1、 数列求和汇总答案一、利用常用求和公式求和利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法.1、 等差数列求和公式： dnanS2)1(2)(112、等比数列求和公式： )()(11 qqnnn例 1、已知 ，求 的前 n 项和.3logl23x xx32解：由 21log13由等比数列求和公式得 （利用常用公式）nnxxS2 1xn1)(2)(n练习：求 的和。2223456.910解： 2 15910379 由等差数列的求和公式得 50S502 二、错位相减法求和这种方法是在推导等比数列的前 n 项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列a n b n的前 n 项和，其中a n、b
2、 n分别是等差数列和等比数列.例 2 求和： 132)2(7531nxxS解：由题可知， 的通项是等差数列2n1的通项与等比数列 的通项之积1)( 1nx设 . （设制错位）nxx42得 （错位相减 ）nn )2() 1432再利用等比数列的求和公式得： nn xxSx21)( 21)()2(xSnnn练习：求数列 前 n 项的和.,64,32解：由题可知， 的通项是等差数列2n的通项与等比数列 的通项之积n n21设 nnS26243 （设制错位）141得 （错位相减 ）1432 2)( nn12n 4S三、反序相加法求和这是推导等差数列的前 n 项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排
3、列（反序） ，再把它与原数列相加，就可以得到 n 个 .)(1na例 3 求 的值 89sini3si2i1sin 222 解：设 .S将式右边反序得. （反序） 1iii8i9i 22222又因为 cosn),0cos(xxx+得 （反序相加）89)89cos(sin)i1(in 222222 SS44.52、求和： 22222 1093890四、分组法求和有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.例 4、求和: nyxyx112 1,0yx解:原式= nx32 n2= yxnn11= nn1练习：求数列
4、的前 n 项和： ，231,7,412naa解：设 )()()() 1S nn将其每一项拆开再重新组合得（分组）)23741()1(2 naaSnn当 a1 时， （分组求和）3(n2)当 时， )1(1naSnn2)13(1nan练习：求数列 的前 n 项和。,2,834n解： nnn21)()(32五、裂项法求和这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用.裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的.通项分解 （裂项） 如：例 5 求数列 的前 n 项和.,1,321,n解：设 （裂项）nan 则 （裂项求和）1321nS )()()2( n练
5、习：求 13，115，135，163 之和。解： 94)1(2)917(532)(61六、合并法求和针对一些特殊的数列，将某些项合并在一起就具有某种特殊的性质，因此，在求数列的和时，可将这些项放在一起先求和，然后再求 Sn.例 6、数列a n： ，求 S2002.naa12321,解：设 S2002 0a由 可得nn1321,654 ,2,3, 110987 a2,3,1,2,3,1 656466266 kkkkkk aaa （找特殊性质项）054S 2002 （合并求和）2031 )()()( 6261128762 kkk02091943 aaaa 20019 46326kkkk5练习：在各
6、项均为正数的等比数列中，若 的值.103231365 loglogl,9aaa求解：设 1032313logloglaSn 由等比数列的性质 （找特殊性质项）qpnmqpn和对数的运算性质 得NMaaalll（合并求和）)log(l)()(log 6353932310313 an (logl 65920 ogl9l10七、利用数列的通项求和先根据数列的结构及特征进行分析，找出数列的通项及其特征，然后再利用数列的通项揭示的规律来求数列的前 n 项和，是一个重要的方法.例 7、求 5，55，555，的前 n 项和。解： a n=59(10n-1)S n=59(10-1)+59(102-1)+59(103-1)+59(10n-1)=59（ 10+102+103+10n） -n=（ 10n 1-9n-10）练习：求数列：1， ， ， 的前 n 项和。解：=
