二次函数图像性质知识点总结以及习题集锦.doc

1、1二次函数图像及性质知识总结二次函数概 念 一般地，形如2yaxbc（ a是常数， 0a）的函数，叫做二次函数。定义域是全体实数，图像是抛物线解析式 bc 为 0 时 2yxb 为 0 时 2yxcbc 不为 0 时 2yaxbc0a开口 向上 向上 向上开口 向下 向下 向下对称轴 y轴 y轴 2bxa顶点坐标 00c 24ca时y有最小值X=0.时 y 最小值等于 0X=0, 时Y 最小值等于 c 当 2bxa时。 y有最小值 24acb0时有最大值X=0. 时y 最大值等于 0 X=0, 时Y 最大值等于 c 当 时， 有最大值2a时开口向上x时， 随 x的增大而增大； 0x时，随 的增

2、大而减小； 时， y有最小值0当 2bxa时， y随 x的增大而减小；当 时， 随 的增大而增大图像的性质 a时开口向下x时， y随 x的增大而减小； 0x时，随 的增大而增大； 时， y有最大值0 当 2bxa时， y随 x的增大而增大；当 时， 随 的增大而减小图像画法利用配方法将二次函数 2yaxbc化为顶点式 2()yaxhk，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与 轴的交点 0、以及 0关于对称轴对称的点 c， 、与 x轴的交点 1， 2（若与 x轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）. 画草图时应抓住以下几点：开口方

3、向，对称轴，顶点，与 x轴的交点，与 y轴的交点.解析式的表示及图像平移1. 一般式： 2yabxc 2. 顶点式： 2()yahk 3. 两根式： 12()ax 2.平移 将抛物线解析式转化成顶点式 x，确定其顶点坐标 hk；在原有函数的基础上“ h值正右移，负左移； k值正上移，负下移”概括成八个字“左加右减，上加下减” cbxay2沿 y轴平移:向上（下）平移 m个单位， cbxay2变成m（或 cbxa2） cbxay2沿轴平移：向左（右）平移 个单位， cbxay2变成2cmxbxay)()(2（或 cmxbxay)()(2）二次函数 yax 2 及其图象一、填空题1形如_的函数叫做

4、二次函数，其中_是目变量，a，b，c 是_且_02函数 yx 2 的图象叫做_，对称轴是_，顶点是_3抛 物 线 y ax2 的 顶 点 是 _， 对 称 轴 是 _ 当 a 0 时 ， 抛 物 线 的 开 口 向 _； 当a0 时，抛物线的开口向_4当 a0 时，在抛物线 yax 2 的对称轴的左侧，y 随 x 的增大而_，而在对称轴的右侧，y 随x 的增大而_；函数 y 当 x_时的值最_5当 a0 时，在抛物线 yax 2 的对称轴的左侧，y 随 x 的增大而_，而在对称轴的右侧，y 随x 的增大而_；函数 y 当 x_时的值最_6写出下列二次函数的 a，b，c(1) a_，b_，c_2

5、3xy(2)yx 2 a_，b_，c_(3) a_，b_，c_105(4) a_，b_，c_236xy7抛物线 yax 2，a越大则抛物线的开口就_，a越小则抛物线的开口就_8二次函数 yax 2 的图象大致如下，请将图中抛物线字母的序号填入括号内(1)y2x 2 如图( )；(2) 如图( )；1(3)yx 2 如图( )；(4) 如图( )；33(5) 如图( )；291xy(6) 如图( )9已知函数 不画图象，回答下列各题,23xy(1)开口方向_；(2)对称轴_；(3)顶点坐标_；(4)当 x0 时，y 随 x 的增大而 _；(5)当 x_时，y0；(6)当 x_时，函数 y 的最_

6、值是_10画出 y2x 2 的图象，并回答出抛物线的顶点坐标、对称轴、增减性和最值11在下列函数中y2x 2；y 2x1；yx； yx 2，回答：(1)_的图象是直线，_的图象是抛物线(2)函数_y 随着 x 的增大而增大函数_y 随着 x 的增大而减小(3)函数_的图象关于 y 轴对称函数_的图象关于原点对称(4)函数_有最大值为_函数_有最小值为_12已知函数 yax 2bx c(a，b，c 是常数) (1)若它是二次函数，则系数应满足条件_(2)若它是一次函数，则系数应满足条件_(3)若它是正比例函数，则系数应满足条件_13已知函数 y( m23m) 的图象是抛物线，则函数的解析式为_，

7、抛物线的顶点坐标12x为_，对称轴方程为_，开口_14已知函数 ym ( m2) x2(1)若它是二次函数，则 m_ ，函数的解析式是_，其图象是一条_，位于第_象限(2)若它是一次函数，则 m_ ，函数的解析式是_，其图象是一条_，位于第_象限15已知函数 ym ，则当 m_时它的图象是抛物线；当 m_时，抛物线的开口x2向上；当 m_时抛物线的开口向下二、选择题16下列函数中属于一次函数的是( )，属于反比例函数的是 ( )，属于二次函数的是( )Ayx(x1) Bxy1Cy 2x22(x 1) 2 D 32xy17在二次函数y3x 2； 中，图象在同一水平线上的开口大小顺序用题号24;3

8、xy表示应该为( )4A BC D18对于抛物线 yax 2，下列说法中正确的是( )Aa 越大，抛物线开口越大 Ba 越小，抛物线开口越大Ca越大，抛物线开口越大 Da越小，抛物线开口越大19下列说法中错误的是( )A在函数 yx 2 中，当 x0 时 y 有最大值 0B在函数 y 2x2 中，当 x0 时 y 随 x 的增大而增大C抛物线 y 2x2，yx 2， 中，抛物线 y2 x2 的开口最小，抛物线 yx 2 的开口21最大D不论 a 是正数还是负数，抛物线 yax 2 的顶点都是坐标原点三、解答题20函数 y(m 3) 为二次函数23mx(1)若其图象开口向上，求函数关系式；(2)

9、若当 x0 时，y 随 x 的增大而减小，求函数的关系式，并画出函数的图象21抛物线 yax 2 与直线 y 2x3 交于点 A(1，b) (1)求 a，b 的值；(2)求抛物线 yax 2 与直线 y 2 的两个交点 B，C 的坐标( B 点在 C 点右侧)；(3)求OBC 的面积22已知抛物线 yax 2 经过点 A(2，1)(1)求这个函数的解析式；(2)写出抛物线上点 A 关于 y 轴的对称点 B 的坐标；(3)求OAB 的面积；(4)抛物线上是否存在点 C，使ABC 的面积等于OAB 面积的一半，若存在，求出 C 点的坐标；若不存在，请说明理由51yax 2bx c(a0)，x ，常

10、数，a 2抛物线，y 轴，(0，0) 3(0，0) ，y 轴，上，下 4减小，增大，x0，小5增大，减小，x0，大6(1) (2)，0，0，.,(3) (4)12.6,317越小，越大8(1)D，(2)C，(3)A，(4)B，(5)F，(6)E9(1)向下，(2)y 轴(3)(0，0)(4) 减小(5)0(6)0，大，010略11(1)、；、(2)；(3) 、；(4) ，0；，012(1)a0，(2) a0 且 b0，(3) ac0 且 b013y4x 2；(0，0)；x0；向上14(1)2；y2x 2；抛物线；一、二，(2)0；y2x；直线；二、四152 或 1；1；216C、B 、A 17

11、C 18D 19C 20(1)m4， yx 2；(2) m1，y4x 221(1)a1，b1；(2) );,().,(B(3)SOBC 22(1) ； (2)B(2，1)；(3)S OAB 2；24xy(4)设 C 点的坐标为 则 则得 或),41,m.21|4|6m.2C 点的坐标为 ).,(),23,6(2,6二次函数 ya(xh) 2k 及其图象一、填空题1已知 a0，(1)抛物线 yax 2 的顶点坐标为_，对称轴为_(2)抛物线 yax 2c 的顶点坐标为 _，对称轴为_ (3)抛物线 ya(xm) 2 的顶点坐标为_，对称轴为_2若函数 是二次函数，则 m_13抛物线 y2x 2

12、的顶点，坐标为_，对称轴是_当 x_时，y 随 x 增大而减小；当x_时，y 随 x 增大而增大；当 x_时，y 有最_值是_4抛物线 y2x 2 的开口方向是_，它的形状与 y 2x2 的形状_，它的顶点坐标是_，对称轴是_5抛物线 y2x 23 的顶点坐标为_，对称轴为_当 x_时，y 随 x 的增大而减小；当 x_时，y 有最_值是_，它可以由抛物线 y2x 2 向_平移_个单位得到6抛物线 y3( x2) 2 的开口方向是_，顶点坐标为_，对称轴是_当 x_时，y 随 x 的增大而增大；当 x _时，y 有最_值是_，它可以由抛物线 y3x 2 向_平移_个单位得到二、选择题7要得到抛

13、物线 ，可将抛物线 ( )2)4(31y231xyA向上平移 4 个单位B向下平移 4 个单位C向右平移 4 个单位D向左平移 4 个单位8下列各组抛物线中能够互相平移而彼此得到对方的是( )Ay2x 2 与 y3x 2 B 与21xy21xyCy 2x2 与 yx 22 Dyx 2 与 yx 229顶点为(5，0)，且开口方向、形状与函数 的图象相同的抛物线是( )3A B2)5(31xy 512xyC D )(3三、解答题10在同一坐标系中画出函数 和 的图象，并说明 y1，y 2 的图象与21,yxy1x231xy函数 的图象的关系21xy711在同一坐标系中，画出函数 y12x 2，y

14、 22( x2) 2 与 y32( x2) 2 的图象，并说明 y2，y 3 的图象与 y12x 2 的图象的关系填空题12二 次 函 数 y a(x h)2 k(a 0)的 顶 点 坐 标 是 _， 对 称 轴 是 _， 当 x _时 ， y有 最 值 _； 当 a 0 时 ， 若 x_时 ， y 随 x 增 大 而 减 小 13填表解析式 开口方向 顶点坐标 对称轴y( x2) 23y( x3) 22 5)12(3xyy3(x 2)2y3x 2 214抛物线 有最_点，其坐标是_当 x_时，y 的最_值是1)(_；当 x_时，y 随 x 增大而增大15将抛物线 向右平移 3 个单位，再向上

15、平移 2 个单位，所得的抛物线的解析式为_23选择题16一抛物线和抛物线 y2x 2 的形状、开口方向完全相同，顶点坐标是( 1，3)，则该抛物线的解8析式为( )Ay2( x1) 23 By 2( x1) 23Cy (2x1) 23 Dy(2 x1) 2317要得到 y2( x2) 23 的图象，需将抛物线 y2x 2 作如下平移( )A向右平移 2 个单位，再向上平移 3 个单位B向右平移 2 个单位，再向下平移 3 个单位C向左平移 2 个单位，再向上平移 3 个单位D向左平移 2 个单位，再向下平移 3 个单位解答题18将下列函数配成 ya( xh) 2k 的形式，并求顶点坐标、对称轴

16、及最值(1)yx 26x10 (2)y2x 25x 7(3)y3x 22x (4)y3x 26x 2(5)y1005x 2 (6)y(x2)(2x1)19把二次函数 ya( xh) 2k 的图象先向左平移 2 个单位，再向上平移 4 个单位，得到二次函数的图象1)(2y(1)试确定 a，h，k 的值；(2)指出二次函数 ya(xh) 2k 的开口方向、对称轴和顶点坐标91(1)(0 ，0)，y 轴； (2)(0，c )，y 轴； (3)(m，0)，直线 xm 2m13(0，0) ，y 轴，x 0，x0，0，小，04向下，相同，(0，0)，y 轴5(0，3) ，y 轴，x 0，0，小，3，上，3

17、6向上，(2，0)，直线 x2 ，x 2，2，小，0，右，27C 8D 9C10图略，y 1，y 2 的图象是 的图象分别向上和向下平移 3 个单位1y11图略，y 2，y 3 的图象是把 y1 的图象分别向右和向左平移 2 个单位12(h，k) ，直线 xh；h，k，xh13开口方向 顶点坐标 对称轴y(x2) 23 向上 (2，3) 直线 x2y(x3) 2 2 向下 (3，2) 直线 x35)1向下 (5，5) 直线 x52(3xy向上 ( ，1)2直线 x 2y3(x2) 2 向上 (2，0) 直线 x2y3x 22 向下 (0，2) 直线 x014高(3，1)，3，大，1，315 .

18、5231)(x16B 17D18(1)y(x3) 21，顶点(3，1)，直线 x3，最小值为 1(2) 顶点 直线 最大值为,8)45),814(,458(3) 顶点 直线 最小值为,3(2xy ,3x3(4)y3(x1) 21，顶点(1，1)，直线 x1，最大值为 1(5)y5x 2100，顶点(0 ，100) ，直线 x0，最大值为 100(6) 顶点 直线 最小值为,85)4( ),254(,482519(1) ,12kha(2)开口向上，直线 x1，顶点坐标(1，5) 10二次函数 yax 2bxc 及其图象一、填空题1把二次函数 yax 2bx c(a0) 配方成 ya(xh) 2k

19、 形式为_，顶点坐标是_，对称轴是直线_当 x_时，y 最值_；当 a0 时，x_时，y 随 x 增大而减小；x_时，y 随 x 增大而增大2抛物线 y2x 23x 5 的顶点坐标为 _当 x_时，y 有最_值是_，与 x 轴的交点是_，与 y 轴的交点是_，当 x_时，y 随 x 增大而减小，当 x_时，y随 x 增大而增大3抛物线 y32x x 2 的顶点坐标是 _，它与 x 轴的交点坐标是_，与 y 轴的交点坐标是_4把二次函数 yx 24x 5 配方成 ya(xh) 2k 的形式，得 _，这个函数的图象有最_点，这个点的坐标为_5已知二次函数 yx 24x 3，当 x_时，函数 y 有

20、最值_，当 x_时，函数 y 随 x的增大而增大，当 x_时，y06抛物线 yax 2bx c 与 y32x 2 的形状完全相同，只是位置不同，则 a_7抛物线 y2x 2 先向_平移_个单位就得到抛物线 y2( x3) 2，再向_平移_个单位就得到抛物线 y2( x3) 24二、选择题8下列函数中y3x 1；y 4x 23x； y52x 2，是二次函数的有( );42xyA BC D9抛物线 y3x 24 的开口方向和顶点坐标分别是( )A向下，(0，4) B向下，(0，4)C向上，(0，4) D向上，(0 ， 4)10抛物线 的顶点坐标是( )21A B C D(1 ，0),()1, 1,2(11二次函数 yax 2x 1 的图象必过点 ( )A(0，a) B(1，a)C(1，a) D(0 ，a)三、解答题12已知二次函数 y2x 24x 6(1)将其化成 ya(xh) 2k 的形式；(2)写出开口方向，对称轴方程，顶点坐标；(3)求图象与两坐标轴的交点坐标；(4)画出函数图象；(5)说明其图象与抛物线 yx 2 的关系；(6)当 x 取何值时，y 随 x 增大而减小；(7)当 x 取何值时，y0，y 0，y 0；(8)当 x 取何值时，函数 y 有最值?其最值是多少?(9)当 y 取何值时，4x0；(10)求函数图象与两坐标轴交点所围成的三角形面积