数字信号处理习题解答.doc

1、1第一章2、已知线性移不变系统的输入为 ，系统的单位抽()xn样相应为 ，试求系统的输出 。()hny（2） 3,xR4()解：此题考察线性移不变系统的输出为激励与单位抽样相应的卷积，即： ()*()1,2,y4、判断下列每个序列的周期性，若是周期性的，试确定其周期。 3()cos)78xnA解： 03 ()cos()7814N=2/3 ,xnAnkk。6、试判断系统的线性和移不变性。 2(2) ynx解： 211nT2221bxabynanbyanbxaTx212121 即 系 统 是 移 不 变 的即myny8、以下序列是系统的单位抽样响应 ，试说明系统()hn的因果性和稳定性。（4） 3

2、()nu解：因果性：当 时， ， 是非因果的；0()稳定性： ， 是稳定123|()3nh的。11、有一理想抽样系统，抽样角频率为 ，抽6s样后经理想低通滤波器 还原，其中()aHj1,3()20aHj今有两个输入，。输出信号有无失真？12()cos,()cos5aaxttxt为什么？解：要想时域抽样后能不失真的还原出原始信号，则要求抽样频率大于 2 倍信号频谱的最高频率，即满足奈奎斯特抽样定理。根据奈奎斯特定理可知： 失 真 。 频 谱 中 最 高 频 率无 失 真 。 频 谱 中 最 高 频 率)( 3265 , 5cos)(, 2 21 1tytxtta aa a 第二章1、求以下序列的

3、 变换，并求出对应的零极点和收敛z域。（1） |(),1nxa解：由 Z 变换的定义可知： 010212()()nnnXzzaazzzaza,0 1, 1 , 零 点 为 ：极 点 为 ： 即 ：且收 敛 域 ：2、假如 的 变换代数表示式是下式，问()xn可能有多少不同的收敛域，它们分别对应什么序()Xz列？ )83451)()( 22zz解：对 X(z)的分子和分母进行因式分解得系 统 不 是 线 性 系 统0()sin()xNA02k0k2112111()()3()44()()(ZXjjX(z)的零点为：1/2 ， 极点为： j/2 , -j/2 , -3/4 X(z)的收敛域为： (1

4、) 1/2 3/4 ， 为右边序列6. 有一信号 ,它与另两个信号 和)(ny)(1nx的关系是：2x(321其中 ， ，已知)()(1nu)2nux， ， 1azZn。变 换的变 换 性 质 求利 用 )()( zYzy解：根据题目所给条件可得：112)( znx123)( Z112)(znxZ2XZ3)()(122 znx23z而 )1( )()21nxy所以 3132()YzZzz12. 已知用下列差分方程描述的一个线性移不变因果系统)1()2()1() nxyny(1) 求这个系统的系统函数，画出其零极点图并指出其收敛区域；(2) 求此系统的单位抽样响应；(3) 此系统是一个不稳定系统

5、，请找一个满足上述差分方程的稳定的（非因果）系统的单位抽样响应。解：（1）对题中给出的差分方程的两边作 Z 变换，得：)()()()(12zXYzzY所以 )212aXH零点为 z=0，极点为 6.5.01az2z因为是因果系统，所以|z|1.62 是其收敛区域。（2）121212120012 ()()nnzazaza6. ,6. )()(21uah式 中所 以由于 的收敛区域不包括单位圆，故这是个不)(zH稳定系统。（3）若要使系统稳定，则收敛区域应包括单位圆,因此选 的)(收敛区域为 ，即 12az，则6.12.0z2121)(zaH中第一项对应一个非因果序列，而第二项对应一个因果序列。1

6、2012()nnzazz)(62.()6.(47.0)(12 nunuanhn则 有从结果可以看出此系统是稳定的，但不是因果的。13、研究一个输入为 和输出为 的时域线性离)(x)(y散移不变系统，已知它满足 3，并已知系统是)(1()310)( nxynny稳定的。试求其单位抽样响应。解：对给定的差分方程两边作 Z 变换，得：)31( 0 )()(310)(1zzXYHzz则 ：，为了使它是稳定的，收敛区, 21z极 点 为域必须包括单位圆，故取 /| z。利用第十二题(3)的结果 12,/a即可求得 )(3)(38)( nununh第三章1、如下图，序列 x(n)是周期为 6 的周期性序列

7、，试求其傅立叶级数的系数。-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 14 12 10 8 6 4 2 ()xn n 5600222223456666X()()14810jnknkjjjjkjkxWeee。计算求得： ();()9; () ;30 359jXjX。3.设 。令1,4(),nx。4()2)hnR试求 的圆66,() (xhn。周卷积并作图。解：在一个周期内的计算值()*()ynxhnm如下图所示：-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 14 12 10 8 6 4 2 ()yn n 8、如下图

8、表示一个 5 点序列 。()xn（1）试画出 ；1()yn（2）试画出 ；2（3）试画出 。3()解：由图可知 (),03|,124xn则（1）线性卷积 为(),mn1 0 2 1 31 0 2 1 3 3 0 6 3 91 0 2 1 32 0 4 2 61 0 2 1 3 1 0 4 2 10 4 13 6 9故， =1, 0, 4, 2, 10, 4, 13, ()ynxn6, 9; n=0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8(2) 利用圆周卷积是线性卷积以 5 点位周期的周期延拓序列的主值序列，故=1+4=5； =0+13=13；2(0)y2(1)y=4+6=10； =2+

9、9=11；3= =5,13,10,11,10;n=0,1,2,3,42nxn(3)当圆周卷积的长度大于等于线性卷积非零值长度时，两者相等，故=1,0,4,2,10,4,13,6,9,0; ()()yn=0, 1,2,3,4,5,6,7,8,9414、设有一谱分析用的信号处理器，抽样点数必须为2 的整数幂，假定没有采用任何特殊数据处理措施，要求频率分辨力 10Hz，如果采用的抽样时间间隔为0.1ms，试确定：（1）最小记录长度；（2）所允许处理的信号的最高频率；（3）在一个记录中的最少点数。解：（1） 110 0PPTFHzTs。因此最小记录长度为 0.1s；（2） 30.sfK 52hhsfz

10、所以允许处理的信号的最高频率为 5KHz；（3） ，又因为抽样点数必须为3.10PTN2 的整数幂，因此记录的最少点数为 1024N第四章1、如果一台通用计算机的速度为平均每次复乘 5us，每次复加 0.5us，用它来计算 512 点 DFTx(n)，问直接计算需要多少时间，用 FFT 运算需要多少时间。解：(1)直接计算:复乘所需时间：62150 .37TNs复加所需时间： 6212(1)0.55 8.43sT(2)用 FFT 计算：复乘所需时间： 612510log .Ns复加所需时间： 62212l0.og 34.8Ts2、 （1）画出 4 点基 2 频率抽取 IFFT 的运算流图；（2

11、） ，(),3,41;0,23Xkjjk基于该运算流图，试计算 的值。()xn解：（1） （6 分）4 点基 2 频率抽取 IFFT 的运算流图如下图所示。（2） （6 分）由图可得，11220411220412()()4331()() 33()()xXjWjjxx122()31故， ,;0,xnn第五章1、用直接 I 型及典范型结构实现以下系统函数： 214.06.283)(zzH解： 5).3.(121z ()10XYabHNnMm , ， ，3.1a2.5.01.2b42b直接 I 型结构如下图所示：典范型结构如下图所示：57、设某 FIR 数字滤波器的系统函数为： )3531() 42

12、zzzH试画出此滤波器的线性相位结构。解：FIR 线性相位滤波器满足 ，1(nNhn即对 呈现偶对称或奇对称，因而可简化/)(Nn结构。则由已知得： )4(51)3( 2)(nh则 300.; (0.6; (2)15hh即 是偶对称，对称中心在 处， 为奇()hn1 N数 。5N线性相位结构如下图所示：第六章1、以下线性移不变系统哪一个是最小相位延时系统？ 12 1212 126886() ()7+7zzAHBHCD 解：最小相位延时系统是指系统函数的极点、零点均在单位圆内的系统。故（A）是最小相位延时系统（A） 极点是：-1/3, -1/4; 零点是：1/4(二阶)，故是最小相位延时系统（B

13、） 极点是：-3, -4; 零点是：4(二阶)，故不是最小相位延时系统（C） 极点是：-1/3, -1/4; 零点是：4(二阶)，故不是最小相位延时系统(D) 极点是：-3, -4; 零点是：1/4(二阶)，故不是最小相位延时系统2、用冲激响应不变法将以下 变换为 )(sHa，抽样周期为 T)(zH(1) 。2)asb解：由已知得2()11 asHbjaj()()()2abtbtahteu由冲激响应不变法可得：()()ajbnTajbnTne则0112() 2cosnaTjbaTjbHzhzeezz3、设有一模拟滤波器 2()1aHs抽样周期 T = 2，试用双线性变换法将它转变为数字系统函数

14、 。()z解：双线性变换法将模拟系统函数的 S 平面和离散的系统函数的 Z 平面之间是一一对应的关系，消除了频谱的混叠现象，变换关系为 。1zsc由变换公式， 及 可得：1zs2TT = 2 时： 1z12112()|()3aszHzz第七章1、已知 FIR 数字滤波器的两个零点为 2+j、0.5，试求出其它零点。解： 2+j 对应的零点为：2-j， 12j， j 0.5 对应的零点为： 0.5， 即：2 2、用横截型结构实现以下系统函数： 1111()66Hzzz6解： 1111()(62)()26Hzzz21(z12121537()()(zz34580583z3、已知一个线性相位 FIR

15、系统有零点2/33/41,0.5,1/j jzezez，这个系统的冲激响应 ()hn的最小长度为多少？解：由已知的零点，可以知道与之成组的其他零点： 2/3-2/3/4/43/43/40.50.5,2,1/jjj jjjzeeeez 如果 ()hn的长度为 N,那么该系统共有 N-1 个零点，反之亦然。现在已知该系统的零点连导出的共 9 个，因此 的长度最少为 10.4、 （20 分）设某 FIR 滤波器的系统函数为134()0.5.Hzzz，（1）求该 FIR 滤波器的单位抽样响应 ()hn；（2）判断该 FIR 滤波器是否具有线性相位特性；（3）求该 FIR 滤波器对应的差分方程；（4）求

16、该 FIR 滤波器的幅频特性和相位特性；（5）画出该 FIR 数字滤波器的直接型结构和线性相位型结构。解：（1） （3 分）FIR 滤波器的单位抽样响应 ()hn为：1()()0.5(1).34hnZHzn（2） （3 分）基于 h的表达式，可知： h(0) = 1; h(1) = 0.5; h(2) = 0; h(3) = -0.5; h(4) = -1即 ()是 N=5 的 FIR 滤波器的单位抽样响应，且满足 1)hnNn故该 FIR 滤波器具有线性相位特性。（3） （3 分）根据系统输出 (y与系统输入()x和单位抽样响应 )h的关系，有()*)yxx 0.51.(3(4nn()0.5

17、(1).(3)(4)xnxn（4） （5 分）系统函数在单位圆上的取值，就是该系统的频率响应342 2()(0.5.sinjj jjjzej jjjjHee 故：幅频特性为： 2()0.50.5sin2jje相位特性为： 2argargj jHe（5） （6 分）该 FIR 数字滤波器的直接型结构如下图线性相位型结构如下图：5.（20 分）设 FIR 滤波器的系统函数为 1234()0.9.09)Hzzz（1）求出该 FIR 滤波器的单位取样响应 ()hn；（2）判断该 FIR 滤波器是否具有线性相位特性；（3）求该 FIR 滤波器的幅频特性和相位特性，并画出其幅频特性曲线；（4）画出该 FI

18、R 数字滤波器的直接型结构、线性相位型结构。解：（1）对 FIR 数字滤波器，其系统函数为43210 9.0. zzznhHN由系统函数可知单位脉冲响应为1,.92,（2）由 nh的取值可知 nh满足,Nnh5所以，该 FIR 滤波器具有第一类线性相位特性。（3） （8 分）设其频率响应函数为 jeH710Nnnjjgj eheHe 2432cos8.1209.9jjjjj e幅度特性函数为10s.gH 相位特性函数为 2N其幅频特性曲线如图所示： （4）直接型结构： （3 分）线性相位结构： 其它思考题1. 因果稳定数字系统的极点分布有什么特点2. 序列傅里叶变换（DTFT）与 Z 变换的联

19、系3. 有那四种不同信号的谱分析，其频谱有什么不同特点4. 减少 DFT 计算的途径有哪些5. 因果系统、非因果系统、最小相位、最大相位系统零极点的分布有何特点6. 何谓 IIR，FIR 滤波器，各自的优缺点是什么7. FIR 滤波器具有线性相位的充要条件是什么，其零点分布有什么特点8. IIR 滤波器设计的冲击响应不变法和双线性变换法的最大不同是什么9. 窗函数设计 FIR 滤波器，滤波器参数和窗函数的关系第一章：2. (2)，4. (1)，7. (4)，8. (4)，11.第二章：1. (1)，2. ，6.，7. (6)，12.，13第三章：1，3，8，14， 15(1), 16(2)， 22第四章：1，3第五章：1，2，3，4，7第六章：1（1） ，3第七章：