1、新课标人教版课件系列 高中数学 必修 53.4.1 基本不等式-均值不等式 审校：王伟教学目标 推导并掌握两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数这个重要定理；利用均值定理求极值。了解均值不等式在证明不等式中的简单应用。 教学重点： 推导并掌握两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数这个重要定理；利用均值定理求极值。了解均值不等式在证明不等式中的简单应用。如果 a， b R， 那么 a2+b22ab（当且仅当 a=b时取 “=”）证明：1指出定理适用范围： 2强调取 “=”的条件： 定理：如果 a, b R+，那么 （当且仅当 a=b时，式中等号成立）证明： 即： 当且仅当 a=b时均值定
2、理：注意： 1适用的范围： a, b 为非负数 . 2语言表述： 两个非负数 的算术平均数 不小于 它们的几何平均数。称 为 a， b的算术平均数，3.我们把不等式 (a0,b0)称为基本不等式称 的几何平均数。为 a， b把 看做两个 正数 a， b的等差中项，看做 正数 a， b的等比中项，那么上面不等式可以叙述为： 两个正数的等差中项 不小于 它们的等比中项。还有没有其它的证明方法证明上面的基本不等式呢 ?几何直观解释：令正数 a， b为两条线段的长，用几何作图的方法，作出长度为 和的两条线段，然后比较这两条线段的长。 具体作图如下：（ 1）作线段 AB=a+b，使 AD=a， DB=b,（ 2）以 AB为直径作半圆 O；（ 3）过 D点作 CD AB于 D，交半圆于点 C（ 4）连接 AC， BC， CA，则当 ab时， OCCD，即当 a=b时， OC=CD，即例 1已知 ab0，求证： ，并推导出式中等号成立的条件。证明：因为 ab0，所以 ，根据均值不等式得即当且仅当 时，即 a2=b2时式中等号成立，因为 ab0，即 a， b同号，所以式中等号成立的条件是 a=b.
