1、课后习题解答第一章 绪论习题一1.设 x0,x*的相对误差为 ，求 f(x)=ln x的误差限。解：求 lnx的误差极限就是求 f(x)=lnx的误差限，由公式(1.2.4)有已知 x*的相对误差 满足 ，而，故即2.下列各数都是经过四舍五入得到的近似值，试指出它们有几位有效数字，并给出其误差限与相对误差限。解：直接根据定义和式(1.2.2)(1.2.3)则得有 5位有效数字，其误差限 ，相对误差限有 2位有效数字，有 5位有效数字，3.下列公式如何才比较准确？（1）（2）解：要使计算较准确，主要是避免两相近数相减，故应变换所给公式。（1）（2）4.近似数 x*=0.0310,是 3 位有数数
2、字。5.计算 取 ，利用 ： 式计算误差最小。四个选项：第二、三章 插值与函数逼近习题二、三1. 给定 的数值表用线性插值与二次插值计算 ln0.54的近似值并估计误差限.解： 仍可使用 n=1及 n=2的 Lagrange插值或 Newton插值,并应用误差估计（5.8） 。线性插值时，用 0.5及 0.6两点，用 Newton插值误差限 ，因，故二次插值时，用 0.5，0.6，0.7 三点，作二次 Newton插值误差限 ，故2. 在-4x4 上给出 的等距节点函数表，若用二次插值法求 的近似值，要使误差不超过 ，函数表的步长 h应取多少?解：用误差估计式（5.8） ，令因得3. 若 ，求
3、 和 .解：由均差与导数关系于是4. 若 互异，求的值，这里 pn+1.解： ，由均差对称性可知当 有而当 Pn1 时于是得5. 求证 .解：解：只要按差分定义直接展开得6. 已知 的函数表求出三次 Newton均差插值多项式，计算 f(0.23)的近似值并用均差的余项表达式估计误差.解：根据给定函数表构造均差表由式(5.14)当 n=3时得 Newton均差插值多项式N3(x)=1.0067x+0.08367x(x-0.2)+0.17400x(x-0.2)(x-0.3)由此可得f(0.23) N3(0.23)=0.23203由余项表达式(5.15)可得由于7. 给定 f(x)=cosx的函数
4、表用 Newton等距插值公式计算 cos 0.048及 cos 0.566的近似值并估计误差解：先构造差分表计算 ，用 n=4得 Newton前插公式误差估计由公式（5.17）得其中计算 时用 Newton后插公式（5.18)误差估计由公式（5.19）得这里 仍为 0.5658 求一个次数不高于四次的多项式 p(x),使它满足解：这种题目可以有很多方法去做，但应以简单为宜。此处可先造 使它满足，显然 ，再令p(x)=x2(2-x)+Ax2(x-1)2由 p(2)=1求出 A ，于是9. 令 称为第二类 Chebyshev多项式，试求 的表达式，并证明 是-1,1上带权 的正交多项式序列。解：
5、因10. 用最小二乘法求一个形如 的经验公式，使它拟合下列数据，并计算均方误差.解：本题给出拟合曲线 ，即 ，故法方程系数法方程为解得最小二乘拟合曲线为均方程为11. 填空题(1) 满足条件 的插值多项式 p(x)=( ).(2) ,则 f1,2,3,4=( )，f1,2,3,4,5=( ).(3) 设 为互异节点， 为对应的四次插值基函数，则 ( )， ( ).(4) 设 是区间0,1上权函数为 (x)=x 的最高项系数为 1的正交多项式序列，其中 ，则( )， ( )答：（1）（2）（3）（4）第 4章 数 值 积 分与数值微分习题 41. 分别用复合梯形公式及复合 Simpson公式计算下列积分.解 本题只要根据复合梯形公式（6.11）及复合 Simpson公式（6.13）直接计算即可。对 ，取 n=8,在分点处计算 f(x)的值构造函数表。按式（6.11）求出 ，按式（6.13）求得 ，积分2. 用 Simpson公式求积分 ，并估计误差解：直接用 Simpson公式（6.7）得由（6.8）式估计误差，因 ，故3. 确定下列求积公式中的待定参数，使其代数精确度尽量高，并指明求积公式所具有的代数精确度.(1) (2) (3) 解：本题直接利用求积公式精确度定义，则可突出求积公式的参数。（1）令 代入公式两端并使其相等，得
