小学数学奥林匹克竞赛真题集锦及解答.doc

1、1小学数学奥林匹克竞赛真题集锦及解答一、填空题1三个连续偶数，中间这个数是 m，则相邻两个数分别是_m-2_和_m+2_ _。2有一种三位数，它能同时被 2、3、7 整除，这样的三位数中，最大的一个是_966_，最小的一个是_126_。解题过程：237=42；求三位数中 42 的倍数 126、168、9663小丽发现：小表妹和读初三哥哥的岁数是互质数，积是 144，小表妹和读初三哥哥的岁数分别是_9_岁和_16_岁。解题过程：144=222233 ；（9、16）=14一个四位数，它的第一个数字等于这个数中数字 0 的个数，第二个数字表示这个数中数字 1 的个数，第三个数字表示这个数中数字 2

2、的个数，第四个数字等于这个数中数字 3 的个数，那么这个四位数是_1210_。52310 的所有约数的和是_6912_。解题过程：2310=235711；约数和=（1+2 ）（1+3）（1+5）（1+7）（1+11）6已知 2008 被一些自然数去除，得到的余数都是 10，这些自然数共有_11_个。解题过程：2008-10=1998；1998=23 337；约数个数 =（1+1）（1+3）（1+1）=16（个）其中小于 10 的约数共有 1，2，3，6，9；16-5=11（个）7从 1、2、3、1998、1999 这些自然数中，最多可以取多少个数，才能使其中每两个数的差不等于 4？_ 1000

3、 _。解题过程：1，5，9， 13，1997（500 个） 隔 1 个取 1 个，共取 250 个2，6，10，14，1998（500 个）隔 1 个取 1 个，共取 250 个3，7，11，15，1999（500 个）隔 1 个取 1 个，共取 250 个4，8，12，16，1996（499 个）隔 1 个取 1 个，共取 250 个8黑板上写有从 1 开始的若干个连续的奇数：1，3，5，7，9，11，13擦去其中的一个奇数以后，剩下的所有奇数之和为 1998，那么擦去的奇数是_27_。2解题过程：1+3+5+（2n-1 ）=n2；4545=2025；2025-1998=279一个 1994

4、 位的整数，各个数位上的数字都是 3。它除以 13，商的第 200 位（从左往右数）数字是_5_，商的个位数字是_6_，余数是_5_。解题过程：33333333313=256410 25641010在小于 5000 的自然数中，能被 11 整除，并且数字和为 13 的数，共有_18_个。解题过程：能被 11 整除的条件是：奇数位数字和与偶数位数字和相差为 11 的倍数；1 位数不满足条件；2 位数也不满足条件（各位数字应相等，数字和不等于 13）；应为 3 或 4 位数；13=12+1；偶数位数字和=1，奇数位数字和=12 时，共有 14 个；偶数位数字和=12，奇数位数字和=1 时，共有 4

5、 个；14+4=18（个）11设 n 是一个四位数，它的 9 倍恰好是其反序数（例如：123 的反序数是 321） ，则n_1089_。解题过程：千位只能是 1；个位只能是 9；百位只能是 0 或 1；如百位是 1，则十位必须为 0， 但所得数 1109 不满足题意；如百位是 0，则十位必须为 8，得数 1089 满足题意12555555 的约数中，最大的三位数是_555_。解题过程：555555= 35113791；3537=55513设 a 与 b 是两个不相等的自然数，如果它们的最小公倍数是 72，那么 a 与 b 之和可以有_17_种不同的值。解题过程：72=22233；a=72 ，b

6、=（1+3）（1+2）-1=12-1=11；a=36，b=8 或 24；a=24，b=9 或 18；a=18，b=8；a=9，b=8；11+6=1714小明的两个衣服口袋中各有 13 张卡片，每张卡片上分别写着 1，2，3，13。如果从这两个口袋中各拿出一张卡片来计算它们所写两数的乘积，可以得到许多不相等的乘积，那么，其中能被 6 整除的乘积共有_21_个。解题过程：61，2，3，13 共 13 个；127，8，9，13=614，16，18，26 共 7 个；910=615 共 1 个； 13+7+1=21（个）15一列数 1，2，4，7，11，16，22，29，这列数的组成规律是第 2 个数

7、比第 1 个数多31；第 3 个数比第 2 个数多 2；第 4 个数比第 3 个数多 3；依此类推。那么这列数左起第1992 个数除以 5 的余数是_2_。解题过程：a 2-a1=1；a3-a2=2；an-1-an-2=n-2；an-an-1=n-1；an-a1=1+2+3+n-1=n（n-1）/2；an= n（n-1）/2+1；a1992=1992（1992-1）/2+1=9961991+1=（995+1）（1990+1）+116两个自然数的和是 50，它们的最大公约数是 5，则这两个数的差是_ 20 或 40 _。解题过程：（a 、b）=5；5|a，5|b；a=5，b=45 或 a=15，

8、b=3517将一个两位数的个位数字与十位数字交换后得到一个新数，它与原数相加，得到的和恰好是某个自然数的平方，这个和是_121_。解题过程：和可能为两位数，也可能为三位数，但肯定是 11 的倍数，即 11 的平方。18100 以内所有被 5 除余 1 的自然数的和是_970_。解题过程：1+6+11+16+91+96= （1+96）202=970199 个连续的自然数，它们都大于 80，那么其中质数至多_4_个。解题过程：9 个连续的自然数，末尾可能是 0-9，末尾是 0、2、4、6、8 的一定被 2 整除，末尾是5 的一定被 5 整除，每 连续 3 个自然数中一定有一个是 3 的倍数，只有末

9、尾是1、3、7、9 的数可能是质数于是 质数只可能在这 5 个连续的奇数中，所以质数个数不能超过 420如果一个自然数的约数的个数是奇数，我们称这个自然数为“希望数” ，那么，1000 以内最大的“希望数”是_961_。解题过程：自然数的因数都是成对出现的，比如 1 和本身是一对，出现奇数个因数的时候是因为其中有一对因数是相等的，即这个自然数是完全平方数。1000 以内最大的完全平方数是 312=961，所以这个希望数是 96121两个数的最大公约数是 21，最小公倍数是 126。这两个数的和是_105 或 147_。解题过程：126=2123；这 两个数是 42 和 63，或 21 和 12

10、622甲数是 36，甲乙两数的最小公倍数是 288，最大公约数是 4，乙数应该是_32_。解题过程： 4 | 36 48=32 364=9 28849=8423一个三位数能同时被 2、5、7 整除，这样的三位数按由小到大的顺序排成一列，中间的一个是_560_。解题过程：257=70；702，3， 4，13，14=140，210，280，910，98024有四个互不相等的自然数，最大数与最小数的差等于 4，最小数与最大数的积是一个奇数，而这四个数的和是最小的两位奇数，那么这四个数的乘积是_30_。解题过程：最小数、最大数均为奇数，中 间有一个偶数，4 个数和为 11，分别为 1、2、3、525两

11、个整数相除得商数是 12 和余数是 26，被除数、除数、商数及余数的和等于 454，除数是_30_。解题过程：设除数是 X，则 12X+26+X+12+26=454；X=3026在 123100 的积的尾部有_21_个连续的零。解题过程：尾数为 5 的共 10 个，尾数 1 个 0 的 9 个，2 个 0 的 1 个，共 21 个 027有 0、1、4、7、9 五个数字，从中选出四个数组成一个四位数（例如 1409） ，把其中能被 3 整除的这样的四位数，从小到大排列起来，第 5 个数的末位数字是_9_。解题过程：1047、1074、1407、1470、 1704、1740、4017、4071

12、、4107、41701479、1497、1749、179428一些四位数，百位数字都是 3，十位数字都是 6，并且他们既能被 2 整除又能被 3 整除。甲是这样四位数中最大的，乙是最小的，则甲乙两数的千位数字和个位数字（共四个数字）的总和是_18_。解题过程：求?36?中能被 3 整除的偶数；甲为 9366，乙为 1362；9+6+1+2=1829把自然数按由小到大的顺序排列起来组成一串数：1、2、3、9、10、11、12、，把这串数中两位以上的数全部隔开成一位数字，组成第二串数：1、2、9、1、0、1、1、1、2、1、3、。则第一串数中 100 的个位数字 0 在第二串数中是第_192_个数

13、。解题过程：1-9（共 9 个）， 10-99（共 180 个），100（共 3 个）30某个质数与 6、8、12、14 之和都仍然是质数，一共有_1_个满足上述条件的质数。解题过程：除 2 和 5 以外，其它质数的个位都是 1，3，7，9；56，8，12，14 都是偶数，加上唯一的偶数 质数 2 和仍然是偶数，所以不是 2；14 加上任何尾数是 1 的质数，最后的尾数都是 5，一定能被 5 整除；12 加上任何尾数是 3 的质数，尾数也是 5；8 加上任何尾数是 7 的质数，尾数也是 5；6 加上任何尾数是 9 的质数，尾数也是 5；所以，这个质数的末位一定不是 1，3，7，9；只有 5 符

14、合31已知 a 与 b 的最大公约数是 12，a 与 c 的最小公倍数是 300，b 与 c 的最小公倍数也是300。那么满足上述条件的自然数 a、b、c 共有_30_组。 （例如a12，b300，c300，与 a300，b12，c300 是不同的两个自然数组）解题过程：（a，b）=12，a=12m，b=12n（m，n=1 或 5 或 25，且（m ，n）=1）；a，c=300，b，c=300，c=25k（k=1，2，3，4，6，12）；当 m=1，n=1 时，a=12，b=12，c=25k当 m=1，n=5 时，a=12，b=60，c=25k当 m=1，n=25 时，a=12，b=300，c

15、=25k 当 m=5，n=1 时，a=60，b=12，c=25k当 m=25，n=1 时，a=300，b=12，c=25k故有 30 组32从左向右编号为 1 至 1991 号的 1991 名同学排成一行。从左向右 1 至 11 报数，报数为11 的同学原地不动，其余同学出列；然后留下的同学再从左向右 1 至 11 报数，报数为 11的同学留下，其余同学出列；留下的同学第三次从左向右 1 至 11 报数，报到 11 的同学留下，其余同学出列。那么最后留下的同学中，从左边数第一个人的最初编号是_1331_。解题过程：111111=133133在 1，9，8，9 后面写一串这样的数字：先计算原来这

16、 4 个数的后两个之和 8917，取个位数字 7 写在 1，9，8，9 的后面成为 1，9，8，9，7；再计算这 5 个数的后两个之和9716；取个位数字 6 写在 1，9，8，9，7 的后面成为 1，9，8，9，7，6；再计算这 6个数的后两个之和 7613，取个位数字 3 写在 1，9，8，9，7，6 的后面成为1，9，8，9，7，6，3。继续这样求和，这样填写，成为数串1，9，8，9，7，6，3，9，2，1，3，4那么这个数串的前 398 个数字的和是_1990_。6解题过程：1，9，|8 ，9，7，6，3，9，2，1，3，4，7，1，|8，9，7，6，3，398-2=396；39612

17、=33；8+9+7+6+3+9+2+1+3+4+7+1=60；6033+10=1990二、判断题1两个连续整数中必有一个奇数一个偶数。 （ ）2偶数的个位一定是 0、2、4、6 或 8。 （ ）3奇数的个位一定是 1、3、5、7 或 9。 （ ）4所有的正偶数均为合数。 （ ）5奇数与奇数的和或差是偶数。 （ ）6偶数与奇数的和或差是奇数。 （ ）7奇数与奇数的积是奇数。 （ ）8奇数与偶数的积是偶数。 （ ）9任何偶数的平方都能被 4 整除。 （ ）10任何奇数的平方被 8 除都余 1。 （ ）11相邻偶数最大公约数为 2，最小公倍数为它们乘积的一半。 （ ）12任何一个自然数，不是质数就是

18、合数。 （ ）13互质的两个数可以都不是质数。 （ ） 14如果两个数的积是它们的最小公倍数，这两个数一定是互质数。 （ ）三、计算题1能不能将（1）505；（2）1010 写成 10 个连续自然数之和？如果能，把它写出来；如果不能，说明理由。解题过程：S=n+（n+1）+ （n+2）+（n+3）+（n+4）+（n+5）+（n+6）+（n+7）+（n+8）+（n+9）=10n+45（一定是奇数）（1）505=45+46+47+48+49+50+51+52+53+54（2）1010 是偶数，不能写成 10 个连续自然数之和72 （1）从 1 到 3998 这 3998 个自然数中，有多少个能被

19、4 整除？（2）从 1 到 3998 这 3998 个自然数中，有多少个数的各位数字之和能被 4 整除？解题过程：（1）39984=999（个）2（2）考虑个位，选法有 10 种;十位， 选法有 10 种;百位 选法有 10 种;选定之后个位、十位、百位数字之和除以 4 的余数有 3 种情况，余 0、余 1、余 2、余 3，对应这四种在千位上刚好有一种与之对应，共有 1000 个；1000-1=999（个）3请将 1，2，3，99，100 这一百个自然数中既是奇数又是合数的自然数排成一行，使每两个相邻的数都不互质（若一行写不下，可移至第二行接着写，若第二行仍写不下，可移至第三行接着写） 。解题

20、过程：9，15，21， 27，33，39，45，51，57，63，69，75，81，87，93，9915，25，35，55，65，85，9521，35，49，77，9133，55，77，9925，35，55，65，85，95；15，9，21，27，33，39，45，51，57，63，69，75，81，87，93，99；77，91，494一个自然数除以 8 得到的商加上这个数除以 9 的余数，其和是 13。求所有满足条件的自然数。解题过程：设这个数为 n，除以 9 的余数 r8，所以除以 8 得到的商 q13-8=5，且 q13n=8q+k=9p+r=k=9p+r-8p=9p+r-8（13-r）

21、=9（p+r）-104=4q=5，n=85+4=44q=6，n=86+4=52q=7，n=87+4=60q=8，n=88+4=68q=9，n=89+4=76q=10，n=810+4=84q=11，n=811+4=928q=12，n=812+4=100q=13，n=813+4=1085有红、黄、蓝、绿四种颜色的卡片，每种颜色的卡片各有 3 张。相同颜色的卡片上写相同的自然数，不同颜色的卡片上写不同的自然数。老师把这 12 张卡片发给 6 名同学，每人得到两张颜色不同的卡片。然后老师让学生分别求出各自两张卡片上两个自然数的和。六名同学交上来的答案分别为：92、125、133、147、158、191

22、。老师看完 6 名同学的答案后说，只有一名同学的答案错了。问：四种颜色卡片上所写各数中最小数是多少？解题过程：设四张卡片上的数从小到大分别为 A、B、C、D，则六位同学所计算的分别为A+B、A+C、A+D、B+C、B+D、C+D 这 6 个和数，且最小的两个依次为A+B、A+C，最大的两个依次 为 C+D、B+D。（A+B）+（C+D）=（A+C）+（B+D）=（A+D）+（B+C）；而 92+191=283=125+158，133+147=280283；所以，A+B=92， A+C=125，B+D=158，C+D=191；133、147 中有一个不正确。若 147是正确的，则 B+C=147

23、，A+D=283-147=136。C-B=（A+C）-（A+B）=125-92=33 = C=90，B=57，A=92-57=35，D=191-90=101若 133是正确的，则 A+D=133，B+C=283-133=150。C-B=（A+C）-（A+B）=125-92=33 = B=50，C=83，A=92-50=42，D=191-83=108所以，四种颜色卡片上所写各数中最小数是 35 或 42。6有三个数字能组成 6 个不同的三位数，这 6 个三位数的和是 2886，求所有这样的 6 个三位数中最小的三位数。 （说明理由）解题过程：设这三个数字从小到大分别为 A、B、C，显然，它们互不

24、相等且都不等于 0。则 222（A+B+C）=2886 = A+B+C=2886222=13百位数为 1 是最小的，另两个数分别为 3 和 9；所以最小的三位数为 1397求小于 1001 且与 1001 互质的所有自然数的和。解题过程：100171113121000=（11000）10002 500500971421994（7994）1422710711122990（11990）902450451326988（13988）7623803877+154+231+924=（77+924）122=600691+182+273+910=（91+910）102=5005143+286+429+858=

25、（143+858）62=3003500500710714504538038+6006+5005+3003 3603608三张卡片，在它们上面各写一个数字（如图） 。从中抽出一张、二张、三张，按任意次序排列起来，可以得到不同的一位数、二位数、三位数。请你将其中的质数都写出来。解题过程：2、3、13、 23、319一串数排成一行，它们的规律是这样的：头两个数都是 1，从第三个数开始，每一个数都是前两个数的和，也就是：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，。问：这串数的前100 个数是（包括第 100 个数）有多少个偶数？解题过程：1003=33 （个）110从小到大写出 5 个质数，使后

26、面的数都比前面的数大 12。解题过程：5，17，29， 41，5311有 15 位同学，每位同学都有编号，它们是 1 号到 15 号。1 号同学写了一个自然数，2号说：“这个数能被 2 整除” ，3 号说“这个数能被 3 整除” ，依次下去，每位同学都说，这个数能被他的编号数整除，1 号作了一一验证，只有编号相邻的两位同学说得不对，其余同学都对，问：（1）说得不对的两位同学，他们的编号是哪两个连续自然数？（2）如果告诉你，1 号写的数是五位数，请求出这个数。 （写出解题过程）解题过程：(1)如果 15 号说的不对，那么这个数不能被 15 整除，则它不能被 3 或者 5 之一整除，即 3 号或者

27、 5 号说的不对，这与相邻编号两位同学说的不对矛盾！故而这个数能被 15 整除，同时也能被 3 和 5 整除。同理，如果 14 号不对，那么它不能被 2 或者7 整除，矛盾。即这个数能被 14 整除，也能被 2 和 7 整除；同理，如果 12 号不对，那么它不能被 4 整除，矛盾。即这个数能被 4 和 12 整除。那么这个数能被 2*5=1010整除。将 2 到 15 中能被整除这个数的数划去， 发现编号相邻的只有 8 和 9，即 8 号和 9 号说的不对。(2)1 号写的数 为 N。N 能被 22 * 3 * 5 * 7 * 11 * 13 = 60060 整除，不能被 23 或者32 整除；而又已知 N 是五位数，故 N=60060。12一个自然数被 8 除余 1，所得的商被 8 除也余 1，再把第二次所得的商被 8 除后余 7，最后得到一个商是 a（见短除式（1） ） 。又知这个自然数被 17 除余 4，所得的商被 17 除余15，紧后得到一个商是 a 的 2 倍（见短除式（2） ） ，求这个自然数。解题过程：N=8 （8（8a+7）+1）+1=17（172a+15）+4= a=3= N=1993