第一讲 一元二次方程培优专题含答案.doc

1、 初二升初三数学思维训练 火箭班 授课教师：WU 锲而不舍，方能滴水穿石1第一讲 一元二次方程培优专题（含答案）一选择题（共 14 小题）1 （2016包头） 若关于 x 的方程 x2+（m+1）x+ =0 的一个实数根的倒数恰是它本身，则 m 的值是（ ）A B C 或 D12 （2016乐山） 若 t 为实数，关于 x 的方程 x24x+t2=0 的两个非负实数根为a、b，则代数式（ a21） （b 21）的最小值是（ ）A15 B16 C15 D163 （2016河北） a，b，c 为常数，且（ac） 2a 2+c2，则关于 x 的方程ax2+bx+c=0 根的情况是（ ）A有两个相等的

2、实数根 B有两个不相等的实数根C无实数根 D有一根为 04 （2016黄冈校级自主招生）设 x1，x 2 是方程 x2+x4=0 的两个实数根，则x135x22+10=（ ）A29 B19 C15 D95 （2016岱岳区一模） 我们知道，一元二次方程 x2=1 没有实数根，即不存在一个实数的平方等于1若我们规定一个新数： “i“，使其满足 i2=1（即方程x2=1 有一个根为 i） ，并且进一步规定：一切实数可以与新数进行四则运算，且原有的运算律和运算法则仍然成立，于是有 i1=i，i 2=1，i 3=i2i=（1）初二升初三数学思维训练 火箭班 授课教师：WU 锲而不舍，方能滴水穿石2i=

3、i， i4=（i 2） 2=（1） 2=1从而对任意正整数 n，我们可得到i4n+1=i4ni=（i 4） ni=i，同理可得 i4n+2=1，i 4n+3=i，i 4n=1，那么，i+i2+i3+i4+i2012+i2013 的值为（ ）A0 B1 C1 Di6 （2015株洲） 有两个一元二次方程 M：ax 2+bx+c=0；N ：cx 2+bx+a=0，其中ac0 ，ac 下列四个结论中，错误的是（ ）A如果方程 M 有两个相等的实数根，那么方程 N 也有两个相等的实数根B如果方程 M 的两根符号相同，那么方程 N 的两根符号也相同C如果 5 是方程 M 的一个根，那么 是方程 N 的一

4、个根D如果方程 M 和方程 N 有一个相同的根，那么这个根必是 x=17 （2015南充） 关于 x 的一元二次方程 x2+2mx+2n=0 有两个整数根且乘积为正，关于 y 的一元二次方程 y2+2ny+2m=0 同样也有两个整数根且乘积为正，给出三个结论：这两个方程的根都负根；（m 1） 2+（n1）22；12m 2n1，其中正确结论的个数是（ ）A0 个 B1 个 C2 个 D3 个8 （2013呼和浩特） 已知 ， 是关于 x 的一元二次方程 x2+（2m+3）x+m 2=0的两个不相等的实数根，且满足 + =1，则 m 的值是（ ）A3 B1 C3 或1 D3 或 19 （2013船

5、山区校级自主招生）若 m、n（mn）是关于 x 的方程 1（xa）（xb）=0 的两根，且 ab，则 a、b、m、n 的大小关系是（ ）Amab n Bamnb Cambn Dmanb初二升初三数学思维训练 火箭班 授课教师：WU 锲而不舍，方能滴水穿石310 （2013涟水县校级一模）已知方程 x24x+2=0 的两根是 x1，x 2，则代数式的值是（ ）A2011 B2012 C2013 D201411 （2012富顺县校级模拟）已知方程 a35a2+3a=0 三个根分别为 a1，a 2，a 3，则计算 a1（a 2+a3）+a 2（a 1+a3）+a 3（a 1+a2）的值（ ）A5 B

6、6 C6 D312 （2010汾阳市校级自主招生）已知一元二次方程 ax2+bx+c=0（a0）中，其中真命题有（ ）若 a+b+c=0，则 b24ac0；若方程 ax2+bx+c=0 两根为1 和 2，则2a+c=0； 若方程 ax2+c=0 有两个不相等的实根，则方程 ax2+bx+c=0 必有两个不相等的实根A1 个 B2 个 C3 个 D0 个13 （2010滨湖区一模）若ABC 的一边 a 为 4，另两边 b、c 分别满足b25b+6=0，c 25c+6=0，则ABC 的周长为（ ）A9 B10 C9 或 10 D8 或 9 或 1014 （2009桂平市二模）设 ， 是方程 x2+

7、9x+1=0 的两根，则（ 2+2009+1）（ 2+2009+1）的值是（ ）A0 B1 C2000 D4 000 000二填空题（共 10 小题）15 （2013绵阳） 已知整数 k5，若ABC 的边长均满足关于 x 的方程x23 x+8=0，则ABC 的周长是 初二升初三数学思维训练 火箭班 授课教师：WU 锲而不舍，方能滴水穿石416 （2013自贡） 已知关于 x 的方程 x2（a+b）x+ ab1=0，x 1、x 2 是此方程的两个实数根，现给出三个结论：x 1x 2；x 1x2ab； x12+x22a 2+b2则正确结论的序号是 （填上你认为正确结论的所有序号）17 （2013荆

8、门） 设 x1， x2 是方程 x2x2013=0 的两实数根，则= 18 （2013江阳区校级模拟）若非零实数 a，b（ab）满足a2a+2013=0，b 2b+2013=0，则 = 19 （2012金牛区三模）已知实数 x 满足 ，则 = 20 （2009河南模拟） 设 A 是方程 x2 x2009=0 的所有根的绝对值之和，则 A2= 21 （2006荆州） 已知关于 x 的二次方程（12k）x 22 x1=0 有实数根，则 k的取值范围是 22 （2001宜昌） 用换元法解方程 2x2+3x5 +3=0 时，若设 a=，则原方程可变形为 三解答题（共 6 小题）23 （2014番禺区校

9、级模拟）已知关于 x 的方程 x2+2（k3）x+k 2=0 有两个实数根 x1、x 2（1）求 k 的取值范围； （2）若|x 1+x29|=x1x2，求 k 的值初二升初三数学思维训练 火箭班 授课教师：WU 锲而不舍，方能滴水穿石524 （2014杭州模拟） 阅读下列材料：求函数 的最大值解：将原函数转化成 x 的一元二次方程，得 x 为实数，= =y+40，y4因此，y 的最大值为 4根据材料给你的启示，求函数 的最小值25 （2012孝感） 已知关于 x 的一元二次方程 x2+（m +3）x+m +1=0（1）求证：无论 m 取何值，原方程总有两个不相等的实数根：（2）若 x1，x

10、2 是原方程的两根，且|x 1x2|=2 ，求 m 的值，并求出此时方程的两根初二升初三数学思维训练 火箭班 授课教师：WU 锲而不舍，方能滴水穿石626 （2009鄂州自主招生）已知关于 x 的方程 ，（1）若两根 x1，x 2 满足 x10x 2，求 m 的范围；（2）若 ，求 m 的值27当 m 为何值时，方程 x2（m +1）x+m=0 的两根分别满足：（1）都是正根； （2）两根异号，且负根的绝对值大；（3）两根都大于1； （4）两根一个大于 1，另一个小于128 （2012重庆模拟） 已知：如图，在ABC 中，B=90，AB=5cm，BC=7cm点 P 从点 A 开始沿 AB 边向

11、点 B 以 1cm/s 的速度移动，点Q 从点 B 开始沿 BC 边向点 C 以 2cm/s 的速度移动初二升初三数学思维训练 火箭班 授课教师：WU 锲而不舍，方能滴水穿石7（1）如果 P， Q 分别从 A，B 同时出发，那么几秒后，PBQ 的面积等于6cm2？（2）如果 P， Q 分别从 A，B 同时出发，那么几秒后，PQ 的长度等于 5cm？（3）在（1）中，PQB 的面积能否等于 8cm2？说明理由初二升初三数学思维训练 火箭班 授课教师：WU 锲而不舍，方能滴水穿石8第一讲 一元二次方程培优专题参考答案与试题解析一选择题（共 14 小题）1 （2016包头）若关于 x 的方程 x2+

12、（m+1）x+ =0 的一个实数根的倒数恰是它本身，则 m 的值是（ ）A B C 或 D1【解答】解：由根与系数的关系可得：x1+x2=（m +1） ，x 1x2= ，又知个实数根的倒数恰是它本身，则该实根为 1 或1，若是 1 时，即 1+x2=（m+1） ，而 x2= ，解得 m= ；若是1 时，则 m= 故选：C 2 （2016乐山）若 t 为实数，关于 x 的方程 x24x+t2=0 的两个非负实数根为a、b，则代数式（ a21） （b 21）的最小值是（ ）A15 B16 C15 D16【解答】解：a ，b 是关于 x 的一元二次方程 x24x+t2=0 的两个非负实根，可得 a+

13、b=4，ab=t2，（a 21） （b 21）= （ab） 2（a 2+b2）+1=（ab） 2（a+b） 2+2ab+1，（a 21） （b 21） ，=（t2） 216+2（t2）+1，初二升初三数学思维训练 火箭班 授课教师：WU 锲而不舍，方能滴水穿石9=（t1） 215，（t1） 20，代数式（a 21） （b 21）的最小值是15，故选：A3 （2016河北） a，b，c 为常数，且（ac） 2a 2+c2，则关于 x 的方程ax2+bx+c=0 根的情况是（ ）A有两个相等的实数根 B有两个不相等的实数根C无实数根 D有一根为 0【解答】解：（a c） 2=a2+c22aca 2

14、+c2，ac0在方程 ax2+bx+c=0 中，=b 24ac4ac0，方程 ax2+bx+c=0 有两个不相等的实数根故选 B4 （2016黄冈校级自主招生）设 x1，x 2 是方程 x2+x4=0 的两个实数根，则x135x22+10=（ ）A29 B19 C15 D9【解答】解：x 1，x 2 是方程 x2+x4=0 的两个实数根，x 12=4x1，x 22=4x2，x 1+x2=1，x 135x22+10=x1（4x 1）5（4 x2）+10，=4x1x （4x 1）20+5x 2+10，=4x14+x120+5x2+10，初二升初三数学思维训练 火箭班 授课教师：WU 锲而不舍，方能

15、滴水穿石10=5（x 1+x2）24+10，=514，=19故选 B5 （2016岱岳区一模）我们知道，一元二次方程 x2=1 没有实数根，即不存在一个实数的平方等于1若我们规定一个新数： “i“，使其满足 i2=1（即方程x2=1 有一个根为 i） ，并且进一步规定：一切实数可以与新数进行四则运算，且原有的运算律和运算法则仍然成立，于是有 i1=i，i 2=1，i 3=i2i=（1）i=i， i4=（i 2） 2=（1） 2=1从而对任意正整数 n，我们可得到i4n+1=i4ni=（i 4） ni=i，同理可得 i4n+2=1，i 4n+3=i，i 4n=1，那么，i+i2+i3+i4+i2

16、012+i2013 的值为（ ）A0 B1 C1 Di【解答】解：由题意得，i 1=i，i 2=1，i 3=i2i=（1） i=i，i 4=（i 2） 2=（1）2=1，i 5=i4i=i，i 6=i5i=1，故可发现 4 次一循环，一个循环内的和为 0， =5031，i+i 2+i3+i4+i2012+i2013=i故选：D6 （2015株洲）有两个一元二次方程 M：ax 2+bx+c=0；N ：cx 2+bx+a=0，其中ac0 ，ac 下列四个结论中，错误的是（ ）A如果方程 M 有两个相等的实数根，那么方程 N 也有两个相等的实数根B如果方程 M 的两根符号相同，那么方程 N 的两根符号也相同