1、第三章 离散傅里叶变换1. 如图 P3-1 所示，序列 是周期为 6 的周期性序列，试求其傅里叶级数的系数。)(nx图 P3-1解：由 nkjnnkexWxkX6250506 )()()( kjkjkjkjkj ee 5624623622662 108114 计算求得 , , )(39)(j)(jX, , 03X3952. 设 ， ，试求 ，并作图表示 ， 。)(4nRx6)(nx)(k)(nxkX解：由 kjkjkjnkjnnk eeeWkX 3236250506 1)()()(计算求得 , , 4jX)(, , )3(1)(35j， 如图 P3-2 所示。)(nx|k图 P3-23. 设
2、， 令 ，nnx其 他,041)( )2()4nRh6)(nx，试求 与 的周期卷积并作图。6h(x解：在一个周期内的计算值mnhxnhy)()()()(nxN mh1 2 3 4 5 0 )(y0 0 1 1 1 1 0 141 0 0 1 1 1 1 122 1 0 0 1 1 1 103 1 1 0 0 1 1 84 1 1 1 0 0 1 65 1 1 1 1 0 0 104. 已知 如图 P3-4(a)所示，为 1，1，3，2 ，试画出 ，)(nx 5)(nx， ， ， ，6R)(3nx6)x3R等各序列。)(7x解：各序列如图 P3-4（b）所示。图 P3-3图 P3-4（a ）图
3、 P3-4（b）5. 试求以下有限长序列的 N 点 DFT（闭合形式表达式）：(1) )(cos)(0nRanx(2) N(3) x0),()(4) nRN(5) )()(2x解：（1）因为 ，所以)(cos)(0nRanN )()(21)( 021020 00 kReeakekX NNnnjjnjNnj )(2101020 kRaNNnkjnkj )(110022eeNkjjkNjj )()(21 000000000 000 21212121212 kNjkNjkNj jjjkNjkNjkNj jjj eeeeeea 021021 21sini2sini 0000 kekea kNjjkNj
4、j（2）因为 ，所以)()(Rx10221Nn kNjnkjaeeakX（3）因为 ，所以x),()knNjNnnkjNnkj eexkX 021020102)( （4）因为 ，所以)(RxN 10)(10)(,(NnNkknk RWXWk)()(1)()(1)2(2(3 )()()1( 1(10)(10kNRkWNkXNknNkN kNkkNkk nNn ）（所以 )()(kXk（5）由 ，则2nRxN102)()(nNkRWkX根据第（4）小题的结论 1x则 )(1)(10kRWNnkXNkkNNnknkkN kNkkNk nnnkkWXWW 12)()()()12(1494)1(12)(
5、2 32)1(230)(102）（ ）（所以 10,)()(2kk6. 如图 P3-6(a)画出了几个周期序列 ，这些序列可以表示成傅里叶级数)(nx10)/2()(NknkNjeXx问：（1） 哪些序列能够通过选择时间原点使所有的 成为实数？)(k（2） 哪些序列能够通过选择时间原点使所有的 ） （除 外）成为虚数？X)0(（3） 哪些序列能做到 0，k=2，4，6，)(kX图 P3-6（a ）解：（1）要使 为实数，即要求 )(kX)(*kX根据 DFT 的性质， 应满足实部偶对称，虚部奇对称（以 n=0 为轴） 。又由图知，nx为实序列，虚部为零，故 应满足偶对称)(nx)(nx即 是以
6、 n=0 为对称轴的偶对称，可看出第二个序列满足这个条件。)(x如图 P3-6(b)所示。图 P3-6（b）（2）要使 为虚数，即要求 )(kX )()(*kX根据 DFT 的性质， 应满足实部奇对称，虚部偶对称（以 n=0 为轴） 。又已知 为nx )(nx实序列，故 )()nx即在一个周期内， 在一圆周上是以 n=0 为对称轴的奇对称，所以这三个序列都不满足)(x这个条件。（3）由于是 8 点周期序列，对于第一个序列有 kjkjjnnkj eekX4430821 1)( 当 。时 ， )(6,421k对于第二个序列有kjjnkjeekX4320411)(当 。时 ， )(6,421k对于第
7、三个序列有)4()(13nxnx根据序列移位性质可知kjkjkj eXekX4113 1)()( 当 。时 ， 0)(6,423k综上所得，第一，第三个序列满足 ,2,0)(k7. 在图 P3-7(a)中画了两个有限长序列，试画出它们的六点圆周卷积。图 P3-7（a ）解： )()()( 65021nRmxnym结果如图 P3-7(b)所示。图 P3-7（b）8. 图 P3-8(a)表示一个 5 点序列 。)(nx（1）试画出 ；)(*nx（2）试画出 ；)(nx（4） 试画出 ；图 P3-8（a ）解：个小题的结果分别如图 P3-8(b)，P3-8(c),，P3-8(d)所示。图 P3-8（
8、b）图 P3-8（c ）图 P3-8（d）9. 设有两个序列 nxn其 他,05)(y其 他,14)(各作 15 点的 DFT，然后将两个 DFT 相乘，再求乘积的 IDFT，设所得结果为 ，)(nf问 的哪些点（用序号 n 表示）对应于 应该得到的点。)(nf )(*nyx解：序列 的点数为 N1=6，y(n)的点数为 N2=15，故 的点数应为)(x )(011又 为 与 的 15 点的圆周卷积，即 L=15。所以，混叠点数为 N-L=20-15=5。)(nfx)(ny即线性卷积以 15 为周期延拓形成圆周卷积序列 时，一个周期内在 n=0 到 n=4(=N-L-1)(nf这 5 点出发生混叠，即 中只有 n=5 到 n=14 的点对应于 应该得到的点。)(f )(*nyx10. 已知两个有限长序列为 64,031)(nx5,1)(y试作图表示 ， 以及 。nx)()(nyxnf解：结果如图 P3-10 所示。
