1、 第 1 页 共 5 页第四章 圆与方程1、圆的定义:平面内到一定点的距离等于定长的点的集合叫圆,定点为圆心,定长为圆的半径。2、圆的方程(1) 标准方程 22rbyax,圆心 ba,,半径为 r;点 与圆 的位置关系:0(,)My()()当 ,点在圆外220r当 = ,点在圆上0()()xayb当 ,点在圆内220r(2) 一般方程 0FEyDxy当 42FED时,方程表示圆,此时圆心为 2,ED,半径为 FEDr4212当 0时,表示一个点; 当 2时,方程不表示任何图形。(3)求圆方程的方法:一般都采用待定系数法:先设后求。确定一个圆需要三个独立条件,若利用圆的标准方程,需求出 a,b,
2、r ;若利用一般方程,需要求出 D,E,F;另外要注意多利用圆的几何性质:如弦的中垂线必经过原点,以此来确定圆心的位置。3、直线与圆的位置关系:直线与圆的位置关系有相离,相切,相交三种情况:(1)设直线 0:CByAxl,圆 22:rbyax,圆心 baC,到 l 的距离为2bad,则有 相 离与lrd; 相 切与ld; 相 交与rd(2)过圆外一点的切线:k 不存在,验证是否成立k 存在,设点斜式方程,用圆心到该直线距离=半径,求解 k,得到方程【一定两解】(3)过圆上一点的切线方程:圆(x-a) 2+(y-b)2=r2,圆上一点为(x 0, y0),则过此点的切线方程为 (x0-a)(x-
3、a)+(y0-b)(y-b)= r2 4、圆与圆的位置关系:通过两圆半径的和(差) ,与圆心距(d)之间的大小比较来确定。设圆 2121:rbyaxC, 222: RbyaxC两圆的位置关系常通过两圆半径的和(差) ,与圆心距(d)之间的大小比较来确定。当 rRd时两圆外离,此时有公切线四条;当 时两圆外切,连心线过切点,有外公切线两条,内公切线一条;当 时两圆相交,连心线垂直平分公共弦,有两条外公切线;当 时,两圆内切,连心线经过切点,只有一条公切线;当 r时,两圆内含; 当 0d时,为同心圆。注意:已知圆上两点,圆心必在中垂线上;已知两圆相切,两圆心与切点共线圆的辅助线一般为连圆心与切线或
4、者连圆心与弦中点第 2 页 共 5 页第四章 圆与方程 一、选择题1若圆 C 的圆心坐标为(2, 3),且圆 C 经过点 M(5,7),则圆 C 的半径为( )A B5 C25 D5 102过点 A(1,1),B(1,1)且圆心在直线 xy 20 上的圆的方程是( )A(x3) 2(y1) 24 B(x 3) 2(y1) 24C(x 1)2( y1) 24 D(x1) 2(y1) 243以点(3,4)为圆心,且与 x 轴相切的圆的方程是( )A(x3) 2(y4) 216 B(x 3) 2(y4) 216 C(x 3)2( y4) 29 D(x3) 2(y4) 219 4若直线 xy m0 与
5、圆 x2y 2m 相切,则 m 为( )A0 或 2 B2 C D无解5圆(x1) 2(y 2) 220 在 x 轴上截得的弦长是( )A8 B6 C6 D4236两个圆 C1:x 2y 22x2y20 与 C2:x 2y 24x2y10 的位置关系为( )A内切 B相交 C外切 D相离7圆 x2y 22x 50 与圆 x2y 22x4y 40 的交点为 A,B,则线段 AB 的垂直平分线的方程是( )Axy10 B2xy10 Cx 2y10 Dx y108圆 x2y 22x 0 和圆 x2y 24y0 的公切线有且仅有 ( )A4 条 B3 条 C2 条 D1 条9在空间直角坐标系中,已知点
6、 M(a,b,c),有下列叙述:点 M 关于 x 轴对称点的坐标是 M1(a,b,c );点 M 关于 yoz 平面对称的点的坐标是 M2(a,b,c);点 M 关于 y 轴对称的点的坐标是 M3(a,b,c );点 M 关于原点对称的点的坐标是 M4(a,b,c)其中正确的叙述的个数是( )A3 B2 C1 D010空间直角坐标系中,点 A(3,4,0)与点 B(2,1,6)的距离是( )A2 B2 C9 D41 86二、填空题11圆 x2y 22x 2y10 上的动点 Q 到直线 3x4y80 距离的最小值为 12圆心在直线 yx 上且与 x 轴相切于点(1,0)的圆的方程为 13以点 C
7、(2,3)为圆心且与 y 轴相切的圆的方程是 14两圆 x2y 21 和(x 4) 2(ya) 225 相切,试确定常数 a 的值 15圆心为 C(3,5),并且与直线 x7y20 相切的圆的方程为 16设圆 x2y 24x 50 的弦 AB 的中点为 P(3,1),则直线 AB 的方程是 第 3 页 共 5 页三、解答题17求圆心在原点,且圆周被直线 3x4y150 分成 12 两部分的圆的方程18求过原点,在 x 轴,y 轴上截距分别为 a,b 的圆的方程(ab0)19求经过 A(4,2), B(1,3)两点,且在两坐标轴上的四个截距之和是 2 的圆的方程20求经过点(8,3),并且和直线
8、 x6 与 x10 都相切的圆的方程第 4 页 共 5 页第四章 圆与方程 参考答案一、选择题1B 圆心 C 与点 M 的距离即为圆的半径, 522735)(2C 解析一:由圆心在直线 xy20 上可以得到 A,C 满足条件,再把 A 点坐标(1,1)代入圆方程A 不满足条件选 C解析二:设圆心 C 的坐标为( a,b),半径为 r,因为圆心 C 在直线 xy 20 上,b2a由|CA|CB|,得(a1) 2(b1) 2(a1) 2(b1) 2,解得 a1,b1因此圆的方程为(x 1)2(y1) 243B 解析:与 x 轴相切,r4又圆心(3,4),圆方程为(x3) 2(y4) 2164B 解
9、析:xy m0 与 x2y 2m 相切,(0,0)到直线距离等于 ,m 2m5A 解析:令 y0, (x1) 216 x14,x 15,x 23弦长|5(3)|86B 解析:由两个圆的方程 C1:(x1) 2(y1) 24,C 2:(x2) 2(y 1) 24 可求得圆心距d (0,4),r 1r 22,且 r 1r 2dr 1r 2 故两圆相交,选 B137A 解析:对已知圆的方程 x2y 22x50,x 2y 22x4y40,经配方,得(x1) 2y 26,(x1) 2(y2) 29圆心分别为 C1(1,0),C 2(1,2)直线 C1C2 的方程为 xy108C 解析:将两圆方程分别配方
10、得(x 1) 2y 21 和 x2(y2) 24,两圆圆心分别为 O1(1,0),O2(0,2),r 11,r 22,|O 1O2| ,又 1r 2r 1 r 1r 23,故两圆相交,所以55有两条公切线,应选 C9C 解:错,对选 C10D 解析:利用空间两点间的距离公式二、填空题112解析:圆心到直线的距离 d 3,动点 Q 到直线距离的最小值为 dr31258412(x1) 2(y 1) 21解析:画图后可以看出,圆心在(1,1),半径为 1故所求圆的方程为:(x1) 2(y1) 2113(x2) 2(y 3) 24解析:因为圆心为(2,3),且圆与 y 轴相切,所以圆的半径为 2故所求
11、圆的方程为(x2) 2(y 3) 24140 或2 解析:当两圆相外切时,由|O 1O2|r 1r 2 知 6,即 a2 5 245当两圆相内切时,由|O 1O2|r 1r 2(r1r 2)知 4,即 a0a 的值为 0 或2 15(x3) 2(y 5) 232解析:圆的半径即为圆心到直线 x7y20 的距离;16xy40解析:圆 x2y 24x50 的圆心为 C(2,0),P(3,1)为弦 AB 的中点,所以直线 AB与直线 CP 垂直,即 kABkCP1,解得 kAB1,又直线 AB 过 P(3,1),则直线方程为 xy40三、解答题17x 2y 236解析:设直线与圆交于 A,B 两点,
12、则AOB120,设所求圆方程为:x 2y 2r 2,则圆心到直线距离为 ,所2r OxyABr524-45第 17 题第 题第 5 页 共 5 页以 r6,所求圆方程为 x2y 23618x 2y 2ax by0解析:圆过原点, 设圆方程为 x2y 2DxEy0圆过(a,0)和(0,b),a2 Da0, b2bE0又 a 0,b0, Da,Eb故所求圆方程为 x2y 2axby 019x 2y 22x 120解析:设所求圆的方程为 x2y 2DxEy F0A, B 两点在圆上,代入方程整理得:D3EF 10 4D2EF 20 设纵截距为 b1,b 2,横截距为 a1,a 2在圆的方程中,令 x0 得 y2EyF0,b 1b 2E;令 y0 得 x2DxF 0,a 1a 2D 由已知有DE2联立方程组得 D2,E0,F12所以圆的方程为 x2y 22x 12020解:设所求圆的方程为(xa) 2(yb) 2r 2根据题意:r 2,圆心的横坐标 a628,610所以圆的方程可化为:(x8) 2(yb) 24又因为圆过(8,3)点,所以(88) 2(3b) 24,解得 b5 或 b1,所求圆的方程为(x8) 2(y5) 24 或(x 8) 2(y1) 24
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