1、1.3.2 函数的最大（小）值与导数函数的最大（小）值与导数一、复习与引入1.当函数 f(x)在 x0处连续时 ,判别 f(x0)是极大 (小 )值的方法是 : 如果在 x0附近的左侧 右侧 ,那么 ,f(x0)是极大值 如果在 x0附近的左侧 右侧 ,那么 ,f(x0) 是极小值 .2.导数为零的点是该点为极值点的必要条件 ,而不是充分条件 .极值只能在函数不可导的点或导数为零的点取到 .3.在某些问题中 ,往往关心的是函数在一个定义区间上 ,哪个值最大 ,哪个值最小 ,而不是极值 .二、新课 函数的最值xX2oa X3 bx1y观察右边一个定义在区间a,b上的函数y=f(x)的图象 .发现
2、图中 _是极小值， _是极大值，在区间上的函数的最大值是 _，最小值是 _。f(x1)、 f(x3) f(x2)f(b)f(x3)问题在于如果在没有给出函数图象的情况下，怎样才能判断出 f(x3)是最小值，而 f(b)是最大值呢？ 导数的应用 -求函数最值 . (2)将 y=f(x)的各极值与 f(a)、 f(b)(端点处 )比较 ,其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值 .求 f(x)在 闭区间 a,b上的最值的步骤(1)求 f(x)在区间 (a,b)内极值 (极大值或极小值 )求函数的最值时 ,应注意以下几点 :(1)函数的极值是在局部范围内讨论问题 ,是一个局部概念 ,而函数的最值是
3、对整个定义域而言 ,是在整体范围内讨论问题 ,是一个整体性的概念 .(2)闭区间 a,b上的连续函数一定有最值 .开区间 (a,b)内的可导函数不一定有最值 ,但若有唯一的极值 ,则此极值必是函数的最值 .(3)函数在其定义域上的最大值与最小值至多各有一个 , 而函数的极值则可能不止一个 ,也可能没有极值 ,并且极大值 (极小值 )不一定就是最大值 (最小值 ).三、例题选讲例 1:求函数 y=x4-2x2+5在区间 -2,2上的最大值与最小值 .解 :令 ,解得 x=-1,0,1.当 x变化时 , 的变化情况如下表 :x -2 (-2,-1) -1 (-1,0)0 (0,1) 1 (1,2)
4、2y - 0 + 0 - 0 +y 13 4 5 4 13从上表可知 ,最大值是 13,最小值是 4.例 2、 函数 y = x + 3 x 9x在 4 , 4 上的最大值为 ,最小值为 .分析 : (1) 由 f (x)=3x +6x 9=0,(2) 区间 4 , 4 端点处的函数值为f ( 4) =20 , f (4) =76得 x1= 3， x2=1函数值为 f ( 3)=27, f (1)= 5当 x变化时， y 、 y的变化情况如下表：x -4 (-4,-3) -3 (-3,1)1 (1,4) 4y + 0 - 0 + 0y 20 27 -5 76比较以上各函数值，可知函数在 4 , 4 上的最大值为 f (4) =76，最小值为 f (1)= 5例 3.求函数 f(x)=x3-4x+6在区间 1， 5内的最大值和最小值 .变式 1:若闭区间 1,5改为开区间 (1,5)变式 3:求函数的值域 .变式 2:若闭区间 1,5改为区间 2,5反 思1.最值不一定存在 ,如果最值存在 ,那么最值惟一 ;2.区间 a,b上 单调增 (或减 )函数 的最值在两端点 处取到 ;3.求函数的值域问题就是求最值（或极值）问题 .
