1、第二章 习题解答1、证明 的充要条件是对任意含有 的邻域 U( ， )（不一定以0PE 0P为中心）中，恒有异于 的点 属于 （事实上，这样的 还有无穷多个） 。0 01E1P而 的充要条件则是有含 的邻域 U( ， )（同样，不一定以 为中心）P0存在，使 U( ， ) 。证明：（1）充分性，用反证法，若 ，则 的某一邻域 U( ， )000中至多有有限个异于 的点 ， ， 属于 ，令 d( ， )0P1X2nXEni1m0Pix= ，在 U( ， )中不含异于 的点属于 ，这与条件矛盾。00必要性，设 U( ， )是任意一个含有 的邻域，则 d( ， )0，则 U( ， ) U( ， )。
2、因为 ，所以，在 U(1001， )中含于无穷多个属于 的点，其中必有异于 的点 ，即 U( ， )0PE01中有异于 的点 。01（2）必要性是显然的，下面证明充分性，设含有 的邻域 U( ， ) ，0PE则 d( ， ) 是开集，而 | ( ) 是闭集。Ea1Exfa证明：若 | ( ) ，则 是开集，若 ， ，有fxaE0xE( ) ，因为 ( )在 连续，所以 0，当 U( ， )时，有 ( )f0x0x0f，即 U( ， ) ，所以 是 的内点，故 是开集。同理可证 | ( )a0， 使| ( ) ( )nlimfnxf00nkfnkf0| ( 1，2，)即 ( ) ( ) 或 (
3、) ( ) ，若0kfnkxf0fnkxf0( ) ( ) ，令 C ( ) ，则 | ( )C，fnkxf0fnk0nkEfx因为 ，所以 ，而 ( ) ( ) C，所以 ，与nk00xEf0xf00为闭集矛盾；若 ( ) ( ) ，则可导出与 为闭集矛盾。Efnkf01E12、证明2 定理 5 。定理 5：设 ， ，则 至少有一界点（即 ） 。EnRE证明：因为 ， ，所以存在 ， ，设0P1E ( ， ， )， ( ， ， )，令 ( (1 ) ，0P1a2na1Pb2nbt1bt1a(1 ) ， (1 ) )(0 1)， sup | 。以下t2btttnat0tP证明 。0tE（1）若 ，则 1（否则 ）当 0，1，满足 10t0t0t1PEt0t时, 。于是，对任意 ，存在 ，满足 1， ，使 ，显tPnn0ntE然有 ，所以 。nt0t0tPE（2）若 ，则 0，存在 ，0 ， ， ，同样有t nt0tn0tntP。0tE103104
