1、【基础知识巩固】一、平方根、算数平方根和立方根1、平方根（1）平方根的定义：如果一个数 x 的平方等于 a，那么这个数 x 就叫做 a 的平方根即：如果 ，那么 x 叫做 a 的平方根2（2）开平方的定义：求一个数的平方根的运算，叫做开平方开平方运算的被开方数必须是非负数才有意义。（3）平方与开平方互为逆运算： 3 的平方等于 9，9 的平方根是 3 （4）一个正数有两个平方根，即正数进行开平方运算有两个结果；一个负数没有平方根，即负数不能进行开平方运算（5）符号：正数 a 的正的平方根可用 表示， 也是 a 的算术平方根；a正数 a 的负的平方根可用- 表示（6） x2xa 是 x 的平方
2、x 的平方是 ax 是 a 的平方根 a 的平方根是 x2、算术平方根（1）算术平方根的定义： 一般地，如果一个正数 x 的平方等于 a，即 ，那么x2这个正数 x 叫做 a 的算术平方根a 的算术平方根记为 ，读作“根号 a”，a 叫做被开方数规定：0 的算术平方根是 0.也就是，在等式 (x0)中，规定 。2x（2） 的结果有两种情况：当 a 是完全平方数时， 是一个有限数；a a当 a 不是一个完全平方数时， 是一个无限不循环小数。（3）当被开方数扩大时，它的算术平方根也扩大；当被开方数缩小时与它的算术平方根也缩小。一般来说，被开放数扩大（或缩小）a 倍，算术平方根扩大（或缩小） 倍，例
3、如a=5， =50。（4）夹值法及估计一个（无理）数的大小（5） (x0) ax2 axa 是 x 的平方 x 的平方是 ax 是 a 的算术平方根 a 的算术平方根是 x（6）正数和零的算术平方根都只有一个，零的算术平方根是零。（ 0） 0a；注意 的双重非负性：a2 a- （ x3axa 是 x 的立方 x 的立方是 ax 是 a 的立方根 a 的立方根是 x（6） ，这说明三次根号内的负号可以移到根号外面。33【典型例题分析】知识点一：有关概念的识别1、下列说法中正确的是（ ）A、 的平方根是3 B、1 的立方根是1 C、 =1 D、 是 5的平方根的相反数2、下列语句中，正确的是（ ）
4、A一个实数的平方根有两个，它们互为相反数B负数没有立方根 C一个实数的立方根不是正数就是负数D立方根是这个数本身的数共有三个 3、下列说法中： 都是 27 的立方根， ， 的立方根是 2，3y364。其中正确的有 （ ）482A、1 个 B、2 个 C、3 个 D、4 个4、 的平方根是（ ）0.7A B C D0.70.70.495、下列各组数中，互为相反数的组是（ ）A、2 与 B、2 和 C、 与 2 D、2和 2)(381知识点二：计算类题型1、25 的算术平方根是_；平方根是_. -27 立方根是_. _， _， _.2、 ； ； = . = .2)4( 3)6( 2)196(383
5、、 +3 5 ( - ) 271 | | + | |- | | 2323141)2(834、 （1） （2）3272)(31333 645.041（3） 知识点三：利用平方根和立方根解方程1、 （1） （2x-1） 2-169=0； （2） 142x（3） 15)(3x知识点四：关于有意义的题 本身为非负数，有非负性，即 0； 有意义的条件是 a0。aa要使 有意义，必须满足 a 0.11、若 的算术平方根有意义，则 a 的取值范围是（ ）A、一切数 B、正数 C、非负数 D、非零数2、要使 有意义，x 应满足的条件是 63、当 时，式子 有意义。_21x知识点五：有关平方根的解答题1、一个正
6、数 a 的平方根是 3x4 与 2x，则 a 是多少？2、若 5a1 和 a19 是数 m 的平方根，求 m 的值。3、已知 x、y 都是实数，且 ，求 的平方根。34yxxxy知识点六：非负性的应用1、已知实数 x，y 满足 +(y+1)2=0，则 x-y 等于 x解答：根据题意得，x-2=0，y+1=0，解得 x=2，y=-1，所以，x-y=2-（-1）=2+1=32、已知 a、b 满足 ，解关于 的方程 。0382bax12abxa3、若 ，求 的值。0)13(2yx25yx4、若 a、b、c 满足 ，求代数式 的值。01)5(32cbacb5、已知 和8b3互为相反数，求(ab) 2
7、27 的值。a1【重点知识巩固】考点、平方根、算术平方根、立方根1、概念、定义（1）如果一个正数 x 的平方等于 a，即 ，那么这个正数 x 叫做 a 的算术平方根。（2）如果一个数的平方等于 a，那么这个数就叫做 a 的平方根（或二次方跟） 。如果，那么 x 叫做 a 的平方根。（3）如果一个数的立方等于 a，那么这个数就叫做 a 的立方根（或 a 的三次方根） 。如果，那么 x 叫做 a 的立方根。2、运算名称（1）求一个正数 a 的平方根的运算，叫做开平方。平方与开平方互为逆运算。（2）求一个数的立方根的运算，叫做开立方。开立方和立方互为逆运算。3、运算符号（1）正数 a 的算术平方根，
8、记作“ ”。a（2）a(a0) 的平方根的符号表达为 。（3）一个数 a 的立方根，用 表示，其中 a 是被开方数，3 是根指数。4、运算公式4、开方规律小结（1）若 a0，则 a 的平方根是 a， a 的算术平方根 a；正数的平方根有两个，它们互为相反数，其中正的那个叫它的算术平方根；0 的平方根和算术平方根都是 0；负数没有平方根。实数都有立方根，一个数的立方根有且只有一个，并且它的符号与被开方数的符号相同。正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0 的立方根是 0。（2）若 a0，则 a 没有平方根和算术平方根；若 a 为任意实数，则 a 的立方根是 。（3）正数的两个平方根互为相反数，两个互为相反数的实数的立方根也互为相反数。
