勾股定理培优讲义.doc

1、宜昌市迈克学习能力培训学校 业精于勤荒于嬉1 编写人：王老师cbaHGFED CBA bac baccabcab abccbaEDCBA勾股定理知识点汇总1、基础知识点：勾股定理： 直角三角形 两 直角边的平方和 等于 斜边的平方 ；表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为 ， ，斜边为 ，那么abc22abc.勾股定理的证明勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法用拼图的方法验证勾股定理的思路是图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理常见方法如下：方法一： ， ，化简可证4EFGHSS正 方 形 正 方 形 ABC

2、D214()abc方法二：四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为 大正方形面积为 2214abc 22()Sab所以 22abc方法三： ， ，化简得证1()Sa梯 形 21SADEBabc梯 形 22c.勾股定理的适用范围勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系， 它只适用于直角三角形 ，对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征。.勾股定理的应用已知直角三角形的任意两边长，求第三边在 中， ，则 ，ABC902cab，2bca2cb知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系可运用勾股定理解决一些实际问题.勾股定理

3、的逆定理如果三角形三边长 ， ， 满足 ，那么这个三角形是直角三角形，其中 为斜边。abc22abc c 勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时，可用两小边的平方和 与较长边的平方 作比较，若它们相2ab2等时，以 ， ， 为三边的三角形是直角三角形； 若 ，时，以 ， ， 为三边的三角形是钝角三角形；若 ，时，以 ， ， 为三边22abcabc 2cabc的三角形是锐角三角形； 定理中 ， ， 及 只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长 ， ， 满22足 ，那么以 ， ， 为三边的三角形是直角

4、三角形，但是 为斜边22 b该定理在应用时，同学们要注意处理好如下几个要点： 已知的条件：某三角形的三条边的长度.满足的条件：最大边的平方=最小边的平方+中间边的平方.得到的结论：这个三角形是直角三角形，并且最大边的对角是直角.如果不满足条件，就说明这个三角形不是直角三角形。.勾股数满足 a2 + b2= c2的三个正整数，称为勾股数。注意：勾股数必须是正整数，不能是分数或小数。一组勾股数扩大相同的正整数倍后，仍是勾股数。常见勾股数有：（3，4，5 ）(5，12，13 ) ( 6，8，10 ) ( 7，24，25 ) ( 8，15，17 )(9，12，15 ) 用含字母的代数式表示 组勾股数：

5、 （ 为正整数） ；n221,n,n宜昌市迈克学习能力培训学校 业精于勤荒于嬉2 编写人：王老师（ 为正整数） （ ， 为正整数）221,1nnn22,mnn,mn勾股定理的应用勾股定理能够帮助我们解决直角三角形中的边长的计算或直角三角形中线段之间的关系的证明问题在使用勾股定理时，必须把握直角三角形的前提条件，了解直角三角形中，斜边和直角边各是什么，以便运用勾股定理进行计算， 应设法添加辅助线（通常作垂线） ，构造直角三角形， 以便正确使用勾股定理进行求解.勾股定理逆定理的应用勾股定理的逆定理能帮助我们通过三角形三边之间的数量关系判断一个三角形是否是直角三角形，在具体推算过程中，应用两短边的平

6、方和与最长边的平方进行比较，切不可不加思考的用两边的平方和与第三边的平方比较而得到错误的结论.勾股定理及其逆定理的应用勾股定理及其逆定理在解决一些实际问题或具体的几何问题中，是密不可分的一个整体通常既要通过逆定理判定一个三角形是直角三角形，又要用勾股定理求出边的长度，二者相辅相成，完成对问题的解决常见图形： A BC 30 DCBA ADB C10、互逆命题的概念如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设，这样的两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题。经过证明被确认正确的命题叫做定理如果一个定理的的逆命题经过证明是正确的，它也是一个定理，称这两个定理

7、互为逆定理考点剖析宜昌市迈克学习能力培训学校 业精于勤荒于嬉3 编写人：王老师考点一：利用勾股定理求面积1、求阴影部分面积：（1）阴影部分是正方形；（2）阴影部分是长方形；（3）阴影部分是半圆2. 如图，以 RtABC 的三边为直径分别向外作三个半圆，试探索三个半圆的面积之间的关系3、如图所示，分别以直角三角形的三边向外作三个正三角形，其面积分别是S1、S 2、S 3，则它们之间的关系是（ ）A. S1- S2= S3 B. S1+ S2= S3 C. S2+S31） ，那么它的斜边长是（ ）1n2A、2n B、n+1 C、n 21 D、 1n2S3S2S1宜昌市迈克学习能力培训学校 业精于勤

8、荒于嬉4 编写人：王老师7、在 RtABC 中，a,b,c 为三边长，则下列关系中正确的是（ ）A. B. C. D.以上都有可能22abc22acb22cba8、已知 RtABC 中，C=90，若 a+b=14cm，c=10cm，则 RtABC 的面积是（ ）A、24 B、36 C、48 D、602m2m22cm9、已知 x、y 为正数，且x 2-4+（y 2-3） 2=0，如果以 x、y 的长为直角边作一个直角三角形，那么以这个直角三角形的斜边为边长的正方形的面积为（ ）A、5 B、25 C、7 D、15 考点三：应用勾股定理在等腰三角形中求底边上的高例、如图 1 所示，等腰 中， ， 是

9、底边上的高，若 .求 AD 的长；ABC 的面积考点四：勾股数的应用、利用勾股定理逆定理判断三角形的形状、最大、最小角的问题1、下列各组数据中的三个数，可作为三边长构成直角三角形的是（ ）A. 4，5，6 B. 2，3，4 C. 11，12，13 D. 8，15，172、若线段 a，b，c 组成直角三角形，则它们的比为（ ）A、234 B、346 C、51213 D、4673、下面的三角形中：ABC 中，C=AB； ABC 中，A：B：C=1：2：3； ABC 中，a：b：c=3：4：5；ABC 中，三边长分别为 8，15，17其中是直角三角形的个数有（ ） A1 个 B2 个 C3 个 D4

10、 个4、若三角形的三边之比为 ，则这个三角形一定是（ ）1:2A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等腰直角三角形 D.不等边三角形5、已知 a，b，c 为ABC 三边，且满足(a 2b 2)(a2+b2c 2)0，则它的形状为（ ）A.直角三角形 B.等腰三角形 C.等腰直角三角形 D.等腰三角形或直角三角形6、将直角三角形的三条边长同时扩大同一倍数, 得到的三角形是( )A 钝角三角形 B. 锐角三角形 C. 直角三角形 D. 等腰三角形7、若ABC 的三边长 a,b,c 满足 试判断ABC 的形状。22abc01a6b20c，8、ABC 的两边分别为 5,12，另一边为奇数，且 a+b+c

11、 是 3 的倍数，则 c 应为 ，此三角形为 。例 3：求（1）若三角形三条边的长分别是 7,24,25，则这个三角形的最大内角是 度。宜昌市迈克学习能力培训学校 业精于勤荒于嬉5 编写人：王老师（2）已知三角形三边的比为 1： ：2，则其最小角为 。3考点五:应用勾股定理解决楼梯上铺地毯问题某楼梯的侧面视图如图 3 所示，其中 米， ， ，因某种活动要求铺设红色地毯，则在 AB 段楼梯所铺地毯的长度应为 ,面积为 考点六、利用列方程求线段的长（方程思想）、小强想知道学校旗杆的高，他发现旗杆顶端的绳子垂到地面还多 1 米，当他把绳子的下端拉开 5 米后，发现下端刚好接触地面，你能帮他算出来吗？

12、 2、一架长 2.5 的梯子，斜立在一竖起的墙上，梯子底端距离墙底 0.7 （如图） ，如果梯子的顶端沿墙下滑mm0.4 ，那么梯子底端将向左滑动 米3、如图，一个长为 10 米的梯子，斜靠在墙面上，梯子的顶端距地面的垂直距离为 8 米，如果梯子的顶端下滑 1 米，那么，梯子底端的滑动距离 1 米， （填“大于” ， “等于” ，或“小于” ）4、在一棵树 10 m 高的 B 处，有两只猴子，一只爬下树走到离树 20m 处的池塘 A 处；另外一只爬到树顶 D 处后直接跃到 A 外，距离以直线计算，如果两只猴子所经过的距离相等，试问这棵树有多高？5、如图，是一个外轮廓为矩形的机器零件平面示意图，

13、根据图中标出尺寸（单位：mm）计算两圆孔中心 A 和 B 的距离为 .86C ADBABC60120140B60AC宜昌市迈克学习能力培训学校 业精于勤荒于嬉6 编写人：王老师8米 2米 8米 第 6题 图 6、如图：有两棵树，一棵高 8 米，另一棵高 2 米，两树相距 8 米，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞了 米7、如图所示，某人到一个荒岛上去探宝，在 A 处登陆后，往东走 8km，又往北走 2km，遇到障碍后又往西走3km，再折向北方走到 5km 处往东一拐，仅 1km就找到了宝藏，问：登陆点（ A 处）到宝藏埋藏点（ B 处）的直线距离是多少？考点七：折叠问题1、如图，

14、有一张直角三角形纸片，两直角边 AC=6，BC=8，将ABC 折叠，使点 C 落在 A 边上上的点 E，折痕为 AD，连接 DE，则 CD 等于（ ）A. B. C. D.3 42532472、如图所示，已知ABC 中，C=90，AB 的垂直平分线交 BC于 M，交 AB 于 N，若 AC=4，MB=2MC，求 AB 的长3、折叠矩形 ABCD 的一边 AD,点 D 落在 BC 边上的点 F 处,已知 AB=8CM,BC=10CM,求CF 和 EC。4、如图，在长方形 ABCD 中，DC=5，在 DC 边上存在一点 E，沿直线 AE 把ABC 折叠，使点 D 恰好在 BC 边上，设此点为 F，

15、若ABF 的面积为 30，求折叠的AED 的面积AB CEFD宜昌市迈克学习能力培训学校 业精于勤荒于嬉7 编写人：王老师5、如图，矩形纸片 ABCD 的长 AD=9，宽 AB=3，将其折叠，使点 D 与点 F 重合，那么折叠后 DE 的长是多少？6、如图，在长方形 ABCD 中，将 ABC 沿 AC 对折至 AEC 位置，CE 与 AD 交于点 F。（1）试说明：AF=FC；（2）如果 AB=3，BC=4，求 AF 的长7、如图 2 所示，将长方形 ABCD 沿直线 AE 折叠，顶点 D 正好落在 BC 边上 F 点处，已知 CE=3cm，AB=8cm，则图中阴影部分面积为_8、如图，把矩形

16、 ABCD 沿直线 BD 向上折叠，使点 C 落在 C的位置上，已知AB=3，BC=7，重合部分EBD 的面积为_9、如图 5，将正方形 ABCD 折叠，使顶点 A 与 CD 边上的点 M 重合，折痕交 AD 于 E，交 BC 于 F，边 AB 折叠后与BC 边交于点 G。如果 M 为 CD 边的中点，求证：DE：DM：EM=3：4：5。10、如图 2-5，长方形 ABCD 中，AB=3，BC=4，若将该矩形折叠，使 C 点与 A 点重合，则折叠后痕迹 EF 的长为（ ）A3.74 B3.75 C3.76 D3.77宜昌市迈克学习能力培训学校 业精于勤荒于嬉8 编写人：王老师2-511、如图

17、1-3-11，有一块塑料矩形模板 ABCD，长为 10cm，宽为 4cm，将你手中足够大的直角三角板 PHF 的直角顶点 P 落在 AD 边上（不与 A、D 重合） ，在 AD 上适当移动三角板顶点 P：能否使你的三角板两直角边分别通过点 B 与点 C？若能，请你求出这时 AP 的长；若不能，请说明理由.再次移动三角板位置，使三角板顶点 P 在 AD 上移动，直角边 PH 始终通过点 B，另一直角边 PF 与 DC 的延长线交于点 Q，与 BC 交于点 E，能否使 CE=2cm？若能，请你求出这时 AP 的长；若不能，请你说明理由.12、如图所示，ABC 是等腰直角三角形，AB=AC，D 是斜

18、边 BC 的中点，E、F 分别是AB、AC 边上的点，且 DEDF，若 BE=12，CF=5求线段 EF 的长。13、如图，公路 MN 和公路 PQ 在点 P 处交汇，且QPN30，点 A 处有一所中学，AP160m。假设拖拉机行驶时，周围 100m 以内会受到噪音的影响，那么拖拉机在公路 MN 上沿 PN 方向行驶时，学校是否会受到噪声影响？请说明理由，如果受影响，已知拖拉机的速度为 18km/h，那么学校受影响的时间为多少秒？ 考点八：应用勾股定理解决勾股树问题1、 如图所示，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为 5，则正方形 A，B，C，D 的面积

19、的和为 2、已知 ABC 是边长为 1 的等腰直角三角形，以 Rt ABC 的斜边 AC 为直角边，画第二个等腰 Rt ACD，再以 Rt ACD 的斜边 AD 为直角边，画第三个等腰Rt ADE，依此类推，第 n 个等腰直角三角形的斜边长是 宜昌市迈克学习能力培训学校 业精于勤荒于嬉9 编写人：王老师431213BCDA考点九、图形问题1、如图 1，求该四边形的面积 2、如图 2，已知，在 ABC 中， A = 45， AC = ， AB = +1，则边 BC 的长为 2 33、某公司的大门如图所示,其中四边形是长方形,上部是以为直径的半圆,其中=2.3，=2,现有一辆装满货物的卡车,高为

20、2.5,宽为1.6,问这辆卡车能否通过公司的大门?并说明你的理由. 4、将一根长 24的筷子置于地面直径为 5，高为 12的圆柱形水杯中，设筷子露在 杯子外面的长为 h，则 h 的取值范围 。5、如图，铁路上 A、B 两点相距 25km，C、D 为两村庄，DA垂直 AB 于 A，CB 垂直 AB 于 B，已知AD=15km，BC=10km，现在要在铁路 AB 上建一个土特产品收购站 E，使得 C、D 两村到 E 站的距离相等，则 E 站建在距 A 站多少千米处？考点十：其他图形与直角三角形如图是一块地，已知 AD=8m，CD=6m，D=90，AB=26m，BC=24m，求这块地的面积。考点十一

21、：与展开图有关的计算宜昌市迈克学习能力培训学校 业精于勤荒于嬉10 编写人：王老师1、如图，在棱长为 1 的正方体 ABCDABCD的表面上，求从顶点 A 到顶点 C的最短距离2、 如图一个圆柱，底圆周长 6cm，高 4cm，一只蚂蚁沿外壁爬行，要从 A 点爬到 B 点，则最少要爬行 cm3、国家电力总公司为了改善农村用电电费过高的现状，目前正在全国各地农村进行电网改造，某地有四个村庄A、B、C、D，且正好位于一个正方形的四个顶点，现计划在四个村庄联合架设一条线路，他们设计了四种架设方案，如图实线部分请你帮助计算一下，哪种架设方案最省电线 考点十二、航海问题1、一轮船以 16 海里/时的速度从

22、 A 港向东北方向航行，另一艘船同时以 12 海里/时的速度从 A 港向西北方向航行，经过 1.5 小时后，它们相距_海里2、如图，某货船以 24 海里时的速度将一批重要物资从 A 处运往正东方向的 M 处，在点 A 处测得某岛 C 在北偏东 60的方向上。该货船航行 30 分钟到达 B 处，此时又测得该岛在北偏东 30的方向上，已知在 C 岛周围9 海里的区域内有暗礁，若继续向正东方向航行，该货船有无暗礁危险？试说明理由。3、如图，某沿海开放城市 A 接到台风警报，在该市正南方向 260km 的 B 处有一台风中心，沿 BC 方向以 15km/h 的速度向 D 移动，已知城市 A 到 BC 的距离 AD=100km，那么台风中心经过多长时间从 B 点移到 D 点？如果在距台风中心 30km 的圆形区域内都将有受到台风的破坏的危险，正在 D 点休闲的游人在接到台风警报后的几小时内撤离才可脱离危险？考点十三、网格问题BDBCA东东3060BACMD