专题5导数的应用-含参函数的单调性讨论答案.doc

1、1专题 5 导数的应用含参函数的单调性讨论“含参数函数的单调性讨论问题”是近年来高考考查的一个常考内容，也是我们高考复习的重点从这几年来的高考试题来看，含参数函数的单调性讨论常常出现在研究函数的单调性、极值以及最值中，因此在高考复习中更应引起我们的重视一、思想方法： 上 为 常 函 数在 区 间时 上 为 减 函 数在 区 间时 上 为 增 函 数在 区 间时 和增 区 间 为 和增 区 间 为DxfxfDff CfCf BAxBAx)(0)( .,)(.)(0讨论函数的单调区间可化归为求解导函数正或负的相应不等式问题的讨论二、典例讲解典例 1 讨论 的单调性，求其单调区间xaf)(解： 的定

2、义域为x),0(),(它与 同号)1)( 2xaf axg2I）当 时， 恒成立，0a)0)(f此时 在 和 都是单调增函数，x,(即 的增区间是 和 ;f)II) 当 时 axxf 或)(0)0或此时 在 和 都是单调增函数，)(f,a),(在 和 都是单调减函数，x)即 的增区间为 和 ;f,a的减区间为 和 .)(0()(步骤小结：1、先求函数的定义域，2、求导函数（化为乘除分解式，便于讨论正负） ，3、先讨论只有一种单调区间的（导函数同号的）情况，4、再讨论有增有减的情况（导函数有正有负，以其零点分界） ，5、注意函数的断点，不连续的同类单调区间不要合并变式练习 1 讨论 的单调性，求

3、其单调区间 xaxfln)(2解： 的定义域为xaxfln)(),0(它与 同号)(1 axgI）当 时， 恒成立，0a0)f此时 在 为单调增函数，(x,即 的增区间为 ，不存在减区间;f)(II) 当 时 ;axf )x0此时 在 为单调增函数，(f),a在 是单调减函数，)即 的增区间为 ; 的减区间为 f,()(xf),0(a典例 2 讨论 的单调性xxln(解： 的定义域为afl)(),0(它与 同号)(1 a1)axgI） 当 时， 恒成立 （此时 没有意0)xf axf10( 义）此时 在 为单调增函数，即 的增区间为)(f),)(xf),(II） 当 时， 恒成立，a0(x（此

4、时 不在定义域内，没有意义）axf1)( 此时 在 为单调增函数，即 的增区间为),)(xf),0(III) 当 时, 令0axf0(于是，当 x 变化时， 的变化情况如下表：(结合 g(x)图象定号),fx )1,0(a),1a)f 0 (增 减所以， 此时 在 为单调增函数， 在 是单调减函数，)xf)1,(a)(xf),1a3即 的增区间为 ; 的减区间为 )(xf)1,0(a(xf ),1(a小结：导函数正负的相应区间也可以由导函数零点来分界，但要注意其定义域和连续性即先求出 的零点，再其分区间然后定 在相应区间内的符号一般先讨论)(f )(f无解情况，再讨论解 过程产生增根的情况（即

5、解方程变形中诸如平0)(xf )(xf方、去分母、去对数符号等把自变量 x 范围扩大而出现有根，但根实际上不在定义域内的） ，即根据 零点个数从少到多，相应原函数单调区间个数从少到多讨论，最后区)(xf间（最好结合导函数的图象）确定相应单调性变式练习 2 讨论 的单调性xafln21)(解： 的定义域为x),0(, 它与 同号.)(1)( 2af 12axg令 ，0 xx当 时，无解；当 时, (另一根不在定义域0aa内舍去)i)当 时， 恒成立 （此时 没有意义）0a)()xf xf10)(2此时 在 为单调增函数，即 的增区间为,0),(ii)当 时， 恒成立，)()f(此时 方程 判别式

6、 ,方程无解)12ax0此时 在 为单调增函数，即 的增区间为f, (xf),0(iii) 当 时,0当 x 变化时， 的变化情况如下表：(结合 g(x)图象定号) ),(fx 1a,1(a)(f 0 增 减所以，此时 在 为单调增函数， 在 是单调减函数，)(xf)1,0a)(xf),1a4即 的增区间为 ; 的减区间为 )(xf )1,0(a(xf ),1(a小结：一般最后要综合讨论情况，合并同类的，如 i),ii)可合并为一类结果对于二次型函数（如 ）讨论正负一般先根据二次项系数分三种类型讨论)(2ag典例 3 求 的单调区间123xxf解： 的定义域为 R，2f)()( aI) 当 时

7、， 在 R 上单调递减， 减区间为 R，无增区0a0)(xfxf )(xf间II) 当 时 ， 是开口向上的二次函数，32f令 , 因此可知（结合 的图象）)(1,)( 21axxf得 )(xfi) 当 时，0aaxff 310)(;3)( 或所以此时， 的增区间为 ； 的减区间为xf ,1,a和 )(xf)31,(aii) 当 时，021xaxxf3)(;1 或所以此时， 的增区间为 ； 的减区间为f ),1()3,(a和 (xf)1,3(a小结：求函数单调区间可化为导函数的正负讨论（即分讨论其相应不等式的解区间） ，常见的是化为二次型不等式讨论，当二次函数开口定且有两根时，一般要注意讨论两

8、根大小（分大、小、等三种情况） 。含参二次不等式解时要先看能否因式分解，若能则是计算简单的问题，需看开口及两根大小，注意结合图象确定相应区间正负变式练习 3 求 的单调区间 1231)(xaxf解： 的定义域为 R，)(xf )(f5是开口向上的二次函数，)(xf 42aI) 当 时， 恒成立20a0)(xf所以此时 在 R 上单调递增， 增区间为 R，无减区间 )(xfII) 当 时或令 21221 ,4,40)( xaxf 得因此可知（结合 的图象） 与 随 x 变化情况如下表)(xf)(ffx ,11),(212),(2f 0 0 )(增 减 增所以此时， 的增区间为 ；xf ),24(

9、)24,(aa和的减区间为)(f ,小结：三次函数的导函数是常见二次函数，当二次函数开口定时对其正负进行讨论的，要根据判别式讨论：无根的或两根相等的导函数只有一种符号，相应原函数是单调的较简单应先讨论；然后再讨论有两不等根的，结合导函数图象列变化表，注意用根的符号代替复杂的式，最后结论才写回个别点处导数为 0 不影响单调性只有在某区间21,x内导数恒为 0 时，相应区间内原函数为常数，一般中学所见函数除分段函数和常函数外不会出现此种情况总结：求单调区间要确定定义域，确定导函数符号的关键是看分子相应函数，因此讨论点有：第一是类型（一次与二次的根个数显然不同)；第二有没有根（二次的看判别式） ，第

10、三是有根是否为增根（在不在定义根内；第四有根的确定谁大；第五看区间内导函数的正负号（二次函数要看开口） 确记要数形结合，多数考题不会全部讨论点都要讨论的，题中往往有特别条件，不少讨论点会同时确定（即知一个就同时确定另一个） 判别式与开口的讨论点先谁都可以，但从简单优先原则下可先根据判别式讨论，因为当导函数无根时它只有一种符号，相应原函数在定义域内（每个连续的区间）为单调函数较简单6导数的应用含参函数的单调性讨论班级 姓名 1.已知函数 ，求 的单调区间.()lnafx()fx解： 21+,ax函 数 的 定 义 域 为 （ 0， ） ，fxa令 得 ：,(0,)00(,)affxffx若 即

11、， 则 在 上 单 调 递 增 ；若 即 ， 则 由 得 -由 得 0, 故 ()fx在 0,)单调递增.若 0 ,即 a时，由 ()0fx得， ；由 ()f得，11ax或故 在 ,)单调递减，在 0,1,)a单调递增.7若 1a,即 2时，由 ()0fx得， ；由 ()0fx得，1xa1xa或故 在 ,)单调递减，在 ,)a单调递增.综上所述，当 ， (f单调增区为 ,减区间是 ;,(当 12a时， x的减区间是 (,)，增区间是 )；当 时， )f在定义域上递增，单调增区为 0,) （不存在减区间）; 当 时， (的减区间是 1,a，在增区间是 (1,a.3.已知函数 ,讨论函数 的单调性

12、.32fxxRxf解： 因为 ， 所以(),a/2()31)x(1) 当 时， ，0/()1)f当 时， ；当 时， ；1,2x/0x,2/()0f所以函数 在 上单调递增，在 上单调递减；()f,1,(2) 当 时， 的图像开口向上，0a/23()xax36(1)aI) 当 时， ，所以函数 在 R 上递160,时 ， /()0fxfx增；II) 当 时，方程 的两个根分别为 03(1),aa时 ， /()f且12,xx12,x所以函数 在 ， 上单调递增，()f,)a(,)a在 上单调递减；11,(3) 当 时， 的图像开口向下，且0a/2()3)fxx36(1)0a方程 的两个根分别为

13、且/f 12,ax12,x8所以函数 在 ， 上单调递减，()fx1,)a1(,)a在 上单调递增。,综上所述，当 时，所以函数 在 上单调递增，0a()fx11,)a在 ， 上单调递减；,)(,a当 时， 在 上单调递增，在 上单调递减；0a()fx1,21,)2当 ，所以函数 在 ， 上单调1时 ()fx,a(,)a递增，在 上单调递减；11(,)a当 ，函数 在 R 上递增；1a时 ()fx4.已知函数 ()ln1fxa().讨论 ()fx的单调性.解：因为 的定义域为lfx,0所以 ，211() (,)aafxx令 ，则 同号2,(0)hxgf与法一：根据熟知二次函数性质可知 g(x)

14、的正负符号与开口有关，因此可先分类型讨论：9 当 时，由于 1， 开口向下,结合其图象易知0a 10a )(xh， ,此时 ，函数 单调递减；(,)xhx 0f ()fx时， ，此时 ，函数 单调递增.1() ()当 时， 开口向上,但 是否在定义域需要讨论：0a2因 所以10a或i) 当 时，由于 1， 开口向上,结合其图象易知1a )(xh， ，此时 ，函数 单调递增.(0,)xhx 0f ()fx时， ,此时 ，函数 单调递减；() ()ii)当 时，g(x)开口向上且 ，但两根大小需要讨论： 1a),21xa) 当 时， 恒成立，212,()0h此时 ，函数 在 上单调递减；()0fx

15、 fx（ ， +）b) 当 ，g(x)开口向上且在（0， ）有两根a 时 ， 时， ，此时 ，函数 单调递减；(,1)x()hx ()fx ()fx时 ，此时 ，函数 单调递增；a 时， ，此时 ，函数 单调递(,)()0 ()0f ()f减；10c) 当 时， ，g(x)开口向上且在（0， ）有两12a10a根时， ，此时 ，函数 单调递减；),(x()hx ()fx ()fx时 ，此时 ，函数 单调递增；)1,(a(0 ()0f ()f时， ，此时 ，函数 单调递减；xhx x x小结：此法是把单调区间讨论化归为导函数符号讨论，而确定导函数符号的分子是常见二次型的，一般要先讨论二次项系数，确定类型及开口；然后由于定义域限制讨论其根是否在定义域内，再讨论两根大小注，结合 g(x)的图象确定其在相应区间的符号，得出导函数符号。讨论要点与解含参不等式的讨论相应。法二： 101aa或i)当 时，由于 1， 开口向下,结合其图象易知 )(xh， ,此时 ，函数 单调递减；(0,1)xhx 0f ()fx时， ，此时 ，函数 单调递增.() ()ii)当 时，由于 1， 开口向上,结合其图象易知a1a xh