AB 上一点，F 是 AD 延长线上一点，且 DF=BE（1）求证：CE=CF；（2）在图 1 中，若 G 在 AD 上，且 GCE=45，则 GE=BE+GD 成立吗？为什么？（3）运用（1） （2）解答中所积累的经验和知识，完成下题：如图

13、2，在直角梯形 ABCD 中，ADBC（BCAD） ，B=90 ，AB=BC=12，E 是 AB 上一点，且DCE=45，BE=4 ，求 DE 的长第 7 页（共 30 页）三角形全等综合证明试题参考答案与试题解析一解答题（共 13 小题）1 （2015于洪区一模）如图 1，在 ABC 中，ACB 为锐角，点 D 为射线 BC 上一点，连接 AD，以 AD 为一边且在 AD 的右侧作正方形 ADEF（1）如果 AB=AC， BAC=90，当点 D 在线段 BC 上时（与点 B 不重合） ，如图 2，线段 CF、BD 所在直线的位置关系为 垂直 ，线段 CF、BD 的数量关系为 相等 ；当点 D

14、 在线段 BC 的延长线上时，如图 3， 中的结论是否仍然成立，并说明理由；（2）如果 ABAC， BAC 是锐角，点 D 在线段 BC 上，当ACB 满足什么条件时，CFBC（点 C、F 不重合） ，并说明理由【考点】全等三角形的判定与性质菁优网版权所有【专题】压轴题；开放型【分析】 （1）当点 D 在 BC 的延长线上时的结论仍成立由正方形 ADEF 的性质可推出DABFAC，所以 CF=BD， ACF=ABD结合BAC=90 ，AB=AC ，得到BCF=ACB+ACF=90即 CFBD（2）当ACB=45 时，过点 A 作 AGAC 交 CB 的延长线于点 G，则GAC=90 ，可推出A

15、CB=AGC，所以 AC=AG，由（1）可知 CFBD【解答】证明：（1）正方形 ADEF 中，AD=AF，BAC=DAF=90，BAD=CAF，又 AB=AC，DABFAC，CF=BD，B= ACF，ACB+ACF=90，即 CFBD当点 D 在 BC 的延长线上时 的结论仍成立由正方形 ADEF 得 AD=AF，DAF=90 度BAC=90，DAF=BAC，DAB=FAC，又 AB=AC，第 8 页（共 30 页）DABFAC，CF=BD，ACF=ABDBAC=90，AB=AC，ABC=45，ACF=45，BCF=ACB+ACF=90 度即 CFBD（2）当ACB=45 时，CF BD（如

16、图） 理由：过点 A 作 AGAC 交 CB 的延长线于点 G，则GAC=90 ，ACB=45，AGC=90 ACB，AGC=9045=45，ACB=AGC=45，AC=AG，DAG=FAC（同角的余角相等） ，AD=AF ，GADCAF，ACF=AGC=45，BCF=ACB+ACF=45+45=90，即 CFBC【点评】本题考查三角形全等的判定和直角三角形的判定，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS 、SAS、ASA 、AAS、HL判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件2 （2013烟台）已知，点 P 是直角三

17、角形 ABC 斜边 AB 上一动点（不与 A，B 重合） ，分别过 A，B 向直线 CP 作垂线，垂足分别为 E，F，Q 为斜边 AB 的中点（1）如图 1，当点 P 与点 Q 重合时，AE 与 BF 的位置关系是 AEBF ，QE 与 QF 的数量关系式 QE=QF ；（2）如图 2，当点 P 在线段 AB 上不与点 Q 重合时，试判断 QE 与 QF 的数量关系，并给予证明；（3）如图 3，当点 P 在线段 BA（或 AB）的延长线上时，此时（2）中的结论是否成立？请画出图形并给予证明第 9 页（共 30 页）【考点】全等三角形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线菁优网版权所有【专题】压轴

18、题【分析】 （1）证BFQAEQ 即可；（2）证FBQDAQ ，推出 QF=QD，根据直角三角形斜边上中线性质求出即可；（3）证AEQBDQ，推出 DQ=QE，根据直角三角形斜边上中线性质求出即可【解答】解：（1）AE BF，QE=QF，理由是：如图 1，Q 为 AB 中点，AQ=BQ，BFCP，AECP，BFAE，BFQ=AEQ=90 ，在BFQ 和 AEQ 中BFQAEQ（AAS） ，QE=QF，故答案为：AE BF；QE=QF（2）QE=QF，证明：如图 2，延长 FQ 交 AE 于 D，Q 为 AB 中点，AQ=BQ，BFCP，AECP，BFAE，QAD=FBQ，在FBQ 和 DAQ 中FBQDAQ（ASA） ，QF=QD，AECP，EQ 是直角三角形 DEF 斜边上的中线，QE=QF=QD，即 QE=QF第 10 页（共 30 页）（3） （2）中的结论仍然成立，证明：如图 3，延长 EQ、FB 交于 D，Q 为 AB 中点，AQ=BQ，BFCP，AECP，BFAE，1=D，在AQE 和 BQD 中，AQEBQD（AAS） ，QE=QD，BFCP，FQ 是斜边 DE 上的中线，QE=QF