1、高等数学（上）第一章 函数与极限1. 设 , 求3|,0|sin|)(xx).2(46、 6sin)(214i)(022)sin()(2. 设 的定义域为 ，问： ； xf 1,02xf；fsin ； 的定0axf axff0义域是什么？ （1） ；，的 定 义 域 为所 以知 1)(,1022 xfxx)(,)(sin,1)2kf Zk的 定 义 域 为所 以 知由aaxfx1,)(10)3的 定 义 域 为所 以 知 由 时 ， 定 义 域 为当 时 ， 定 义 域 为当 从 而 得知由 211,0)4aax3. 设 ， ，求 和 ，10xxf xegxgfxf并做出这两个函数的图形。 1
2、,)(.2 0,1,)(1)(,0)(.1)(xexfg xgfxgxfxf 4. 设数列 有界, 又 证明: n ,0limny.0limnyx .0)(,li Myxy MyNnNxnn nn5. 根据函数的定义证明: 813limx8)13(li 81330,0,x xx所 以 成 立时 ， 恒 有， 当取故 即 可 。只 要要 使 (2) 0sinlmx 0sinlm,0sin11,i,0322xxXx Xx 6. 根据定义证明: 当 时,函数 是xy21无穷大.问 应满足什么条件时,才能使x?104y即 可 。只 要要 使所 以 成 立时 ， 有， 当故 取 即 可 。只 要要 使
3、210,102lim21021,2,44xy MxxMx 7. 求极限: =013lim2x =hxh20limxh2)(li0 =013li24xx(4) =2linn 21)(limn(5) =31limxx )(13lixx(6) =232lix8. 计算下列极限: =0xx1sinlm20 =xarctli0arctn.lixx9. 计算下列极限: =xsinlm0.sinl0x =x3tali0 3cos1.il0x =xsin2co1l02in.l0xx(4) = x3lim620)1(liex（5） = xx102lim2.10)(liex（6） = x3li 21)2.(li
4、x10. 利用极限存在准则证明: 121lim22 nnn 22222 ,1li2nn又 1li2n故原式1 数列 的极限存在,2,2,并求其极限. 2lim)(1, 22,lili,2. ,22.1,.3, 11110 11 11101 n nnnn kkkn kkk knnxa axaxxxxxx舍 去所 以 知由设所 以 有 界 。故 则假 设再 证 有 界 。单 调 递 增 。故 则假 设先 证 单 调 。解 ：11. 当 时, 与 相比, 哪一个是较0x2x3x高阶的无穷小? 232003(1)limli0xx当 时 ， 是 较 高 阶 的 无 穷 小 。12. 当 时, 无穷小 和
5、 是否同阶?1xx12x是否等价? .所 以 同 阶 且 等 价13. 证明: 当 时, 有 .0x21secx2220002021sec(o)coslimlilim.cs4sin1l.coexxxx xx:当 时 ，14. 利用等价无穷小的代换定理, 求极限: .xx30sintalm2112-()limli1xxx:（ ）当 时 ， (-)23330001()tansitan(1cos)limllimxxx=15. 讨论 的连续性 , 并画出22f其图形. 21(0)lim()(), .2.xfff又 在 处 连 续总 之 在 上 连 续16. 指出下列函数的间断点属于哪一类.若是可去间断
6、点,则补充或改变函数的定义使其连续. 2,1232 xxy211122()limli,:2.()lili,3.xxxxxy为 可 去 间 断 点 补 充 定 义 即 可为 无 穷 间 断 点 131xxy=01x11limli()032.xxy为 其 跳 跃 间 断 点17. 讨论函数 的连续性, 若有间xxfnn21lim断点, 判别其类型。2,1lim01,()()1.,01,1.nnxfxffx在 处 为 跳 跃 间 断 点在 处 为 跳 跃 间 断 点18. 求函数 的连续区间 , 并6323xxf求 .fxf30lim,li5821lim)2(31lim)(li2123,6330 2
7、12 xxxf x）， （），（ ）， 连 续 区 间 为 （ 得 ：由19. 求下列极限： =52lim0xx =13sinl4 xxili cos2cssin2l xx x22lim1lim22xx xe1li10liex xxsinl0 0lnsil0x 21limx211)(liexx20. 设 函 数 , 应 怎 样 选 择 ， 使0xaef a在 内 连 续 。 xf, )(11lim0()xfaef21. 证明方程 其中 至少有bxasin,0,ba一正根，并且它不超过 . 0)(,0(,)(;,0)( )sin)sin()si(bafbafbaffbaxxf 超 过方 程 至
8、少 有 一 正 根 且 不 使若取若 上 连 续，在显 然 ，证 明 ： 令 22. 若 在 上 连 续 ， , 则 在xfb, xxn21上 必 有 , 使n,.nxffxff n21nxfxfffxMnfm niMxfmxf nnniiiin )(.)()(,)( ,.21,)(,)( 21111 使由 介 值 定 理 ，即 ， 使与 最 小 值最 大 值连 续 ，在证 明 ：23. 证明: 若 在 内连续 , 存在, xf, xflim则 必在 内有界. xf,内 有 界 。在， 即， 有则 对 ，取 使即上 连 续 ， 故 有 界在又 即成 立时 ， 有当， 对证 明 ： 设 ),()(),(1max )(,)( ,1)(1)(li 11 xfMxfAMMfXf AfXxf
