1、第五章 二次型1用非退化线性替换化下列二次型为标准形，并利用矩阵验算所得结果。1） ；3231214xx2） ；243） ；32312121 6xxx4） ；4434885） ；4323121 xxx6） ；43423211224 x7） 。432321 xxx解 1）已知 ，321121,f先作非退化线性替换（1）3212yx则3121321 4, yf 2y，231y再作非退化线性替换（2）3231zy则原二次型的标准形为，23213214,zzxf 最后将（2）代入（1） ，可得非退化线性替换为（3）33212zxzz于是相应的替换矩阵为，10210201T且有。104AT2）已知 ，3
2、21,xf 232212 4xx由配方法可得232212321,f，32xx于是可令，321xy则原二次型的标准形为，21321,yf且非退化线性替换为，3231yx相应的替换矩阵为，102T且有。 01021420121AT（3）已知 ，323121131 6, xxxxf 由配方法可得23232331212321 4, xf ，2xx于是可令，3231xy则原二次型的标准形为，21321,yf且非退化线性替换为，3321yx相应的替换矩阵为，102T且有。 010213312301AT（4）已知 ，42324321431 88, xxxf 先作非退化线性替换，43241yx则 423243
3、2414321 88, yyxf 232132142 8yy3232188y，323214321 4yy 再作非退化线性替换，43231zyz则2321243214321 45858, zzzzxf，32再令，432143231855zzwxz则原二次型的标准形为，4321,xf 243218ww且非退化线性替换为，414323 43215wxx相应的替换矩阵为，102135T且有。 802AT（5）已知 ，4321,xf 432341321 xxx先作非退化线性替换，4321yx则4321,xf 43241323121 yy，142434321yy 再作非退化线性替换，4343212yzyz
4、即，4343212zyzzy则原二次型的标准形为，4321,xf 24321z且非退化线性替换为，4343212zxzz相应的替换矩阵为，10211T且有。 4301AT（6）已知 4321,xf 413121221 xxx，434232由配方法可得 4321,xf 243243212 xxx4322432，24324324321 1xxxxx 于是可令，434231xyxy则原二次型的标准形为，2321yf且非退化线性替换为，434231yxx故替换矩阵为，10231T且有。021AT（7）已知 ，4321,xf 43214321 xxx由配方法可得4321,xf 2431231312241
5、 xxxx21312432，212 xxxx于是可令，31443221xy则原二次型的标准形为，2421yf且非退化线性替换为，4314321yx相应的替换矩阵为，10T且有。10AT（）把上述二次型进一步化为规范形，分实系数、复系数两种情形；并写出所作的非退化线性替换。解 1）已求得二次型321,xf 3231214x的标准形为，2321yyf且非退化线性替换为，33212yxy（1） 在实数域上，若作非退化线性替换，13231zyz可得二次型的规范形为。2321f（2） 在复数域上，若作非退化线性替换，1321zyiz可得二次型的规范形为。2321f2）已求得二次型321,xf 23221
6、2 4xx的标准形为，21yf且非退化线性替换为，3231yx故该非退化线性替换已将原二次型化为实数域上的规范形和复数域上的规范形。21f3）已求得二次型321,xf 32312121 6xx的标准形为，21yf且非退化线性替换为，3321yx（1） 在实数域上，上面所作非退化线性替换已将二次型化为规范形，即。21yf（2） 在复数域上，若作非退化线性替换。321zyi可得二次型的规范形为。21f（3） 已求得二次型4321,xf 4232432188xx的标准形为，24321yyf且非退化线性替换为，414323 43215yxx（1） 在实数域上，若作非退化线性替换，143322412zyzy可得二次型的规范形为。2321zzf（2）在复数域上，若作非退化线性替换
