1、2、求最大（最小）值应用题的一般方法 :(1)分析实际问题中各量之间的关系，把实际问题化为数学问题，建立函数关系式，这是关键一步 ;(2)确定函数定义域，并求出极值点 ;(3)比较各极值与定义域端点函数的大小， 结合实际，确定最值或最值点 .1、实际应用问题的表现形式，常常不是以纯数学模式反映出来 :首先，通过审题，认识问题的背景，抽象出问题的实质 ;其次，建立相应的数学模型 , 将应用问题转化为数学问题 ,再解 .3.4生活中的优化问题例 1、 在边长为 60cm的正方形铁皮的四角切去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起，做成一个无盖的方底箱子，箱底边长为多少时，箱子容积最大？最大容积是多少？
2、解 :设箱底边长为 x,则箱高 h=(60-x)/2.箱子容积V(x)=x2h=(60x2-x3)/2(0x60).令 ,解得 x=0(舍去 ),x=40.且 V(40)=16000.由题意可知 ,当 x过小 (接近 0)或过大 (接近 60)时 ,箱子的容积很小 ,因此 ,16000是最大值 .答 :当 x=40cm时 ,箱子容积最大 ,最大容积是 16000cm3.2、若函数 f ( x )在定义域内 只有一个极值点 x0 ，则不需与端点比较， f ( x0 )即是所求的最大值或最小值 .说明1、设出变量找出函数关系式；(所说区间的也适用于开区间或无穷区间 )确定出定义域；所得结果符合问题
3、的实际意义hr例 2、 要生产一批带盖的圆柱形铁桶，要求每个铁桶的容积为定值 V， 怎样设计桶的底面半径才能使材料最省？此时高与底面半径比为多少？解 :设圆柱的高为 h,底半径为 r,则表面积 S=2rh+2r2.由 V=r2h,得 ,则令 ,解得 ,从而,即 h=2r.由于 S(r)只有一个极值 ,所以它是最小值 .答 :当罐的高与底直径相等时 ,所用的材料最省 .xy例 3: 如图 ,在二次函数 f(x)= 4x-x2的图象与 x轴所 围成的图形中有一个内接矩形 ABCD,求这 个矩形的最大面积 .解 :设 B(x,0)(0x2), 则A(x, 4x-x2).从而 |AB|= 4x-x2,|BC|=2(2-x).故矩形 ABCD的面积为 :S(x)=|AB|BC|=2x3-12x2+16x(0x2).令 ,得所以当 时 ,因此当点 B为 时 ,矩形的最大面积是应用问题要引起重视 .(1)利用函数的导数求函数的最值在求函数的值域、 不等式的证明及解法中有广泛的作用。(2)在实际问题中如果可以判定可导函数在定义域内存在最大 (小 )值 ,而且函数在这个定义域内又只有唯一的极值点 ,那么立即可以判定 ,这个极值点的函数值就是最大 (小 )值 ,这一点在解决实际问题时很有用 .课堂小结
