容斥原理习题加答案.doc

1、 1.现有 50 名学生都做物理、化学实验，如果物理实验做正确的有 40 人，化学实验做正确的有 31 人，两种实验都错的有 4 人，则两种实验都做对的有( )A、27 人B、25 人C、19 人D、10 人【答案】B【解析】直接代入公式为：50=31+40+4AB得 AB=25，所以答案为 B。2.某服装厂生产出来的一批衬衫大号和小号各占一半。其中 25是白色的，75是蓝色的。如果这批衬衫共有 100 件，其中大号白色衬衫有 10 件，小号蓝色衬衫有多少件？（ ）A、15B、25C、35D、40【答案】C【解析】这是一种新题型，该种题型直接从求解出发，将所求答案设为AB，本题设小号和蓝色分别

2、为两个事件 A 和 B，小号占 50%，蓝色占 75%，直接代入公式为：100=50+75+10AB，得：AB=35。3.某高校对一些学生进行问卷调查。在接受调查的学生中，准备参加注册会计师考试的有 63 人，准备参加英语六级考试的有 89 人，准备参加计算机考试的有 47 人，三种考试都准备参加的有 24 人，准备只选择两种考试都参加的有46 人，不参加其中任何一种考试的都 15 人。问接受调查的学生共有多少人？（ ）A120B144C177D192【答案】A【解析】本题画图按中路突破原则，先填充三集合公共部分数字 24，再推其他部分数字：根据每个区域含义应用公式得到：总数=各集合数之和两两

3、集合数之和三集合公共数三集合之外数63+89+47(x+24)+(z+24)+(y+24)+24+15199（x+z+y）+24+24+24+24+15根据上述含义分析得到：x+z+y 只属于两集合数之和，也就是该题所讲的只选择两种考试都参加的人数，所以 x+z+y 的值为 46 人；得本题答案为 120.4.对某单位的 100 名员工进行调查，结果发现他们喜欢看球赛和电影、戏剧。其中 58 人喜欢看球赛，38 人喜欢看戏剧，52 人喜欢看电影，既喜欢看球赛又喜欢看戏剧的有 18 人，既喜欢看电影又喜欢看戏剧的有 16 人，三种都喜欢看的有 12 人，则只喜欢看电影的有多少人（ ）A.22 人

4、 B.28 人 C.30 人 D.36 人【答案】A【解析】本题画图按中路突破原则，先填充三集合公共部分数字 12，再推其他部分数字：根据各区域含义及应用公式得到：总数=各集合数之和两两集合数之和三集合公共数三集合之外数10058+38+5218+16+（12+ x）+12+0,因为该题中，没有三种都不喜欢的人，所以三集合之外数为 0，解方程得到：x14。52x+12+4+Y14+12+4+Y，得到 Y22 人。 5. 某班统计考试成绩，数学得 90 分上的有 25 人;语文得 90 分以上的有 21 人; 两科中至少有一科在 90 分以上的有 38 人。问两科都在 90 分以上的有多少人?解

5、：设 A=数学成绩 90 分以上的学生B=语文成绩 90 分以上的学生那么，集合 AB 表示两科中至少有一科在 90 分以上的学生，由题意知，A=25 ，B =21 ，AB=38现要求两科均在 90 分以上的学生人数，即求AB，由容斥原理得AB= A+B-A B=25+21-38=8点评：解决本题首先要根据题意，设出集合 A，B，并且会表示 AB，AB，再利用容斥原理求解。6. 某班同学中有 39 人打篮球，37 人跑步，25 人既打篮球又跑步，问全班参加篮球、跑步这两项体育活动的总人数是多少?解：设 A=打篮球的同学;B=跑步的同学则 AB=既打篮球又跑步的同学AB=参加打篮球或跑步的同学应

6、用容斥原理AB=A+B-AB=39+37-25=51(人)7. 某年级的课外学科小组分为数学、语文、外语三个小组，参加数学小组的有 23 人，参加语文小组的有 27 人，参加外语小组的有 18 人;同时参加数学、语文两个小组的有 4 人，同时参加数学、外语小组的有 7 人，同时参加语文、外语小组的有 5 人;三个小组都参加的有 2 人。问：这个年级参加课外学科小组共有多少人?解 1：设 A=数学小组的同学，B=语文小组的同学 ，C=外语小组的同学，AB=数学、语文小组的同学，AC=参加数学、外语小组的同学，BC=参加语文、外语小组的同学，ABC=三个小组都参加的同学由题意知：A=23 ，B =

7、27，C=18AB=4 ，AC =7，BC=5，ABC=2根据容斥原理二得：ABC= A+ B+C-AB-AC|-BC|+|ABC=23+27+18-(4+5+7)+2=54(人)山东公务员行测：数量关系之容斥问题解题原理及方法解 2： 利用图示法逐个填写各区域所表示的集合的元素的个数，然后求出最后结果。设 A、B、C 分别表示参加数学、语文、外语小组的同学的集合，其图分割成七个互不相交的区域，区域(即 ABC)表示三个小组都参加的同学的集合，由题意，应填 2。区域表示仅参加数学与语文小组的同学的集合，其人数为 4-2=2(人) 。区域表示仅参加数学与外语小组的同学的集合，其人数为 7-2=5

8、(人) 。区域表示仅参加语文、外语小组的同学的集合，其人数为 5-2=3(人) 。区域表示只参加数学小组的同学的集合，其人数为23-2-2-5=14(人 )。同理可把区域、所表示的集合的人数逐个算出，分别填入相应的区域内，则参加课外小组的人数为;14+20+8+2+5+3+2=54(人)点评：解法 2 简单直观，不易出错。由于各个区域所表示的集合的元素个数都计算出来了，因此提供了较多的信息，易于回答各种方式的提问。8.某车间有工人 100 人，其中有 5 个人只能干电工工作，有 77 人能干车工工作，86 人能干焊工工作，既能干车工工作又能干焊工工作的有多少人?解：工人总数 100，只能干电工

9、工作的人数是 5 人，除去只能干电工工作的人，这个车间还有 95 人。 利用容斥原理，先多加既能干车工工作又能干焊工工作的这一部分，其总数为 163，然后找出这一公共部分，即 163-95=689.某次语文竞赛共有五道题(满分不是 100 分) ，丁一只做对了 (1)、(2)、(3) 三题得了 16分;于山只做对了(2)、(3)、(4)三题，得了 25 分;王水只做对了(3)、(4)、(5) 三题，得了 28 分，张灿只做对了(1)、(2) 、(5) 三题，得了 21 分，李明五个题都对了他得了多少分?解：由题意得：前五名同学合在一起，将五个试题每个题目做对了三遍，他们的总分恰好是试题总分的三

10、倍。五人得分总和是 16+25+30+28+21=120。因此，五道题满分总和是 1203=40。所以李明得 40 分。10.某大学有外语教师 120 名，其中教英语的有 50 名，教日语的有 45 名，教法语的有40 名，有 15 名既教英语又教日语，有 10 名既教英语又教法语，有 8 名既教日语又教法语，有 4 名教英语、日语和法语三门课，则不教三门课的外语教师有多少名?解：本题只有求出至少教英、日、法三门课中一种的教师人数，才能求出不教这三门课的外语教师的人数。至少教英、日、法三门课中一种教师人数可根据容斥原理求出。根据容斥原理,至少教英、日、法三门课中一种的教师人数为 50+45+40-15-10-8+4=106(人)不教这三门课的外语教师的人数为 120-106=14(人)