相似三角形模型讲一线三等角问题讲义解答.doc

1、11、相似三角形判定的基本模型认识（一）A 字型、反 A 字型（斜 A 字型）BCDE（平行） CBADE（不平行）（二）8 字型、反 8 字型 JOADBC ABCD（蝴蝶型）（平行） （不平行）（三）母子型 ABCDCAD（四）一线三等角型：三等角型相似三角形是以等腰三角形（等腰梯形）或者等边三角形为背景（五）一线三直角型：（6）双垂型：CAD2相似三角形判定的变化模型旋转型：由 A 字型旋转得到。 8 字型拓展CB EDA共 享 性GAB CEF一线三等角的变形一线三直角的31如图，梯形 ABCD 中，ADBC，对角线 AC、BD 交于点 O，BECD 交 CA 延长线于 E求证：OC2

2、=OAOE2如图，在ABC 中，AB=AC=10 ，BC=16 ，点 D 是边 BC 上（不与 B，C 重合）一动点，ADE=B=，DE 交 AC 于点 E下列结论：AD2=AEAB；3.6 AE10； 当 AD=2 时，ABD DCE；DCE 为直角三角形时，BD 为 8 或 12.5其中正确的结论是 （把你认为正确结论的序号都填上）3已知：如图，ABC 中，点 E 在中线 AD 上，DEB= ABC求证：（1）DB 2=DEDA；（2）DCE=DAC4已知：如图，等腰ABC 中，AB=AC ，ADBC 于 D，CGAB，BG 分别交 AD、AC 于 E、F求证：BE2=EFEG5如图，已知

3、 AD 为ABC 的角平分线，EF 为 AD 的垂直平分线求证：FD 2=FBFC46已知：如图，在 RtABC 中， C=90，BC=2，AC=4，P 是斜边 AB 上的一个动点，PDAB，交边 AC于点 D（点 D 与点 A、C 都不重合） ，E 是射线 DC 上一点，且 EPD=A设 A、P 两点的距离为 x，BEP的面积为 y（1）求证：AE=2PE；（2）求 y 关于 x 的函数解析式，并写出它的定义域；（3）当BEP 与ABC 相似时，求BEP 的面积7如图，在ABC 中， A=60，BD、CE 分别是 AC 与 AB 边上的高，求证：BC=2DE8如图，已知ABC 是等边三角形，

4、点 D、B、C 、E 在同一条直线上，且 DAE=120（1）图中有哪几对三角形相似？请证明其中的一对三角形相似；（2）若 DB=2，CE=6，求 BC 的长9 （已知：如图，在 RtABC 中，AB=AC，DAE=45 求证：（1）ABEDCA ；（2）BC 2=2BECD510如图，在等边ABC 中，边长为 6，D 是 BC 边上的动点， EDF=60（1）求证：BDECFD；（2）当 BD=1，CF=3 时，求 BE 的长11 （1）在ABC 中，AB=AC=5 ，BC=8 ，点 P、Q 分别在射线 CB、AC 上（点 P 不与点 C、点 B 重合） ，且保持APQ=ABC 若点 P 在

5、线段 CB 上（如图） ，且 BP=6，求线段 CQ 的长；若 BP=x，CQ=y，求 y 与 x 之间的函数关系式，并写出函数的定义域；（2）正方形 ABCD 的边长为 5（如图） ，点 P、Q 分别在直线 CB、DC 上（点 P 不与点 C、点 B 重合） ，且保持APQ=90 度当 CQ=1 时，写出线段 BP 的长（不需要计算过程，请直接写出结果） 13已知梯形 ABCD 中，ADBC，且 ADBC，AD=5 ，AB=DC=2（1）如图，P 为 AD 上的一点，满足 BPC=A，求 AP 的长；（2）如果点 P 在 AD 边上移动（点 P 与点 A、D 不重合） ，且满足BPE= A，

6、PE 交直线 BC 于点 E，同时交直线 DC 于点 Q当点 Q 在线段 DC 的延长线上时，设 AP=x，CQ=y ，求 y 关于 x 的函数关系式，并写出自变量 x 的取值范围；当 CE=1 时，写出 AP 的长 （不必写解答过程）614如图，在梯形 ABCD 中，ADBC，AB=CD=BC=6，AD=3点 M 为边 BC 的中点，以 M 为顶点作EMF=B，射线 ME 交腰 AB 于点 E，射线 MF 交腰 CD 于点 F，连接 EF（1）求证：MEFBEM；（2）若BEM 是以 BM 为腰的等腰三角形，求 EF 的长；（3）若 EFCD，求 BE 的长15已知在梯形 ABCD 中，AD

7、BC，ADBC，且 BC=6，AB=DC=4 ，点 E 是 AB 的中点（1）如图，P 为 BC 上的一点，且 BP=2求证：BEP CPD；（2）如果点 P 在 BC 边上移动（点 P 与点 B、C 不重合） ，且满足EPF= C，PF 交直线 CD 于点 F，同时交直线 AD 于点 M，那么当点 F 在线段 CD 的延长线上时，设 BP=x，DF=y，求 y 关于 x 的函数解析式，并写出函数的定义域；当 时，求 BP 的长16如图所示，已知边长为 3 的等边ABC，点 F 在边 BC 上，CF=1，点 E 是射线 BA 上一动点，以线段EF 为边向右侧作等边EFG，直线 EG，FG 交直

8、线 AC 于点 M，N ，（1）写出图中与BEF 相似的三角形；（2）证明其中一对三角形相似；（3）设 BE=x， MN=y，求 y 与 x 之间的函数关系式，并写出自变量 x 的取值范围；（4）若 AE=1，试求GMN 的面积717如图所示，已知矩形 ABCD 中，CD=2，AD=3，点 P 是 AD 上的一个动点（与 A、D 不重合） ，过点 P作 PECP 交直线 AB 于点 E，设 PD=x，AE=y ，（1）写出 y 与 x 的函数解析式，并指出自变量的取值范围；（2）如果PCD 的面积是AEP 面积的 4 倍，求 CE 的长；（3）是否存在点 P，使 APE 沿 PE 翻折后，点

9、A 落在 BC 上？证明你的结论18如图，在 RtABC 中， C=90，AB=5， ，点 D 是 BC 的中点，点 E 是 AB 边上的动点，DFDE 交射线 AC 于点 F（1）求 AC 和 BC 的长；（2）当 EFBC 时，求 BE 的长；（3）连接 EF，当DEF 和ABC 相似时，求 BE 的长19如图，在 RtABC 中， C=90，AC=BC，D 是 AB 边上一点，E 是在 AC 边上的一个动点（与点A、C 不重合） ，DF DE，DF 与射线 BC 相交于点 F（1）如图 2，如果点 D 是边 AB 的中点，求证：DE=DF；（2）如果 AD：DB=m，求 DE：DF 的值

10、；（3）如果 AC=BC=6，AD： DB=1：2，设 AE=x，BF=y，求 y 关于 x 的函数关系式，并写出定义域；以 CE 为直径的圆与直线 AB 是否可相切？若可能，求出此时 x 的值；若不可能，请说明理由820如图，在ABC 中， C=90，AC=6， ，D 是 BC 边的中点，E 为 AB 边上的一个动点，作DEF=90，EF 交射线 BC 于点 F设 BE=x，BED 的面积为 y（1）求 y 关于 x 的函数关系式，并写出自变量 x 的取值范围；（2）如果以线段 BC 为直径的圆与以线段 AE 为直径的圆相切，求线段 BE 的长；（3）如果以 B、E、F 为顶点的三角形与 B

11、ED 相似，求 BED 的面积21如图，在梯形 ABCD 中，ABCD，AB=2 ，AD=4 ，tanC= ，ADC=DAB=90 ，P 是腰 BC 上一个动点（不含点 B、C） ，作 PQAP 交 CD 于点 Q （图 1）（1）求 BC 的长与梯形 ABCD 的面积；（2）当 PQ=DQ 时，求 BP 的长；（图 2）（3）设 BP=x，CQ=y ，试求 y 关于 x 的函数解析式，并写出定义域91.解答： 证明：ADBC， = ，又 BECD， = ， = ，即 OC2=OAOE2. 解答： 解：AB=AC，B= C，又ADE=BADE= C，ADEACD ， = ， AD2=AEAB，

12、故正确，易证得CDEBAD ， BC=16，设 BD=y，CE=x， = ， = ，整理得：y 216y+64=6410x，即（y8 ） 2=6410x，0x 6.4，AE=ACCE=10x，3.6 AE10故 正确作 AGBC 于 G，AB=AC=10， ADE=B=，cos = ，BC=16，AG=6，AD=2 ，DG=2， CD=8，AB=CD ， ABD 与DCE 全等；故正确；当 AED=90时，由可知： ADEACD， ADC=AED，AED=90，ADC=90 ，即 ADBC，AB=AC，BD=CD， ADE=B= 且 cos= ，AB=10，BD=8当CDE=90时，易CDEB

13、AD ，CDE=90， BAD=90，B= 且 cos= AB=10，cosB= = ，BD= 故 正确故答案为：3. 解答： 证明：（1）在BDE 和DAB 中DEB=ABC，BDE= ADB， BDEADB， ， BD2=ADDE（2）AD 是中线， CD=BD，CD 2=ADDE， ，又ADC=CDE ，DECDCA ，DCE=DAC4. 解答： 证明：连接 CE，如右图所示，AB=AC，ADBC，AD 是BAC 的角平分线，BE=CE，EBC=ECB，又ABC=ACB，ABC EBC=ACBECB，即ABE=ACE，又 CGAB， ABE=CGF，CGF=FCE，又FEC= CEG，C

14、EF GEC，CE：EF=EG：CE ，即 CE2=EFEG，又 CE=BE，BE 2=EFEG105. 解答： 证明：连接 AF，AD 是角平分线，BAD= CAD，又 EF 为 AD 的垂直平分线，AF=FD ， DAF=ADF，DAC+CAF=B+BAD，CAF=B，AFC=AFC， ACFBAF，即 = ， AF2=CFBF，即 FD2=CFBF6. 解答： 解：（1）APD= C=90，A=A，ADPABC， = = ，EPD=A，PED=AEP， EPDEAP = = AE=2PE（2）由EPD EAP，得 = = ，PE=2DE， AE=2PE=4DE，作 EHAB，垂足为点 H，AP=x，PD= x， PDHE， = = HE= x又 AB=2 ，y= （2 x） x，即 y= x2+ x定义域是 0x 另解：由EPD EAP，得 = = ，PE=2DE AE=2PE=4DEAE= x= x，SABE= x2= x， = ，即 = ，y= x2+ x定义域是 0x （3）由PEH BAC，得 = ，PE= x = x当BEP 与ABC 相似时，只有两种情形：BEP= C=90或EBP= C=90（i）当BEP=90 时， = ， = 解得 x= y= x 5+ =