文科立体几何知识点、方法总结高三复习.doc

1、 1 / 9mll立体几何知识点整理一直线和平面的三种位置关系：1. 线面平行l符号表示： 2. 线面相交 A l符号表示： 3. 线在面内l符号表示： 二平行关系：1. 线线平行： 方法一：用线面平行实现。 mll/方法二：用面面平行实现。 ml/方法三：用线面垂直实现。 若 ，则 。l,l/方法四：用向量方法： 若向量 和向量 共线且 l、m 不重合，则l。ml/2. 线面平行：方法一：用线线平行实现。/llml方法二：用面面平行实现。 /l方法三：用平面法向量实现。若 为平面 的一个法向量， 且nln,则 。l/l3. 面面平行：方法一：用线线平行实现。方法二：用/,/且mll线面平行实

2、现。 /,/且ll三垂直关系： 1. 线面垂直： 方法一：用线线垂直实现。 lABCl,方法二：用面面垂直实现。 llm,2. 面面垂直： nlmll mmlA BCllmlm2 / 9方法一：用线面垂直实现。 l方法二：计算所成二面角为直角。3. 线线垂直： 方法一：用线面垂直实现。 mll方法二：三垂线定理及其逆定理。 POlAlP方法三：用向量方法： 若向量 和向量 的数量积为 0，则 。lmml三夹角问题。(一) 异面直线所成的角：(1) 范围： 90,(2)求法：方法一：定义法。步骤 1：平移，使它们相交，找到夹角。步骤 2：解三角形求出角。(常用到余弦定理 )余弦定理： abc2c

3、os2(计算结果可能是其补角)方法二：向量法。转化为向量的夹角(计算结果可能是其补角)：ACBcos(二) 线面角(1)定义：直线 l 上任取一点 P（交点除外） ，作 PO 于 O,连结 AO，则 AO 为斜线 PA 在面 内的射影， (图中 )为直线 l 与面 所成的角。PAOA OP(2)范围： 90,当 时， 或l/l当 时，(3)求法：方法一：定义法。步骤 1：作出线面角，并证明。步骤 2：解三角形，求出线面角。(三) 二面角及其平面角(1)定义：在棱 l 上取一点 P，两个半平面内分别作 l 的垂线（射线）m、n，则射线 m 和 n 的夹角 为二面角 l 的平面角。nmlP(2)范

4、围： 180,(3)求法：方法一：定义法。步骤 1：作出二面角的平面角(三垂线定理) ，并证明。步骤 2：解三角形，求出二面角的平面角。方法二：截面法。lmlcbaA BCnA OPlA OP3 / 9步骤 1：如图，若平面 POA 同时垂直于平面 ，则且交线(射线)AP 和 AO 的夹角就是二面角。步骤 2：解三角形，求出二面角。AOP方法三：坐标法(计算结果可能与二面角互补 )。n 1 n2步骤一：计算 1212cosn步骤二：判断 与 的关系，可能相等或者互补。12四距离问题。1点面距。方法一：几何法。OAP步骤 1：过点 P 作 PO 于 O，线段 PO 即为所求。步骤 2：计算线段

5、PO 的长度。( 直接解三角形；等体积法和等面积法；换点法)2线面距、面面距均可转化为点面距。3异面直线之间的距离方法一：转化为线面距离。nm如图，m 和 n 为两条异面直线， 且 ，n/m则异面直线 m 和 n 之间的距离可转化为直线 m 与平面之间的距离。方法二：直接计算公垂线段的长度。方法三：公式法。dcba mDCB A mn如图，AD 是异面直线 m 和 n 的公垂线段，则异面直线 m 和 n 之间的距离为：/mcos22abcd高考题典例ABC D1A1CB4 / 9考点 1 点到平面的距离例 1 如图，正三棱柱 1ABC的所有棱长都为 2， D为 1C中点（）求证： 1 平面 D

6、；（）求二面角 AB的大小；（）求点 到平面 的距离解答过程（）取 BC中点 O，连结 A为正三角形， A 正三棱柱 1中，平面 平面 1BC，O平面 B连结 1，在正方形 中， OD， 分别为1C，的中点， D ， 1A 在正方形 A中， 1 ， B 平面 1D（）设 1B与 交于点 G，在平面 1中，作 1GFA 于F，连结 ，由（）得 1A 平面 1AF ， G 为二面角 1ADB的平面角在 1AD 中，由等面积法可求得 45，又 2GB， 20sinF 所以二面角 1的大小为 1arci4（） ABD 中， 111526ABDS， ， ， 1BCD 在正三棱柱中， 到平面 CB的距离为

7、 3设点 C到平面 1的距离为 d由 11ABDV，得 13BCDABDS ，12BCDASd 点 到平面 1的距离为 2考点 2 异面直线的距离例 2 已知三棱锥 ABCS，底面是边长为 2的正三角形，棱 SC的长为 2，且垂直于底面. DE、 分别为 ABC、 的中点，ABCD1A1OF5 / 9求 CD 与 SE 间的距离 .解答过程： 如图所示，取 BD 的中点 F，连结 EF，SF ， CF，EF为 BCD的中位线， E CD,面 SEF,到平面 SEF的距离即为两异面直线间的距离.又 线面之间的距离可转化为线 上一点 C 到平面的距离，设其为 h，由题意知， 24B,D、E 、 F

8、 分别是 AB、BC、BD 的中点，,621,6SCEFC32133SDVS在 Rt E中， 2E在 Rt SCF中， 024CFS又 3,6SEF 由于 hSVEFCEFS31，即 321，解得 32h 故 CD 与 SE 间的距离为 2.考点 3 直线到平面的距离例 3 如图，在棱长为 2 的正方体 1AC中，G 是 1的中点，求 BD 到平面 1DGB的距离.思路启迪：把线面距离转化为点面距离，再用点到平面距离的方法求解.解答过程：解析一 BD平面 1，B上任意一点到平面 1的距离皆为所求，以下求点 O 平面 1G的距离,1CAD， A1， 1DB平面 1AC,又 B平面 平面 G，两个

9、平面的交线是 GO1,作 GOH1于 H，则有 平面 1，即 OH 是 O 点到平面 DB的距离.在 中， 2211 AOS.BACDOGH1A116 / 9又 362,321211 OHGOHSOG .即 BD 到平面 1DB的距离等于 6.解析二 平面 1，上任意一点到平面 G的距离皆为所求，以下求点 B 平面 1DG的距离.设点 B 到平面 1D的距离为 h，将它视为三棱锥 1的高，则，由 于 6321,11 GBGBDSV34231 GBDV, ,3624h即 BD 到平面 1B的距离等于 362.小结：当直线与平面平行时，直线上的每一点到平面的距离都相等，都是线面距离.所以求线面距离

10、关键是选准恰当的点，转化为点面距离.本例解析一是根据选出的点直接作出距离；解析二是等体积法求出点面距离.考点 4 异面直线所成的角例 4如图，在 RtAOB 中， 6，斜边 4AB RtOC 可以通过 RtAB 以直线 O为轴旋转得到，且二面角 C的直二面角 D是 的中点（I）求证：平面 D平面 ；（II）求异面直线 与 所成角的大小解答过程：（I）由题意， OA， B，BOC是二面角 C是直二面角，又 ， 平面 AO，又 平面 D 平面 平面 （II）作 E，垂足为 E，连结 （如图） ，则 DE ，C是异面直线 AO与 C所成的角在 Rt 中， 2B， 1， 25COOCDBEOCADBx

11、yz7 / 9又 132DEAO 在 RtCDE 中， 51tan3CE异面直线 与 所成角的大小为 1rc3小结： 求异面直线所成的角常常先作出所成角的平面图形，作法有：平移法：在异面直线中的一条直线上选择“特殊点” ，作另一条直线的平行线，如解析一，或利用中位线，如解析二；补形法：把空间图形补成熟悉的几何体，其目的在于容易发现两条异面直线间的关系，如解析三.一般来说，平移法是最常用的，应作为求异面直线所成的角的首选方法.同时要特别注意异面直线所成的角的范围： 2,0.考点 5 直线和平面所成的角例 5. 四棱锥 SABCD中，底面 为平行四边形，侧面 SBC底面 AD已知 45BC ，2A

12、B， ， 3（）证明 ；（）求直线 S与平面 AB所成角的大 小解答过程：（）作 SO ，垂足为 ，连结 O，由侧面 S底面 CD，得 底面 ABCD因为 SA，所以 ，又 45B ，故 为等腰直角三角形，O，由三垂线定理，得 S （）由（）知 BC ，依题设 ADBC ，故 SAD ，由 2， 3，2，得 1， S S 的面积 2211ABS连结 B，得 的面积 2sin352ABD设 D到平面 SA的距离为 h，由于 SABV，得 123hSOA，解得 h设 与平面 所成角为 ，则 sih所以，直线 与平面 BC所成的我为 2arcn1小结：求直线与平面所成的角时，应注意的问题是（1）先判

13、断直线和平面的位置关系；（2）当直线和平面斜交时，常用以下步骤：构造作出斜线与射影所成的角，证明论证作出的角为所求的角，计算常用解三角形的方法求角，结论点明直线和平面所成的角的值.D BCAS ODBCAS8 / 9考点 6 二面角例 6如图，已知直二面角 PQ，APQ， B， C， AB， 45，直线 CA和平面 所成的角为 30 （I）证明 （II）求二面角 P的大小过程指引：（I）在平面 内过点 C作 OPQ 于点 ，连结 OB因为 ， Q，所以 ，又因为 CAB，所以 B而 45O，所以 45， 90A，从而 P ，又 ，所以 Q 平面 BC因为 平面 OBC，故 PQ （II）由（I

14、）知， Q ，又 ， ，BO，所以 过点 作 HA 于点 ，连结 BH，由三垂线定理知， BHAC 故H是二面角 BACP的平面角由（I）知， ，所以 O是 和平面 所成的角，则 30CAO，不妨设 2，则 3， 3sin02HA在 RtOAB 中， 45B，所以 B，于是在 RtBH 中，3tan2H故二面角 CP的大小为 arctn2小结：本题是一个无棱二面角的求解问题.解法一是确定二面角的棱，进而找出二面角的平面角. 无棱二面角棱的确定有以下三种途径：由二面角两个面内的两条相交直线确定棱，由二面角两个平面内的两条平行直线找出棱，补形构造几何体发现棱；解法二则是利用平面向量计算的方法，这也

15、是解决无棱二面角的一种常用方法，即当二面角的平面角不易作出时，可由平面向量计算的方法求出二面角的大小.ABCQPABCQPOH9 / 9考点 7 利用空间向量求空间距离和角例 7 如图，已知 1ABCD是棱长为 3的正方体，点 E在 1上，点 F在 上，且 1EFC（1）求证： 1， ， ， 四点共面； （2）若点 G在 BC上， 23，点 M在 1B上， GMBF，垂足为 H，求证： E 平面 C； （3）用 表示截面 1FD和侧面 1所成的锐二面角的大小，求 tan过程指引：（1）如图，在 上取点 N，使 D，连结 EN，CN，则 AE， 12C因为 D ， 1F ，所以四边形 A， 1CF都为平行四边形从而 ， N 又因为 ABC ，所以 E ，故四边形 BE是平行四边形，由此推知 N ，从而 1FD 因此， 1FD， ， ， 四点共面（2）如图， GM ，又 C ，所以 GMCB ，tantanBBBAA 23A因为 E ，所以 E为平行四边形，从而 E 又 平面 1C，所以 平面 1C（3）如图，连结 H因为 MBF ， ，所以 BF 平面 MH，得 EBF 于是E是所求的二面角的平面角，即 EH 因为 BF ，所以 sinsinCAA 2231CMA， ta13CBAHDEF1B1BAGHMDEF1B1CN