初中数学最值问题典型例题含答案分析.doc

1、中考数学最值问题总结考查知识点：1、 “两点之间线段最短” ， “垂线段最短” ， “点关于线对称” ， “线段的平移” 。（2、代数计算最值问题 3、二次函数中最值问题）问题原型：饮马问题 造桥选址问题 （完全平方公式 配方求多项式取值 二次函数顶点）出题背景变式：角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圆、坐标轴、抛物线等。解题总思路：找点关于线的对称点实现“折”转“直”几何基本模型：条件：如下左图， 、 是直线 同旁的两个定点ABl问题：在直线 上确定一点 ，使 的值最小lPAB方法：作点 关于直线 的对称点 ，连结 交 于ll点 ，则 的值最小P例 1、如图，四边形 ABCD 是正方形，

2、ABE 是等边三角形，M 为对角线 BD（不含 B 点）上任意一点，将 BM 绕点 B 逆时针旋转 60得到BN，连接 EN、AM 、CM（1）求证： AMBENB；（2）当 M 点在何处时，AM+CM 的值最小；当 M 点在何处时，AM+BM+CM 的值最小，并说明理由；（3）当 AM+BM+CM 的最小值为 时，求正方形的边长。ABPl例 2、如图 13，抛物线 y=ax2bxc(a0)的顶点为（1,4） ，交 x 轴于 A、B，交 y 轴于 D，其中 B 点的坐标为（3,0）（1）求抛物线的解析式（2）如图 14，过点 A 的直线与抛物线交于点 E，交 y 轴于点 F，其中 E 点的横坐

3、标为 2，若直线 PQ 为抛物线的对称轴，点 G 为 PQ 上一动点，则 x 轴上是否存在一点 H，使D、G、F、H 四点围成的四边形周长最小.若存在，求出这个最小值及 G、H 的坐标；若不存在，请说明理由.（3）如图 15，抛物线上是否存在一点 T，过点 T 作 x 的垂线，垂足为 M，过点 M 作直线MNBD，交线段 AD 于点 N，连接 MD，使DNMBMD，若存在，求出点 T 的坐标；若不存在，说明理由.例 3、如图 1，四边形 AEFG 与 ABCD 都是正方形，它们的边长分别为 a,b(b2a),且点 F在 AD 上（以下问题的结果可用 a,b 表示）（1）求 SDBF;(2) 把

4、正方形 AEFG 绕点 A 逆时针方向旋转 450 得图 2,求图 2 中的 SDBF;(3) 把正方形 AEFG 绕点 A 旋转任意角度,在旋转过程中,S DBF 是否存在最大值,最小值?如果存在 ,试求出最大值、最小值；如果不存在，请说明理由。例 4、如图，在平面直角坐标系中，直线 与抛物线 交于 A，B 两点，1y=x+22y=ax+b3点 A 在 x 轴上，点 B 的纵坐标为 3。点 P 是直线 AB 下方的抛物线上一动点（不与 A，B重合） ，过点 P 作 x 轴的垂线交直线 AB 与点 C，作 PDAB 于点 D（1）求 a，b 及 的值sinAC（2）设点 P 的横坐标为 m用含

5、 的代数式表示线段 PD 的长，并求出线段 PD 长的最大值；连接 PB，线段 PC 把PDB 分成两个三角形，是否存在适合的 值，使这两m个三角形的面积之比为 9：10？若存在，直接写出 值；若不存在，说明理由.m例 5、如图，C 的内接AOB 中，AB=AO=4，tanAOB= 34,抛物线 2yaxb经过点A(4,0)与点（-2,6）.（1）求抛物线的函数解析式；（2）直线 m 与C 相切于点 A，交 y 于点 D.动点 P 在线段 OB 上，从点 O 出发向点 B运动；同时动点 Q 在线段 DA 上，从点 D 出发向点 A 运动；点 P 的速度为每秒 1个单位长，点 Q 的速度为每秒

6、2 个单位长，当 PQAD 时，求运动时间 t 的值；（3）点 R 在抛物线位于 x 轴下方部分的图象上，当ROB 面积最大时，求点 R 的坐标.例 1、证明：（1 ）ABE 是等边三角形，BA=BE，ABE=60 MBN=60， MBN-ABN=ABE-ABN即MBA= NBE又MB=NB， AMB ENB （SAS）（5 分）解：（2）当 M 点落在 BD 的中点时，A、M、C 三点共线，AM+CM 的值最小（7 分）如图，连接 CE，当 M 点位于 BD 与 CE 的交点处时，AM+BM+CM 的值最小（ 9 分）理由如下：连接 MN，由（1）知，AMBENB， AM=EN，MBN=60

7、，MB=NB ， BMN 是等边三角形 BM=MNAM+BM+CM=EN+MN+CM（10 分）根据“ 两点之间线段最短”，得 EN+MN+CM=EC 最短当 M 点位于 BD 与 CE 的交点处时，AM+BM+CM 的值最小，即等于 EC 的长（11分）例 2、 解：（ 1）设所求抛物线的解析式为： ，依题意，将点 B（3，0）2(1)4yax代入，得： 解得：a1所求抛物线的解析式为：2(3)40a2yx（2）如图 6，在 y 轴的负半轴上取一点 I，使得点 F 与点 I 关于 x 轴对称，在 x 轴上取一点 H，连接 HF、HI、HG、GD、GE，则 HFHI设过 A、E 两点的一次函数

8、解析式为： ykxb（k0） ，点 E 在抛物线上且点 E 的横坐标为 2，将 x2 代入抛物线 ，得2(1)4y2(1)43y点 E 坐标为（2，3）又抛物线 图像分别与 x 轴、y 轴交于点 A、B、D2()x当 y0 时， ，x1 或 x340当 x0 时，y143,点 A（1，0） ，点 B（3，0） ，点 D（0，3） 又抛物线的对称轴为：直线 x1， 点 D 与点 E 关于 PQ 对称，GDGE 分别将点 A（1，0） 、点 E（2，3）代入 ykxb，得：解得： 23kb1k过 A、E 两点的一次函数解析式为： yx1当 x0 时，y1 点 F 坐标为（0，1） =2 DF又点

9、F 与点 I 关于 x 轴对称， 点 I 坐标为（0，1） 2245E又要使四边形 DFHG 的周长最小，由于 DF 是一个定值，只要使 DGGHHI 最小即可由图形的对称性和、，可知，DGGHHFEGGH HI只有当 EI 为一条直线时，EGGHHI 最小设过 E（2，3） 、I（0， 1）两点的函数解析式为： ，11(0)ykxb分别将点 E（2，3） 、点 I（0 ，1）代入 ，得：1123kb解得： 1b过 A、E 两点的一次函数解析式为： y2x1当 x1 时，y1；当 y0 时，x ； 2点 G 坐标为（1，1） ，点 H 坐标为（ ，0）四边形 DFHG 的周长最小为：DFDGG

10、HHFDFEI由和，可知：DFEI 25四边形 DFHG 的周长最小为 。 25（3）如图 7，由题意可知，NMDMDB， 要使，DNMBMD，只要使 即可，NMDB即： 2MDNB设点 M 的坐标为（a，0） ，由 MNBD ，可得 AMNABD， A再由（1） 、 （2）可知，AM1a ，BD ，AB 432 ()(1)4AMBDNa ， 229Oa式可写成： 23(1)24解得： 或 （不合题意，舍去）3a点 M 的坐标为（ ，0）2又点 T 在抛物线 图像上， 2(1)4yx当 x 时，y3215点 T 的坐标为（ ， ）.2例 3、解：（1）点 F 在 AD 上，AF 2=a2a 2

11、，即 AF= 。a 。Db2a 。2BF113SAbaba或（2）连接 DF，AF ，由题意易知 AFBD，四边形 AFDB 是梯形。DBF 与ABD 等高同底，即 BD 为两三角形的底。由 AFBD，得到平行线间的距离相等，即高相等， 。2DBFA1Sb（3）正方形 AEFG 在绕 A 点旋转的过程中，F 点的轨迹是以点 A 为圆心，AF 为半径的圆。第一种情况：当 b2a 时，存在最大值及最小值，BFD 的边 BD= ，2当 F 点到 BD 的距离取得最大、最小值时，S BFD 取得最大、最小值。如图，当 DFBD 时，S BFD 的最大值= ，212bab()SBFD 的最小值= 。21

12、2ab()第二种情况：当 b=2a 时，存在最大值，不存在最小值，SBFD 的最大值= 。2ba例 4、解：（1 ）由 ，得到 x=2，A （2，0） 。1x+=02由 ，得到 x=4，B（4，3） 。3 经过 A、B 两点，2y=axb ，解得 。43016a+1a=2b设直线 AB 与 y 轴交于点 E，则 E（0，1） 。根据勾股定理，得 AE= 。5PC y 轴，ACP=AEO。 。OA2sinACP=siE5（2）由（1）可知抛物线的解析式为 。21y=x3由点 P 的横坐标为 ，得 P ，C 。mm 或 1+2 或PC= 。2211+3+42在 Rt PCD 中， ，221595PDCsinAP=m=m1+ ，当 m=1 时，PD 有最大值 。509存在满足条件的 值， 。m532=或