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1、1高中数学复习笔记（整理于 2013-8）一、 函数图象1、对称：y=f（x）与 y=f（-x）关于 y轴对称，例如：与 （ ）关于 y轴对称ayx10a且y=f（x）与 y= f（x）关于 x轴对称，例如：与 关于 x轴对称2121y=f（x）与 y= f（-x）关于原点对称，例如：与 关于原点对称21y21）（ y=f（x）与 y=f （x）关于 y=x对称，例如：y=10 与 y=lgx关于 y=x对称y=f（x）与 y= f （x）关于 y= x对称，如：y=10 与 y= lg（x）关于 y= x对称1 x注：偶函数的图象本身就会关于 y轴对称，而奇函数的图象本身就会关于原点对称，例

2、如：图象本身就会关于 y轴对称， 的图象本身就会关于原点对称。2y3y=f（x）与 y=f（ax）关于 x= 对称（ ）2a2ax注：求 y=f（x）关于直线 x y c=0（注意此时的系数要么是 1要么是-1）对称的方程，只需由 xy+c=0解出 x、y 再代入 y=f（x）即可，例如：求 y=2x+1关于直线 x-y-1=0对称的方程，可先由 x-y-1=0解出 x=y+1，y=x-1，代入 y=2x+1得：x-1=2（y+1）整理即得：x-2y-3=02、平移：y=f（x） y= f（ x+ ）先向左（ 0）或向右（ 0）或向左（ 0）或向右（ 时，则 f（ x）在 a，+）上单调递增f

3、min=f（ a）= a2+1（2）当 x a时， f（ x）= x2 x+a+1=（ x ） 2+a+143若 a 时，则 f（ x）在（， 单调递减， fmin=f（ a）= a2+11当 a 时，则 f（ x）在（， 上最小值为 f（ ）= +a2a143综上所述，当 a 时， f（ x）的最小值为 a21当 a 时， f（ x）的最小值为 a2+121当 a 时， f（ x）的最小值为 +a432、 利用均值不等式3典例：已知 x、y 为正数，且 x =1，求 x 的最大值2y21y分析：x = = （即设法构造定值 x =1）=21）（ 2）（ 2y= 故最大值为）（ 2yx21yx

4、4343注：本题亦可用三角代换求解即设 x=cos ， =sin 求解， （解略）2y3、 通过求导，找极值点的函数值及端点的函数值，通过比较找出最值。4、 利用函数的单调性典例：求 t 的最小值（分析：利用函数 y= 在（1，+ ）的单调性求解，解略）212t x5、 三角换元法（略）6、 数形结合例：已知 x、y 满足 x ，求 的最值42y65xy5、抽象函数的周期问题已知函数 y=f（x）满足 f（x+1）= f（x） ，求证：f（x）为周期函数证明：由已知得 f（x）= f（x 1） ，所以 f（x+1）= f（x）= （f（x 1） ）= f（x 1）即 f（t）=f（t 2） ，

5、所以该函数是以 2为最小正周期的函数。解此类题目的基本思想：灵活看待变量，积极构造新等式联立求解二、圆锥曲线1、 离心率圆（离心率 e=0） 、椭圆（离心率 01） 。2、 焦半径椭圆：PF =a+ex 、PF =a-ex （左加右减） （其中 P为椭圆上任一点，F 为椭圆左焦点、F 为1020 12椭圆右焦点）注：椭圆焦点到其相应准线的距离为 ca2双曲线：PF = |ex +a|、PF =| ex -a|（左加右减） （其中 P为双曲线上任一点，F 为双曲线左1020 1焦点、F 为双曲线右焦点）24注：双曲线焦点到其相应准线的距离为 ca2抛物线：抛物线上任一点到焦点的距离都等于该点到准

6、线的距离（解题中常用）圆锥曲线中的面积公式：（F 、F 为焦点）12设 P为椭圆上一点， = ，则三角形 F PF 的面积为：bP122tan三角形中利用余弦定理整理即可注：|PF | |PF |cos =b 为定值122设 P为双曲线上一点， = ，则三角形 F PF 的面积为：b21F122cot注：|PF | |PF |sin =b 为定值12附：三角形面积公式：S= 底 高= absinC= = r（a+b+c）=（R 为外接圆半径，r 为内切圆半径）=abc421（这就是著名的海伦公式）)()(为 三 角 形 周 长 的 一 半llal三、数列求和裂项法：若 是等差数列，公差为 d（

7、 ）则求 时可用裂项na0ia 1321nn ababs法求解，即 = （ ）=nsdb13211n1n求导法： （典例见高三练习册 p86例 9）倒序求和：（典例见世纪金榜 p40练习 18）分组求和：求和：1-2+2-4+3-8+4-16+5-32+6-分析：可分解为一个等差数列和一个等比数列然后分组求和求通项：构造新数列法典例分析：典例见世纪金榜 p30例 4构造新数列 即可na1四、向量与直线向量（a，b） ， （c，d）垂直的充要条件是 ac+bd=0向量（a，b） ， （c，d）平行的充要条件是 adbc=0附：直线 A x+B y+C =0与直线 A x+B y+C =0垂直的充

8、要条件是 A A + B B =01122 1212直线 A x+B y+C =0与直线 A x+B y+C =0平行的充要条件是 A B -A B =0向量的夹角公式：5cos =|ba注 1：直线的“到角”公式： 到 的角为 tan = ；“夹角”公式为 tan =| |1l212k12k（“到角”可以为钝角，而“夹角”只能为 之间的角）0，注 2：异面直线所成角的范围：（0， 2注 3：直线倾斜角范围0， ）注 4：直线和平面所成的角0， 注 5：二面角范围：0， 注 6：锐角：（0， ）2注 7：0 到 的角表示（0， 注 8：第一象限角（2k ，2k + ）附：三角和差化积及积化和差

9、公式简记S + S = S CS + S = C SC + C = C CC C = S S五、集合1、集合元素个数的计算card（A ）=card（A）+ card（B）+ card（C）card（A ）card（ ）B BCcard（C A）+card（A B C） （结合图形进行判断可更为迅速）2、从集合角度来理解充要条件：若 A B，则称 A为 B的充分不必要条件， （即小的可推出大的）此时 B为 A的必要不充分条件，若 A=B，则称 A为 B的充要条件 经纬度六、二项展开式系数：C +C +C +C =2 （其中 C + C + C +=2 ；C +C + C +=2 ）0n12n0

10、n24n1n3n51n例：求（2+3x） 展开式中101、所有项的系数和2、奇数项系数的和3、偶数项系数的和6方法：只要令 x为 1或1 即可七、离散型随机变量的期望与方差E（a +b）=aE +b；E（b）=bD（a +b）=a D ；D（b）=02D =E （E ）特殊分布的期望与方差（0、1） 分布：期望：E =p；方差 D =pq二项分布： 期望 E =np；方差 D =npq注：期望体现平均值，方差体现稳定性，方差越小越稳定。八、圆系、直线系方程经过某个定点（ ）的直线即为一直线系，可利用点斜式设之（k 为参数）0yx，一组互相平行的直线也可视为一直线系，可利用斜截式设之（b 为参数

11、）经过圆 f（x、y）与圆（或直线）g（x、y）的交点的圆可视为一圆系，可设为：f（x、y）+ g（x、y）=0（此方程不能代表 g（x、y）=0） ；或 f（x、y）+g（x、y）=0（此方程不 能代表 f（x、y）=0）附：回归直线方程的求法：设回归直线方程为 bxa，则 b niiix12a byx九、立体几何（一）1、欧拉公式：V+FE=2（只适用于简单多面体）利用欧拉公式解题的关键是列出 V、F、E 之间的关系式棱数 E= （每个顶点出发的棱数之和）= （每个面的边数之和） （常用）2212、长方体的三度定理长方体的一条对角线的长的平方等于一个顶点上三条棱的长的平方和推论A、 若对角

12、线与各棱所成的角为 、 、 ，则：cos +cos +cos =1 sin +sin +sin =2222222B、 若对角线与各面所成的角为 、 、 ，则：7cos +cos +cos =2 sin +sin +sin =12222223、三角形“四心”重心：三边中线交点垂心：三边高线交点内心：角平分线交点（内切圆圆心）外心：垂直平分线交点（外接圆圆心）若三角形为正三角形，则以上“四心”合称“中心”引申：若三棱锥三个侧面与底面所成的角相等，则该棱锥的顶点在底面的射影为底面三角形的内心若三棱锥三条侧棱与底面所成的角相等，则该棱锥的顶点在底面的射影为底面三角形的外心若三棱锥三条侧棱两两垂直，则该

13、棱锥的顶点在底面的射影为底面三角形的垂心若该三棱锥为正三棱锥，则其顶点在底面的射影为底面三角形的中心4、经度纬度九、立体几何（二）一、 “共”的问题1多点共线：先证其中两点确定一条直线，然后其余点均在该直线上。举例：正方体ABCDA 1B1C1D1中，设线段 A1C与平面 ABC1D1交于 Q，证：B，Q，D 1共线。2多线共点：先证两直线共点，其余的过该点。举例：三个平面两两相交于三条直线，求证：三条交线共点，或互相平行。3多线共面：先找到两条确定一个平面，然后证其它的均在平面内。举例：四条直线两两相交不共点，求证：四条直线共面。二、 “角”的问题1异面直线所成角（0,90：采用平移转化法，

14、构造一个含 的三角形，由余弦定理求得(请自己补充例子，这个很重要)；2直线与平面所成角0,90：关键是找射影，最后通过垂线、斜线、射影来求所成角。举例：求正四面体的侧棱与底面所成的角。3二面角0,180：关键是作二面角，方法有定义法、作棱的垂面、三垂线定理和公式法(S=cosS)。举例：求正四面体的相邻两侧面所成角(arccos(1/3).三、 “距离”的问题1点面距：可通过定义法或等体积法。举例：边长为 a的正方体 ABCDA 1B1C1D1中，求 A点到平面 A1BD的距离( )。a32线面距：转化为点面距。举例：边长为 a的正方体 ABCDA 1B1C1D1中，求 A1B到平面 B1CD

15、 的距离( )。a383异面直线间距离(一些较特殊的，难度不要太大)，比如求正四面体对棱间的距离( )。举a2例：边长为 a的正方体 ABCDA 1B1C1D1中，求 A1B与 B1D1的距离( )。a34.球面距： 它是球面上两点间的最短距离，求解的步骤：（1）计算线段 AB的长（2）计算 A、B 所对的球心角（用弧度角表示）（3）计算球大圆在 AB间的劣弧举例：设地球半径为 R，在北纬 45圈上有 A、B 两地，沿此纬度圈上 A、B 两地间的劣弧长为R，求 AB间的球面距。 （ R）43注意：1。在求距离过程中，要体现先证角(把所要的角给找出来)，后求角这两个步骤。2要灵活把握点面距、线面

16、距、线线距(注意：两异面直线间的距离就等于分别过这两条直线的平行平面间的距离)、面面距间的转化使用。四、 “垂直”的问题1.平面内证明两直线垂直的方法a.勾股定理b.等腰三角形的三线合一c.直径所对的圆周角d.垂径定理e直二角的性质f.棱形、正方形的对角线互相垂直g.平行直线中一条垂直于第三条直线， 则另一条也与第三条垂直2.线面垂直的判定（1）线线垂直-线面垂直： knmkPnm,（2）线面垂直-线面垂直： ,（3）直二面角的性质： ll,（4）三垂线定理注意：以上几种方法，实质乃是转化思想，在解题中，要把握它们相互间的转化应用，切不可死记硬背。举例：在正方体 ABCDA 1B1C1D1中，

17、E、F 分别是 BB1、D 1B1的中点，求证：EF平面B1AC.(例子自己再补充)3.面面垂直（1）定义法，求证二面角为 90（2）一平面过另一平面的垂线举例：直线 a、b 是异面直线，a平面 ，b平面 ，ab，求证：4.三垂线定理（1）cosPAB= cosPAC cosCAB（2）PAC 相当于斜线与平面所成角9（3）PBC 相当于二面角（4） （定理）APlBClAl 平 面,（5） （逆定理）P平 面（6）垂线段最短（前提是自平面外同一个点引的所有线段中）（7）最小角定理（涉及到不等问题时要想到这里）五、 “个数”的问题（1）空间中到四面体的四个顶点距离都相等的平面个。 （7 个）（

18、2）过直线外一点有个平面与该直线平行（无数个）（3）一直线与一平面斜交，则平面内有条直线与该直线平行。 （0）（4）3 条两两相交的直线可以确定个平面（1 个或 3个）（5）过空间一点，与两异面直线都平行的平面有条（0 或 1）（6）3 个平面可以把空间分个部分。 （4 或 6或 7或 8）（7）两两相交的 4条直线最多可以确定个平面（6 个）（8）两异面直线成 60的角，问过空间一点与它们都成 30（45,60,80）的角的直线有条。 （1；2；3；4）六、克服思维定势，区分平面与空间的问题1在空间中错误的命题（1）垂直于同一条直线的两直线平行（2）平行于同一直线的两平面平行（3）平行于同一

19、平面的两直线平行（4）过直线外一点只有一条直线与已知直线垂直（有无数条）（5）两个不同平面内的两条直线叫做异面直线（正确：不同在任何平面内的两条直线）（6）一直线与一平面内无数条直线垂直，则该直线与这个平面垂直（无数条应改成所有的才是正确的）2.正确的命题（1）平行于同一条直线的两条直线平行（2）垂直于同一条直线的两个平面平行（3）两平面平行，若第三个平面与它们相交且有两条交线，则两直线平行（4）两相交平面同时垂直于第三个平面，则它们的交线垂直于第三个平面七、 “正多面体”的问题1正四面体（请掌握相关的推导方法）（1）每对对棱都是成 90的异面直线，中点连线即为公垂线（2）两异面直线间的距离为

20、 a（此时设 a为正四面体棱长）2（3）体积为 （此时设 a为正四面体外接正方体边长。即四面体的四个顶点刚好和正方体的某四3个顶点重合） （结合课本 P53：第 8题图形）（4）外接球的半径为（ ） （a 为四面体的边长）4610（5）内切球的半径为（ ） （a 为四面体的边长）126（6）相邻两面的二面角为（ ）3rcos（7）以各棱中点为顶点可以得到正八面体，则正八面体的棱长为（ ） （a 为正四面体边长）212正八面体（1）若它是以正方体和各面中心为顶点得到的，则正方体的边长为_( a)（a 为正八面体的边长）（2）其体积为（ ，即为外接正方体体积的 ） （a 为正八面体的边长）32a6

21、1（3）相邻两面所成的二面角为_（ ）.3rcos附：简易逻辑之否定词：（所谓否定，即事物的对立面）原词 = 是 都是 至多有一个 至多有 n个 至少有一个 任意的否定 不是 不都是 至少有两个 至少有 n+1个 一个也没有 某个原词 任两个 p或 q 能否定 某两个 P且 q 不能注：以上否定词只是针对一般的情况而言而非绝对，遇到特殊问题还需具体分析补充：数学误点特别提醒在高考备考的过程中，熟化这些解题小结论，防止解题易误点的产生，对提升高考数学成绩将会起到较大的作用1集合 A、B， 时，你是否注意到“极端”情况： 或 ；求集合的子集时是AB否忘记 . 例如： 对一切 恒成立，求 a的取植范围，你讨论了 a2022xaxRx的情况了吗？2对于含有 n个元素的有限集合 M, 其子集、真子集、非空子集、非空真子集的个数依次为 ，n，1n， .23 ， 。 “p且 q”的否定是“非 p或非 q”，BCACIII )( BCAIII )(“p或 q”的否定是“非 p且非 q”。在反证法中的相关“反设”你清楚吗？4 “”的涵义你清楚吗？不等式 的解集是 对吗？2()30xx|3x