离散数学屈婉玲版课后习题.doc

1、1第一章部分课后习题参考答案16 设 p、q 的真值为 0；r、s 的真值为 1，求下列各命题公式的真值。（1）p(qr) 0(01) 0 （2） （pr）(qs) （01）(11) 01 0.（3） （ p qr）(pqr) （111） (000) 0(4)（ rs）(p q) （01）(10) 00 117判断下面一段论述是否为真：“ 是无理数。并且，如果 3 是无理数，则 也是无理数。另2外 6 能被 2 整除，6 才能被 4 整除。 ”答：p: 是无理数 1q: 3 是无理数 0r: 是无理数 1 2s: 6 能被 2 整除 1t: 6 能被 4 整除 0命题符号化为： p(qr) (

2、ts)的真值为 1，所以这一段的论述为真。19用真值表判断下列公式的类型：（4）(pq) ( q p)（5）(pr) ( p q)（6）(pq) (qr) (pr)答： （4）p q pq q p q p (pq) ( q p)0 0 1 1 1 1 10 1 1 0 1 1 11 0 0 1 0 0 11 1 1 0 0 1 1所以公式类型为永真式（5）公式类型为可满足式（方法如上例）（6）公式类型为永真式（方法如上例）第二章部分课后习题参考答案3.用等值演算法判断下列公式的类型，对不是重言式的可满足式，再用真值表法求出成真赋值.(1) (pqq)(2)(p(pq) (pr)(3)(pq)(

3、pr)答：(2)（p(pq)）(pr) ( p(p q)( pr) ppqr 1所以公式类型为永真式(3) P q r pq pr （pq）(pr)0 0 0 0 0 120 0 1 0 0 10 1 0 1 0 00 1 1 1 0 01 0 0 1 0 01 0 1 1 1 11 1 0 1 0 01 1 1 1 1 1所以公式类型为可满足式4.用等值演算法证明下面等值式：(2)(pq)(pr) (p(qr)(4)(p q)( pq) (pq) (pq)证明（2）(pq)(pr)( pq)( pr)p(qr)p(qr)（4）(p q)( pq) (p( pq) ( q( pq)(p p)(

4、pq)( q p) ( qq)1(pq) (pq)1(pq) (pq)5.求下列公式的主析取范式与主合取范式，并求成真赋值(1)( pq)( qp)(2) (pq)qr(3)(p(qr)(pqr)解：（1）主析取范式( pq)( q p) (p q) ( q p) ( p q) ( q p) ( p q) ( q p) ( q p) (p q) (p q)( p q) (p q) (p q)320m(0,2,3) 主合取范式：( pq)( q p) (p q) ( q p) ( p q) ( q p)3( p ( q p) ( q ( q p)1 (p q)(p q) M1(1)(2) 主合取

5、范式为：(pq) q r ( p q) q r(p q) q r 0所以该式为矛盾式.主合取范式为(0,1,2,3,4,5,6,7)矛盾式的主析取范式为 0(3)主合取范式为：(p (q r)(p q r)(p (q r)(p q r)( p ( q r) (p q r)( p (p q r) ( q r) (p q r)1 11所以该式为永真式.永真式的主合取范式为 1主析取范式为(0,1,2,3,4,5,6,7)第三章部分课后习题参考答案14. 在自然推理系统 P 中构造下面推理的证明：(2)前提：p q, (q r),r结论： p(4)前提：q p,q s,s t,t r结论：p q证明

6、：（2） (q r) 前提引入 q r 置换q r 蕴含等值式r 前提引入 q 拒取式p q 前提引入4p（3） 拒取式证明（4）：t r 前提引入t 化简律q s 前提引入s t 前提引入q t 等价三段论（q t） (t q) 置换（q t） 化简q 假言推理q p 前提引入p 假言推理(11)p q 合取 15 在自然推理系统 P 中用附加前提法证明下面各推理：(1)前提：p (q r),s p,q结论：s r证明s 附加前提引入s p 前提引入p 假言推理p (q r) 前提引入q r 假言推理q 前提引入r 假言推理16 在自然推理系统 P 中用归谬法证明下面各推理：(1)前提：p

7、q, r q,r s结论： p证明：p 结论的否定引入p q 前提引入q 假言推理5r q 前提引入r 化简律r s 前提引入r 化简律r r 合取由于最后一步 r r 是矛盾式,所以推理正确.第四章部分课后习题参考答案3. 在一阶逻辑中将下面将下面命题符号化,并分别讨论个体域限制为(a),(b)条件时命题的真值:(1) 对于任意 x,均有 2=(x+ )(x ).(2) 存在 x,使得 x+5=9.其中(a)个体域为自然数集合.(b)个体域为实数集合.解：F(x): 2=(x+ )(x ).G(x): x+5=9.(1)在两个个体域中都解释为 ，在（a）中为假命题，在(b)中为真命题。)(x

8、F(2)在两个个体域中都解释为 ，在（a）(b)中均为真命题。G4. 在一阶逻辑中将下列命题符号化:(1) 没有不能表示成分数的有理数.(2) 在北京卖菜的人不全是外地人.解:(1)F(x): x 能表示成分数H(x): x 是有理数命题符号化为: )(xHF(2)F(x): x 是北京卖菜的人H(x): x 是外地人命题符号化为: )()(x5. 在一阶逻辑将下列命题符号化:(1) 火车都比轮船快.(3) 不存在比所有火车都快的汽车. 解:(1)F(x): x 是火车; G(x): x 是轮船; H(x,y): x 比 y 快命题符号化为: ),()(HyGFy6(2) (1)F(x): x

9、 是火车; G(x): x 是汽车; H(x,y): x 比 y 快命题符号化为: ),()()(HFyG9.给定解释 I 如下:(a) 个体域 D 为实数集合 R.(b) D 中特定元素 =0.(c) 特定函数 (x,y)=x y,x,y .D(d) 特定谓词 (x,y):x=y, (x,y):x,EA=,LA=,DA=13.设 A=,B=,求 A B,A B, domA, domB, dom(A B), ranA, ranB, ran(A B ), fld(A-B).解：A B=,A B=domA=1,2,3 domB=1,2,4dom(AB)=1,2,3,4ranA=2,3,4 ranB

10、=2,3,4ran(A B)=4A-B=,，fld(A-B)=1,2,314.设 R=,求 R R, R-1, R 0,1, R1,2解：R R=,R-1,=,R 0,1=,R1,2=ran(R|1,2)=2,316设 A=a,b,c,d， ， 为 A 上的关系，其中12R=1R,abd102,Radbcb求 。23121R解: R 1 R2=,R2 R1=R12=R1 R1=,R22=R2 R2=,R23=R2 R22=,36设 A=1，2，3，4，在 A A 上定义二元关系 R，, A A ， u,v R u + y = x + v.(1)证明 R 是 A A 上的等价关系.(2)确定由 R 引起的对 A A 的划分.（1）证明：R u+y=x+vR u-v=x-yA Au-v=u-vRR 是自反的任意的,AA如果R ，那么 u-v=x-yx-y=u-v RR 是对称的任意的,AA若R,R则 u-v=x-y,x-y=a-bu-v=a-b RR 是传递的R 是 AA 上的等价关系(2) =, , , , , 41.设 A=1，2，3，4，R 为 A A 上的二元关系, a ，b ， c ，d A A ,a，bRc，d a + b = c + d(1) 证明 R 为等价关系.