1、椭圆知识点总结复习1. 椭圆的定义：（1）椭圆：焦点在 轴上时 （ ）x12bya22abc（参数方程，其中 为参数） ，焦点在 轴上时 1（cosinxayby2bxa） 。方程 表示椭圆的充要条件是什么？（ABC0，且02AxByCA，B， C 同号， AB ） 。例一：已知线段 AB 的两个端点 A，B 分别在 轴， 轴上，AB=5，M 是 ABxy上的一个点，且 AM=2，点 M 随 AB 的运动而运动，求点 M 的运动轨迹方程2. 椭圆的几何性质：（1）椭圆（以 （ ）为例）： 范围：12byax0a； 焦点：两个焦点 ； 对称性：两条对称轴,axb(,)c，一个对称中心（0,0）
2、，四个顶点 ，其中长轴长为0y ,(0)ab2 ，短轴长为 2 ；准线：两条准线 ； 离心率： ，椭圆2xcea， 越小，椭圆越圆； 越大，椭圆越扁。通径1ee2例二：设椭圆 上一点 P 作 x 轴的垂线，恰好过椭圆的一个21(0)xyab焦点 ，此时椭圆与 x 轴交于点 A，与 y 轴交于点 B，且 A,B 两点所确定的直线 AB 与1FOP 平行，求离心率 e2.点与椭圆的位置关系：（1）点 在椭圆外 ；0(,)Pxy201xyab（2）点 在椭圆上 1；0(,)Pxy2ba（3）点 在椭圆内,0xy3直线与圆锥曲线的位置关系：（往往设而不求）（1）相交： 直线与椭圆相交；（ 2）相切：
3、直线与椭圆00相切； （3）相离： 直线与椭圆相离； 例三：:直线 ykx1=0 与椭圆 恒有公共点，则 m 的取值范围215xym是_（答：1，5）（5，+） ） ；例四：椭圆 与过点 的直线有且只有一个公共21(0)xab(,0),AB点 T，且椭圆的离心率 3e（1）求椭圆的方程（2）设 分别为椭圆的左，右焦点，M 为线段 的中点，求证：12,F2FA（3）求证： .12TAF4、焦半径（圆锥曲线上的点 P 到焦点 F 的距离） 的计算方法：利用圆锥曲线的第二定义，转化到相应准线的距离，即焦半径 ，其中0redax表示 P 到与 F 所对应的准线的距离。d例五：已知椭圆 上一点 P 到椭
4、圆左焦点的距离为 3，则点 P 到21xyab右准线的距离为_（答：10/3） ；例六：椭圆 内有一点 ，F 为右焦点，在椭圆上有一点342),(M，使 之值最小，则点 M 的坐标为_（答： ） ；FP )1,362(5、焦点三角形（椭圆或双曲线上的一点与两焦点所构成的三角形）问题： ，当 即 为短轴端点时， 的最大值为 bc；0|Scy0|bPmaxS6、弦长公式：（直线与椭圆的交点坐标设而不求）若直线 与圆锥曲线相交于两点 A、B，且 分别为 A、B 的横kx12,坐标，则 ，若 分别为 A、B 的纵坐标，则 AB21x12,y，212yk（若弦 AB 所在直线方程设为 ，则 。特别地，x
5、kyb21ky焦点弦（过焦点的弦）：焦点弦的弦长的计算，一般不用弦长公式计算，而是将焦点弦转化为两条焦半径之和后，利用第二定义求解。 ）例七：已知椭圆 ： 和直线 交于 两点，且 ，求直C214xy:lyxm,AB2线的方程。7、圆锥曲线的中点弦问题：（直线和椭圆的交点设而不求）遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解。在椭圆中，以 为中点的弦所在直线的斜率 k= ；12byax0(,)Pxy 02yaxb例八：如果椭圆 弦被点 A（4，2）平分，求这条弦所在的直线21369方程是（答： ） ；8xy例九：（2）已知直线 y=x+1 与椭圆 相交于 A、B21(0)xyab两点，且线段 AB 的中点在直线 L：x2y=0 上，求此椭圆的离心率（答：） ；例 10：试确定 m 的取值范围，使得椭圆 上有不同的两点关于直1342yx线 对称（答： ） ； xy4213,特别提醒：因为 是直线与圆锥曲线相交于两点的必要条件，故在求解0有关弦长、对称问题时，务必别忘了检验 ！0
