1、二次函数的最值问题举例（附练习、答案）二次函数 是初中函数的主要内容，也是高中学 习的重要基础在初2 (0)yaxbca中阶段大家已经知道：二次函数在自变量 取任意实数时的最值情况(当 时，函数在x0a处取得最小 值 ，无最大 值；当 时，函数在 处取得最大值2bxa24a0a2bx，无最小 值4c本节我们将在这个基础上继续学习当自变量 在某个范围内取值时，函数的最值问题同 时x还将学习二次函数的最值问题在实际生活中的简单应用【例 1】当 时，求函数 的最大值和最小值2x23y分析：作出函数在所给范围的及其对称轴的草图，观察图象的最高点和最低点，由此得到函数的最大值、最小值及函数取到最值时相应
2、自变量 的值 x解：作出函数的图象当 时， ，当 时， 1xmin4y2max5y【例 2】当 时，求函数 的最大值和最小值1x21yx解：作出函数的图象当 时， ，当 时， 1min2max5y由上述两例可以看到，二次函数在自变量 的给定范围内，对应的图象是抛物线上的一段那么最高点的纵坐标即为函数的最大值，最低点的纵坐标即为函数的最小值根据二次函数对称轴的位置，函数在所给自变量 的范围的图象形状各异下面给出一些常x见情况：【例 3】当 时，求函数 的取值范围0x(2)yx解：作出函数 在 内的图象(2)y0可以看出：当 时， ，无最大值所以，当 时，函数的取值范围是1xmin1y0x1y【例
3、 4】当 时，求函数 的最小值(其中 为常数)tx25yxt分析：由于 所给的范围随着 的变化而变化，所以需要比较对称轴与其范围的相对位置t解：函数 的对称轴为 画出其草图215y1(1) 当对称轴在所给范围左侧即 时： 当 时， ；txt2min15yt(2) 当对称轴在所给范围之间即 时：0当 时， ；1x2min513y(3) 当对称轴在所给范围右侧即 时：tt当 时， t22in 1()()3t综上所述：2213,05,1tytt在实际生活中，我们也会遇到一些与二次函数有关的问题：【例 5】某商场以每件 30 元的价格购进一种商品，试销中发现这种商品每天的销售量 (件)与m每件的销售价
4、 (元)满足一次函数 x1623,054mx(1) 写出商场卖这种商品每天的销售利润 与每件销售价 之间的函数关系式；yx(2) 若商场要想每天获得最大销售利润，每件商品的售价定为多少最合适？最大销售利润为多少？解：(1) 由已知得每件商品的销售利润为 元，()x那么 件的销售利润为 ，又 m30ym1623x2 (30)162)548,054yxxx(2) 由(1)知对称轴为 ，位于 的范围内，另抛物线开口向下4当 时，42max3632y当每件商品的售价定为 42 元时每天有最大销售利润，最大销售利润为 432 元A 组1抛物线 ，当 = _ 时，图象的顶点在 轴上；当 = _ 2(4)2
5、3yxmxmym时，图象的顶点在 轴上；当 = _ 时，图象过原点2用一长度为 米的铁丝围成一个长方形或正方形，则其所围成的最大面积为 _ l3求下列二次函数的最值：(1) ； (2) 245yx(1)2yx4求二次函数 在 上的最大值和最小值，并求对应的 的值3x2xx5对于函数 ，当 时，求 的取值范围2y0y6求函数 的最大值和最小值5x7已知关于 的函数 ，当 取何值时， 的最小值为 0？22(1)ytxttyB 组1已知关于 的函数 在 上x2yxa5x(1) 当 时，求函数的最大值和最小值；1a(2) 当 为实数时，求函数的最大值2函数 在 上的最大值为 3，最小值为 2，求 的取
6、值范围23yx0mxm3设 ，当 时，函数 的最小值是 ，最大值是 0，求0a121yaxb4的值,b4已知函数 在 上的最大值为 4，求 的值2yxa12xa5求关于 的二次函数 在 上的最大值( 为常数)2t1t第五讲 二次函数的最值问题答案A 组14 14 或 2， 32 6lm3(1) 有最小值 3，无最大值；(2) 有最大值 ，无最小值944当 时， ；当 时， xmin18y2xmax1y5 y6当 时， ；当 或 1 时， xmin36y2xmax3y7当 时， 54tin0B 组1(1) 当 时， ；当 时， xmin1y5xmax37y(2) 当 时， ；当 时， 0aax270a2102 3 ,b4 或 1a5当 时， ，此时 ；当 时， ，此时 0tmax2yt1x0tmax2yt1x
