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1、1第一章 质点运动学1 -1 质点作曲线运动,在时刻 t 质点的位矢为 r,速度为 v ,速率为 v,t 至(t t)时间内的位移为 r, 路程为 s, 位矢大小的变化量为 r ( 或称 r),平均速度为 ,平均速率为 vv(1) 根据上述情况,则必有( )(A) r= s = r(B) r s r,当 t0 时有d r= d s d r(C) r r s,当 t0 时有d r= d r d s(D) r s r,当 t0 时有d r= d r = ds(2) 根据上述情况,则必有( )(A) = , = (B) , vvvv(C) = , (D) , = 分析与解 (1) 质点在 t 至(

2、t t)时间内沿曲线从 P 点运动到 P 点,各量关系如图所示, 其中路程 s PP, 位移大小 r PP,而 r r- r表示质点位矢大小的变化量,三个量的物理含义不同,在曲线运动中大小也不相等(注：在直线运动中有相等的可能)但当 t0 时,点 P无限趋近 P点,则有d rd s,但却不等于d r故选(B)(2) 由于 r s,故 ,即 tsv但由于d rd s,故 ,即 由此可见,应选(C)tdr1 -2 一运动质点在某瞬时位于位矢 r(x,y)的端点处,对其速度的大小有四种意见,即(1) ； (2) ； (3) ； (4) trdtrtsd22dtytx下述判断正确的是( )2(A) 只

3、有(1)(2)正确 (B) 只有(2)正确(C) 只有(2)(3)正确 (D) 只有(3)(4)正确分析与解 表示质点到坐标原点的距离随时间的变化率,在极坐标系中trd叫径向速率通常用符号 vr表示,这是速度矢量在位矢方向上的一个分量；表示速度矢量；在自然坐标系中速度大小可用公式 计算,在直角坐标tdr tsdv系中则可由公式 求解故选(D) 22dtytx1 -3 质点作曲线运动, r 表示位置矢量, v表示速度, a表示加速度, s 表示路程, a 表示切向加速度对下列表达式,即(1)d v /dt a；(2)d r/dt v；(3)d s/dt v；(4)d v /dt a 下述判断正确

4、的是( )(A) 只有(1)、(4)是对的 (B) 只有(2)、(4)是对的(C) 只有(2)是对的 (D) 只有(3)是对的分析与解 表示切向加速度 a ,它表示速度大小随时间的变化率,是加tdv速度矢量沿速度方向的一个分量,起改变速度大小的作用； 在极坐标系中表trd示径向速率 vr(如题1 -2 所述)； 在自然坐标系中表示质点的速率 v；而tsd表示加速度的大小而不是切向加速度 a 因此只有(3) 式表达是正确td的故选(D)1 -4 一个质点在做圆周运动时,则有( )(A) 切向加速度一定改变,法向加速度也改变(B) 切向加速度可能不变,法向加速度一定改变(C) 切向加速度可能不变,

5、法向加速度不变(D) 切向加速度一定改变,法向加速度不变分析与解 加速度的切向分量 a 起改变速度大小的作用,而法向分量 an起改变速度方向的作用质点作圆周运动时,由于速度方向不断改变,相应法向加速度的方向也在不断改变,因而法向加速度是一定改变的至于 a 是否改变,则要视质点的速率情况而定质点作匀速率圆周运动时, a 恒为零；质点作匀变速率圆周运动时, a 为一不为零的恒量,当 a 改变时,质点则作一般的变速率圆周运动由此可见,应选(B) *1 -5 如图所示,湖中有一小船,有人用绳绕过岸上一定高度处的定滑轮拉湖中的船向岸边运动设该人以匀速率 v0 收绳,绳不伸长且湖水静止,小船的速率为 v,

6、则小船作( )3(A) 匀加速运动, cos0v(B) 匀减速运动, 0(C) 变加速运动, cosv(D) 变减速运动, 0(E) 匀速直线运动,分析与解 本题关键是先求得小船速度表达式,进而判断运动性质为此建立如图所示坐标系,设定滑轮距水面高度为 h,t 时刻定滑轮距小船的绳长为 l,则小船的运动方程为 ,其中绳长 l 随时间 t 而变化小船速度2hlx,式中 表示绳长 l 随时间的变化率,其大小即为 v0,代入整理2dhlttxvtl后为 ,方向沿 x 轴负向由速度表达式,可判断小船作变加llcos/020v速运动故选(C)讨论 有人会将绳子速率 v0按 x、 y 两个方向分解,则小船速

7、度 ,cos0v这样做对吗？1 -6 已知质点沿 x 轴作直线运动,其运动方程为 ,式中 x 的326tx单位为m, t 的单位为 s求：(1) 质点在运动开始后4.0 s内的位移的大小；(2) 质点在该时间内所通过的路程；(3) t4 s时质点的速度和加速度分析 位移和路程是两个完全不同的概念只有当质点作直线运动且运动方向不改变时,位移的大小才会与路程相等质点在t 时间内的位移 x 的大小可直接由运动方程得到： ,而在求路程时,就必须注意到质点在运动0xt过程中可能改变运动方向,此时,位移的大小和路程就不同了为此,需根据4来确定其运动方向改变的时刻 tp ,求出0 tp 和 tp t 内的位

8、移大小 x1 0dtx、 x2 ,则t 时间内的路程 ,如图所示,至于 t 4.0 s 时质点速21xs度和加速度可用 和 两式计算txd2解 (1) 质点在4.0 s内位移的大小 m3204x(2) 由 dt得知质点的换向时刻为(t0不合题意)s2pt则 m.8021x44所以,质点在4.0 s时间间隔内的路程为 21s(3) t4.0 s时 1s0.4sm8dtxv2s0.42.36ta1 -7 一质点沿 x 轴方向作直线运动,其速度与时间的关系如图(a)所示设 t0 时, x0试根据已知的 v-t 图,画出 a-t 图以及 x -t 图5分析 根据加速度的定义可知,在直线运动中 v-t曲

9、线的斜率为加速度的大小(图中AB、CD 段斜率为定值,即匀变速直线运动；而线段BC 的斜率为0,加速度为零,即匀速直线运动)加速度为恒量,在 a-t 图上是平行于 t 轴的直线,由v-t 图中求出各段的斜率,即可作出 a-t 图线又由速度的定义可知, x-t 曲线的斜率为速度的大小因此,匀速直线运动所对应的 x -t 图应是一直线,而匀变速直线运动所对应的 xt 图为 t 的二次曲线根据各段时间内的运动方程x x(t),求出不同时刻 t 的位置 x,采用描数据点的方法,可作出 x-t 图解 将曲线分为AB、BC、CD 三个过程,它们对应的加速度值分别为6(匀加速直线运动)2sm0ABAtav(

10、匀速直线运动)C(匀减速直线运动)2s10DCtav根据上述结果即可作出质点的 a-t 图图(B)在匀变速直线运动中,有 201txv由此,可计算在02和46时间间隔内各时刻的位置分别为用描数据点的作图方法,由表中数据可作02和46时间内的 x -t 图在24时间内, 质点是作 的匀速直线运动, 其 x -t 图是斜1sm20v率 k20的一段直线图(c)1 -8 已知质点的运动方程为 ,式中 r 的单位为m, t 的单jir)(2tt位为求：(1) 质点的运动轨迹；(2) t 0 及 t 2时,质点的位矢；(3) 由 t 0 到 t 2内质点的位移 r 和径向增量 r； *(4) 2 内质点

11、所走过的路程 s分析 质点的轨迹方程为 y f(x),可由运动方程的两个分量式 x(t)和 y(t)中消去 t 即可得到对于 r、 r、 r、 s 来说,物理含义不同,可根据其定义计算其中对 s的求解用到积分方法,先在轨迹上任取一段微元d s,则,最后用 积分求 2)(dyxssd解 (1) 由 x(t)和 y(t)中消去t 后得质点轨迹方程为 241xy这是一个抛物线方程,轨迹如图(a)所示(2) 将 t 0和 t 2分别代入运动方程,可得相应位矢分别为, jr0jir22图(a)中的P、Q 两点,即为 t 0和 t 2时质点所在位置(3) 由位移表达式,得 jijir4)()(020212

12、 yx其中位移大小 m6.5)(yxr而径向增量 7.20202r7*(4) 如图(B)所示,所求 s 即为图中PQ段长度,先在其间任意处取AB 微元ds,则 ,由轨道方程可得 ,代入d s,则2内路程为2)d(yx xy21dm9.540sQP1 -9 质点的运动方程为 2301tx5y式中 x,y 的单位为m, t 的单位为试求：(1) 初速度的大小和方向；(2) 加速度的大小和方向分析 由运动方程的分量式可分别求出速度、加速度的分量,再由运动合成算出速度和加速度的大小和方向解 (1) 速度的分量式为 ttx601dvy45当 t 0 时, vox -10 m -1 , voy 15 m

13、-1 ,则初速度大小为1200 sm.8x设 vo与 x 轴的夹角为,则 23tan0xyv 12341(2) 加速度的分量式为, 2sm60dtaxv2sm40dtayv则加速度的大小为822sm1.7yxa设 a 与 x 轴的夹角为 ,则 3tnxya -3341(或32619)1 -10 一升降机以加速度1.22 m -2上升,当上升速度为2.44 m -1时,有一螺丝自升降机的天花板上松脱,天花板与升降机的底面相距2.74 m计算：(1)螺丝从天花板落到底面所需要的时间；(2)螺丝相对升降机外固定柱子的下降距离分析 在升降机与螺丝之间有相对运动的情况下,一种处理方法是取地面为参考系,分

14、别讨论升降机竖直向上的匀加速度运动和初速不为零的螺丝的自由落体运动,列出这两种运动在同一坐标系中的运动方程 y1 y1(t)和 y2 y2(t),并考虑它们相遇,即位矢相同这一条件,问题即可解；另一种方法是取升降机(或螺丝)为参考系,这时,螺丝(或升降机)相对它作匀加速运动,但是,此加速度应该是相对加速度升降机厢的高度就是螺丝(或升降机)运动的路程解1 (1) 以地面为参考系,取如图所示的坐标系,升降机与螺丝的运动方程分别为 201atyv2gh当螺丝落至底面时,有 y1 y2 ,即 2001tatvvs75.ght(2) 螺丝相对升降机外固定柱子下降的距离为 m16.0202tyhdv解2

15、(1)以升降机为参考系,此时,螺丝相对它的加速度大小 a g a,螺丝落至底面时,有 2)(10taghs705.t(2) 由于升降机在 t 时间内上升的高度为9201athv则 m76.d1 -11 一质点P 沿半径R 3.0 m的圆周作匀速率运动,运动一周所需时间为20.0,设 t 0 时,质点位于 O 点按( a)图中所示 Oxy 坐标系,求(1) 质点P 在任意时刻的位矢；(2)5时的速度和加速度分析 该题属于运动学的第一类问题,即已知运动方程 r r(t)求质点运动的一切信息(如位置矢量、位移、速度、加速度)在确定运动方程时,若取以点(0,3)为原点的 Oxy 坐标系,并采用参数方程

16、 x x (t)和 y y (t)来表示圆周运动是比较方便的然后,运用坐标变换 x x0 x和 y y0 y,将所得参数方程转换至 Oxy 坐标系中,即得 Oxy 坐标系中质点P 在任意时刻的位矢采用对运动方程求导的方法可得速度和加速度解 (1) 如图(B)所示,在 Oxy 坐标系中,因,则质tT2点P 的参数方程为, tRxsinTy2co坐标变换后,在Oxy 坐标系中有10, tTRx2sin RtTy2cos0则质点P 的位矢方程为 jir ttTRcos2sn ji)1.0(s3)1.(sin3tt(2) 5时的速度和加速度分别为 jjir )sm.0(2sincsd 1tTRttv1

17、 -12 地面ijia 3.co)(2n)( 222 ttTRt上垂直竖立一高20.0 m 的旗杆,已知正午时分太阳在旗杆的正上方,求在下午200 时,杆顶在地面上的影子的速度的大小在何时刻杆影伸展至20.0 m？分析 为求杆顶在地面上影子速度的大小,必须建立影长与时间的函数关系,即影子端点的位矢方程根据几何关系,影长可通过太阳光线对地转动的角速度求得由于运动的相对性,太阳光线对地转动的角速度也就是地球自转的角速度这样,影子端点的位矢方程和速度均可求得解 设太阳光线对地转动的角速度为 ,从正午时分开始计时,则杆的影长为 s htgt ,下午200 时,杆顶在地面上影子的速度大小为 132sm094.1cosdthtv当杆长等于影长时,即 s h,则 6artn1t即为下午300 时1 -13 质点沿直线运动,加速度 a4 -t2 ,式中 a的单位为m -2 ,t的单位为如果当 t 3时, x9 m, v 2 m -1 ,求质点的运动方程分析 本题属于运动学第二类问题,即已知加速度求速度和运动方程,必须在给定条件下用积分方法解决由 和 可得 和 如tdtxtdvtxva a(t)或 v v(t),则可两边直接积分如果 a 或 v不是时间 t 的显函数,则应经过诸如分离变量或变量代换等数学操作后再做积分解 由分析知,应有 t0d0v得 (1)0314vt由 tx0d0v