函数与导数经典例题--高考压轴题含答案.doc

1、 函数与导数1. 已知函数 ，其中 32()461,fxtxtxRt（）当 时，求曲线 在点 处的切线方程；1t()yf0()f（）当 时，求 的单调区间；0fx（）证明：对任意的 在区间 内均存在零点(0,)(tfx(,1)【解析】 （19）本小题主要考查导数的几何意义、利用导数研究函数的单调性、曲线的切线方程、函数的零点、解不等式等基础知识，考查运算能力及分类讨论的思想方法，满分 14 分。（）解：当 时，1t32 2()46,(0),()16fxxffxx所以曲线 在点 处的切线方程为(0)6.fy(, .y（）解： ，令 ，解得22()6fxtx )fx 2txt或因为 ，以下分两种情

2、况讨论：t（1）若 变化时， 的变化情况如下表：0,t则 当 (),fx,2t,2t,t()f+ - +x所以， 的单调递增区间是 的单调递减区间是 。()f ,;()2tfx ,2t（2）若 ，当 变化时， 的变化情况如下表：0,2tt则 x(),fx,t,2t,2t()f+ - +x所以， 的单调递增区间是 的单调递减区间是()f,;()2tfx,.2t（）证明：由（）可知，当 时， 在 内的单调递减，在 内单调0t()fx0,2t,2t递增，以下分两种情况讨论：（1）当 时， 在（0，1）内单调递减，,2tt即 ()fx2(0)64364230.ftft所以对任意 在区间（0，1）内均存

3、在零点。,(x（2）当 时， 在 内单调递减，在 内单调递增，若01,2tt即 ()f0,2t,12t3377(,1.244tftt1)6620.fttt所以 内存在零点。(,2fx在若 3377(1,)10.44ttftt0ft所以 内存在零点。(),2tfx在所以，对任意 在区间（0，1）内均存在零点。(,)tfx综上，对任意 在区间（0，1）内均存在零点。(2. 已知函数 ， 2()3fx)hx（）设函数 F(x)18f(x)x 2h(x)2，求 F(x)的单调区间与极值；（）设 ，解关于 x 的方程 ；aR3lg12lg()2lg(4)4fhaxhx（）设 ，证明： *nN1()()6

4、fnn本小题主要考查函数导数的应用、不等式的证明、解方程等基础知识，考查数形结合、函数与方程、分类与整合等数学思想方法及推理运算、分析问题、解决问题的能力解：（） ，23()18()()129(0)Fxfxhxx2()3令 ，得 （ 舍去） ()0Fx2x当 时 ；当 时， ，,2()(2,)()0Fx故当 时， 为增函数；当 时， 为减函数 ,x为 的极大值点，且 x() 84925F（）方法一：原方程可化为 ，4 23log(1)log()log(4)2fhaxhx即为 ，且42 2log(1)l l4xaxx ,1当 时， ，则 ，即 ，a1a60xa，此时 ， ，364()204a60

5、352xxa此时方程仅有一解 35x当 时， ，由 ，得 ，a11x40xa，364()204a若 ，则 ，方程有两解 ；535若 时，则 ，方程有一解 ；若 或 ，原方程无解1a方法二：原方程可化为 ，422log(1)l(4)log()xhxhax即 ，222log()llxa10,()4.xax214,(3)5.ax当 时，原方程有一解 ；14a35x当 时，原方程有二解 ；5a当 时，原方程有一解 ；x当 或 时，原方程无解1a（）由已知得 ，()2()12hhnn 431()66nfn设数列 的前 n 项和为 ，且 （ ）anS()6nf*N从而有 ，当 时， 1S210k14316

6、kkkaS又 (43)(4)6ka22()()60()(1)kk 即对任意 时，有 ，又因为 ，所2a1a以 121nan 则 ，故原不等式成立(1)2()nShhn3. 设函数 ，axaxf22l)( 0（）求 的单调区间；（）求所有实数 ，使 对 恒成立2)(1exfe,1注： 为自然对数的底数e【解析】 （21）本题主要考查函数的单调性、导数运算法则、导数应用等基础知识，同时考查抽象概括、推理论证能力。满分 15 分。（）解：因为 22()ln.0fxaxax其 中所以2()()f由于 ，所以 的增区间为 ，减区间为0a()fx(0,)a(,)a（）证明：由题意得， 11c即由（）知 内

7、单调递增，(),fxe在要使 恒成立，21,e对只要 22()1fae解得 .4. 设 ，其中 为正实数.21)(axef（）当 时，求 的极值点；34()fx（）若 为 上的单调函数，求 的取值范围.()fxRa【解析】 （18） （本小题满分 13 分）本题考查导数的运算，极值点的判断，导数符号与函数单调变化之间的关系，求解二次不等式，考查运算能力，综合运用知识分析和解决问题的能力.解：对 求导得 .)1()(2axexf )(xf（I）当 34a，若 .21,3,0384,0)( 12 xxxf 解 得则综合,可知所以, 是极小值点 , 是极大值点.231x21x（II）若 为 R 上的

8、单调函数，则 在 R 上不变号，结合与条件 a0，知)(f )(xf02ax在 R 上恒成立，因此 由此并结合 ，知,0)1(42aa0a.1a5. 已知 a，b 为常数，且 a 0，函数 f（x）=-ax+b+axlnx，f（e）=2（e=271828是自然对数的底数） 。（I）求实数 b 的值；（II）求函数 f（x）的单调区间；（III）当 a=1 时，是否同时存在实数 m 和 M（m0得 1,由 f(x)0得 1;（2）当 .a时 由 得 由 得综上，当 时，函数 的单调递增区间为 ，()fx(,)x)21,()2,( ),3()(f+ 0 0 + 极大值 极小值 单调递减区间为（0，

9、1） ；当 时，函数 的单调递增区间为（0，1） ，a()fx单调递减区间为 。,（III）当 a=1 时， ()2ln,()l.fxxfx由（II）可得，当 x 在区间 内变化时， 的变化情况如下表：1,e,()fx1e() 1ee()f- 0 +x2e单调递减 极小值 1 单调递增 2又 的值域为1 ，2 。,(),)fxe所 以 函 数据经可得，若 ，则对每一个 ，直线 y=t 与曲线 都有1,2mM,tmM1(),)yfxe公共点。并且对每一个 ，直线 与曲线 都没有公共点。(,)(,)tyt(),)fe综上，当 a=1 时，存在最小的实数 m=1，最大的实数 M=2，使得对每一个 ，

10、直,tmM线 y=t与曲线 都有公共点。1(),)yfxe6. 设函数 32abx， 2()3gx，其中 xR，a、b 为常数，已知曲线 ()yfx与 ()g在点（2,0）处有相同的切线 l。（I） 求 a、b 的值，并写出切线 l 的方程；（II）若方程 ()fxm有三个互不相同的实根 0、 1x、 2，其中 12x，且对任意的 12,x， ()1)g恒成立，求实数 m 的取值范围。【解析】20本题主要考查函数、导数、不等式等基础知识，同时考查综合运用数学知识进行推理论证的能力，以及函数与方程和特殊与一般的思想， （满分 13 分）解：（） 2()34,()23.fxaxbx 由于曲线 在点

11、（2，0）处有相同的切线，()yg与故有 (2)0,(2)1.fgfg由此得 82,1,5.abab解 得所以 ，切线 的方程为2,5l0xy（）由（）得 ，所以32()4fx32().fxgx依题意，方程 有三个互不相同的实数 ，2)m12,故 是方程 的两相异的实根。12,x30x所以 194(),.4即又对任意的 成立，12,()()xfxgmx特别地，取 时， 成立，得11 0.m由韦达定理，可得 221230,0,xxx故对任意的 11,有 -则 1211()()()0fxgmxxfxgmx又所以函数 的最大值为 0。),在于是当 时，对任意的 恒成立，012()()xfxx综上， 的取值范围是m(,0).4