湖北省八校高三上第一次联考数学试卷理科.doc

1、2015-2016 学年湖北省武汉市八校高三（上）第一次联考数学试卷（理科）答案与解析一、选择题1、已知集合 A=x|x22x30，B=x|log 2（x1）2，则（ RA）B= （ ）A （1，3） B （ 1，3） C （3，5） D （1，5）解： 集合 A=x|x22x30，RA=x|x22x30= （1，3） ，又 B=x|log2（x 1）2=x|0 x14=（1，5） ，（ RA）B= （1，3） ，选 A2、命题“x 2+y2=0，则 x=y=0”的否定命题为（ ）A若 x2+y2=0，则 x0 且 y0B若 x2+y2=0，则 x0 或 y0C若 x2+y20，则 x0 且

2、y0D若 x2+y20，则 x0 或 y0解：命题“x 2+y2=0，则 x=y=0”的否定命题为：若 x2+y20，则 x0 或 y0选 D3、欧拉公式 eix=cosx+isinx（ i 为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占用非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，根据欧拉公式可知，e 2i 表示的复数在复平面中位于（ ）A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限解：e 2i=cos2+isin2，2 ， cos2（1，0） ，sin2（0，1） ，e 2i 表示的复数在复平面中位于第二象限 4、函

3、数 f（x）= ，则 ff（ ）=（ ）A B 1 C 5 D解： 函数 f（x）= ，f（ ）= = ，ff（ ）=f （ ）= 2= 5、等差数列a n前 n 项和为 Sn，且 = +1，则数列a n的公差为（ ）A1 B2 C2015 D2016解：设等差数列a n的公差为 d ， = = = d又 = +1，等差数列a n的公差为 2选 B6、若 a=ln2，b=5 ，c= sinxdx，则 a，b，c 的大小关系（ ）Aabc Bba c Cc ba Dbca解： =ln ln2lne=1， a1，b=5 = ，c= sinxdx= cosx| = （1+1 ）= ，b ca，选 D

4、7、已知 sin（ ） cos= ，则 cos（2+ ）=（ ）A B C D解： sin（ ）cos= cos sincos=sin（+ ）= ， sin（+ ）= ，则 cos（2+ ）=1 2sin2（+ ）= ，选 C8、已知某几何体的三视图的侧视图是一个正三角形，如图所示，则该几何体的体积等于（ ） A12 B16 C20 D32解：由三视图可知该几何体为直三棱柱与四棱锥的组合体，V 棱柱 = 4 3=12 ，V 棱锥 = 4（6 3） =8 ，组合体的体积为 V 棱柱 +V 棱锥 =20 选 C9、已知函数 f（x）=sin 2（x） （0）的周期为 ，若将其图象沿 x 轴向右平移

5、 a 个单位（a0） ，所得图象关于原点对称，则实数 a 的最小值为（ ）A B C D解：由函数 f（x）=sin 2（x） = cos2x （0）的周期为 =，可得 =1，故 f（x）= cos2x若将其图象沿 x 轴向右平移 a 个单位（a0） ，可得 y= cos2（xa）= cos（2x 2a）的图象；再根据所得图象关于原点对称，可得 2a=k+ ，a= + ，kZ则实数 a 的最小值为 选 D10、如图，在正六边形 ABCDEF 中，点 P 是 CDE 内（包括边界）的一个动点，设（，R）则 + 的取值范围（ ）A1，2 B2，3 C2，4 D3，4解：建立如图坐标系，设 AB=2

6、，则 A（0，0） ，B （2，0） ，C（3， ） ， D（2，2 ） ，E （0，2 ） ，F（1， ）则 EC 的方程：x+ y6=0； CD 的方程： x+y4 =0；因 P 是CDE 内（包括边界）的动点，则可行域为 又 ，则 =（x，y） ， =（2，0） ， =（1， ） ，所以（x，y）=（2，0）+（1， ）得 3+4则 + 的取值范围为3，4选 D11、若一个四棱锥底面为正方形，顶点在底面的射影为正方形的中心，且该四棱锥的体积为 9，当其外接球表面积最小时，它的高为（ ）A3 B2 C2 D3解：设底面边长 AB=a，棱锥的高 SM=h，V 棱锥 SABCD= a2h=9，

7、 a2= ，正四棱锥内接于球 O， O 在直线 SM 上，设球 O 半径为 R，（1）若 O 在线段 SM 上，如图一，则 OM=SMSO=hR，（2）若 O 在在线段 SM 的延长线上，如图二，则 OM=SOSM=Rh，SM平面 ABCD，OMB 是直角三角形，OM2+MB2=OB2，OB=R，MB= BD= a，（hR） 2+ =R2，或（R h） 2+ =R22hR=h2+ ，即 R= + = + = 3 = 当且仅当 = 取等号，即 h=3 时 R 取得最小值 选 A12、关于函数 f（x）= +lnx，下列说法错误的是（ ）Ax=2 是 f（x）的极小值点B函数 y=f（ x） x

8、有且只有 1 个零点C存在正实数 k，使得 f（x）kx 恒成立D对任意两个正实数 x1，x 2，且 x2x 1，若 f（x 1）=f（x 2） ，则 x1+x24解：f（x）= ，（0，2）上，函数单调递减， （2，+）上函数单调递增，x=2 是 f（x）的极小值点，即 A 正确；y=f（x）x= +lnxx，y= 0，函数在（0， +）上单调递减，x0，y+， 函数y=f（x）x 有且只有 1 个零点，即 B 正确；f（x）kx，可得 k ，令 g（x）= ，则 g（x）= ，令 h（x）= 4+xxlnx，则 h（x）= lnx，（0，1）上，函数单调递增， （1，+）上函数单调递减，h

9、（ x） h（1）0， g（x ）0，g（ x） = 在（0，+）上函数单调递减，函数无最小值，不存在正实数 k，使得 f（x ）kx 恒成立，即 C 不正确；对任意两个正实数 x1，x 2，且 x2x 1， （0，2）上，函数单调递减， （2，+）上函数单调递增，若f（x 1）=f（x 2） ，则 x1+x24，正确选 C二、填空题13、已知平面直角坐标系中， =（3，4） ， =3，则向量 在向量 的方向上的投影是 解：向量 在向量 方向上的投影为 ：= 14、若函数 f（x）= ，g（x）=f（x） +ax，x 2，2 为偶函数，则实数 a= 解： f（x）= ，g（ x） =f（x）+

10、ax= ，g（ x） = 为偶函数，g（ 1） =g（1） ，即a 1=1+a1=a，2a=1，a= 15、设实数 x，y 满足约束条件 ，则 z=2x+y 的最大值为 解：由约束条件 作出可行域如图，联立 ，解得 A（4，2） ，化目标函数 z=2x+y 为 y=2x+z，由图可知，当直线 y=2x+z 过 A 时，直线在 y 轴上的截距最大，z 有最大值为 24+2=1016、如图所示，已知ABC 中，C=90 ，AC=6，BC=8，D 为边 AC 上的一点，K 为 BD 上的一点，且ABC=KAD=AKD，则 DC= 解：由题意，tan ABC= ，ABC=KAD=AKD，BDC=2AB

11、C，tanBDC=tan2ABC= = =DC= 三、解答题17、在等比数列a n中，a 3= ，S 3= （）求a n的通项公式；（）记 bn=log2 ，且b n为递增数列，若 Cn= ，求证：C 1+C2+C3+Cn 解：（）a 3= ，S 3= ，当 q=1 时，S 3=3a1= ，满足条件，q=1当 q1 时，a1q2= ， = ，解得 a1=6，q= 综上可得：a n= 或 an=6（ ） n1；（）证明：由题意可得 bn=log2 =log2 =log222n=2n，则 Cn= = = （ ） ，即有 C1+C2+C3+Cn= （1 + + + ）= （1 ）= 故原不等式成立1

12、8、如图，ABC 中，三个内角 B、A 、C 成等差数列，且 AC=10，BC=15（1）求ABC 的面积；（2）已知平面直角坐标系 xOy，点 D（10，0） ，若函数 f（x）=Msin （x+ ）（M0， 0，| ）的图象绕过 A、C 、D 三点，且 A、D 为 f（x）的图象与 x 轴相邻的两个交点，求 f（x）的解析式解：（1）在ABC 中，角 B、A、C 成等差数列，2A=B+C，即 3A=180，则 A=60 （1 分）由余弦定理可知：a 2=b2+c22bccos60，（2 分）c210c125=0，则 c=|AB|=5+5 （4 分）又 |AO|=10cos60=5，|BO|

13、=5 ，则ABC 的面积 S= （5+5 ） = （3 ） （6 分）（2）T=2（10+5）=30，= （8 分）f（ 5）=Msin （5）+=0，sin（ +）=0 ，则 +=k，即 = +k，k Z| ，= ，（10 分）f（ 0）=Msin =5 ，M=10，则 f（x）=10sin（ x+ ） （12 分）19、如图，已知长方形 ABCD 中，AB=2 ，AD= ，M 为 DC 的中点，将ADM 沿 AM 折起，使得平面 ADM平面 ABCM（）求证：ADBM（）若点 E 是线段 DB 上的一动点，问点 E 在何位置时，二面角 EAMD 的余弦值为 解答 （1）证明：长方形 ABC

14、D 中，AB=2 ，AD= ，M 为 DC 的中点，AM=BM=2，BM AM平面 ADM平面 ABCM，平面 ADM平面 ABCM=AM，BM平面 ABCMBM平面 ADMAD平面 ADMADBM； （2）建立如图所示的直角坐标系，设 ，则平面 AMD 的一个法向量 =（0，1，0） ， = + =（1，2，1） ， =（ 2，0，0） ，设平面 AME 的一个法向量为 =（x，y，z） ，则 ，取 y=1，得 x=0，z= ，则 =（0，1， ） ，cos ， = = ，求得 ，故 E 为 BD 的中点20、小明同学制作了一个简易的网球发射器，可用于帮忙练习定点接发球，如图 1 所示，网球

15、场前半区、后半区总长为 23.77 米，球网的中间部分高度为 0.914 米，发射器固定安装在后半区离球网底部 8 米处中轴线上，发射方向与球网底部所在直线垂直为计算方便，球场长度和球网中间高度分别按 24 米和 1 米计算，发射器和网球大小均忽略不计如图2 所示，以发射器所在位置为坐标原点建立平面直角坐标系 xOy，x 轴在地平面上的球场中轴线上，y 轴垂直于地平面，单位长度为 1 米已知若不考虑球网的影响，网球发射后的轨迹在方程表示的曲线上，其中 k 与发射方向有关发射器的射程是指网球落地点的横坐标（）求发射器的最大射程；（）请计算 k 在什么范围内，发射器能将球发过网（即网球飞行到球网正

16、上空时，网球离地距离大于1 米）？若发射器将网球发过球网后，在网球着地前，小明要想在前半区中轴线的正上空选择一个离地面 2.55 米处的击球点正好击中网球，试问击球点的横坐标 a 最大为多少？并请说明理由解：（）由 kx （1+k 2）x 2=0（k0） ，可得：x= 或 x=0，由 x= =20，当且仅当 k=1 时取等号因此，最大射程为 20 米； （）网球发过球网，满足 x=8 时 y1所以 4k （1+k 2）1，即 4k220k+90，因此 k ，依题意：关于 k 的方程 ka （1+k 2）a 2=2.55 在（ ， ）上有实数解，即 a2k240ak+a2+204=0（a0 ） ，=1600a24a2（a 2+204）0得 a14，此时 k= ，球过网了，所以击球点的横坐标 a 最大为 14