函数奇偶性、对称性、周期性知识点总结.doc

1、 抽象函数的对称性、奇偶性与周期性常用结论一.概念: 抽象函数是指没有给出具体的函数解析式或图像,只给出一些函数符号及其满足的条件的函数,如函数的定义域,解析递推式,特定点的函数值,特定的运算性质等,它是高中函数部分的难点,也是大学高等数学函数部分的一个衔接点,由于抽象函数没有具体的解析表达式作为载体,因此理解研究起来比较困难，所以做抽象函数的题目需要有严谨的逻辑思维能力、丰富的想象力以及函数知识灵活运用的能力 1、周期函数的定义：对于 定义域内的每一个 ，都存在非零常数 ，使得 恒成立，()fxxT()(fxTf则称函数 具有周期性， 叫做 的一个周期，则 （ ）也是T()fk,0Zk)fx

2、的周期，所有周期中的最小正数叫 的最小正周期。x分段函数的周期：设 是周期函数，在任意一个周期内的图像为 C:)(fy ),(xfy。把 个单位即按向量abTx, )(abKTx轴 平 移沿在其他周期的图像：)()0,(fyka平 移 ， 即 得。bkTxfy,bkTa, x)()ff2、奇偶函数：设 baxfy ,)或若 为 奇 函 数 ；则 称 )()(fyf若 。为 偶 函 数则 称 x分段函数的奇偶性3、函数的对称性：（1）中心对称即点对称：点 对 称 ；关 于 点与 ),()2,(),( baybxaByxA 对 称 ；关 于与点 成 中 心 对 称 ；关 于 点与函 数 (xff

3、成 中 心 对 称 ；关 于 点与函 数 ),()(b 成 中 心 对 称 。关 于 点与（函 数 02,0, baybaFyx（2）轴对称：对称轴方程为： 。CBAx 关于)(2,)(),(),( 22/ BACyxyBA 与点直线 成 轴 对 称 ；0CByAx函数 关于直线)(2)(2)( 22 BACyxfBACyxyxf 与成轴对称。yx 关于直线0)(,)(0),( 22 yxyxF与成轴对称。CByAx二、函数对称性的几个重要结论（一）函数 图象本身的对称性（自身对称）)(xfy若 ，则 具有周期性；若 ，则(fab()fx()()faxfbx具有对称性：“内同表示周期性，内反表

4、示对称性” 。)fx1、 图象关于直线 对称)()(xbfaf)(xfy2)(baxax推论 1： 的图象关于直线 对称a推论 2、 的图象关于直线 对称)2()xfxf )(xfyax推论 3、 的图象关于直线 对称2、 的图象关于点 对称cxbfaf)()()(xfy),2(cb推论 1、 的图象关于点 对称ba2a推论 2、 的图象关于点 对称xfx)()(xfy),(b推论 3、 的图象关于点 对称（二）两个函数的图象对称性（相互对称） （利用解析几何中的对称曲线轨迹方程理解）1、偶函数 与 图象关于 Y 轴对称)(xfy)(xf2、奇函数 与 图象关于原点对称函数3、函数 与 图象关

5、于 X 轴对称)(xfy()fx4、互为反函数 与函数 图象关于直线 对称)(xfy1()yfxyx5.函数 与 图象关于直线 对称 afbf 2ab推论 1:函数 与 图象关于直线 对称)(xfy)(xafy0x推论 2:函数 与 图象关于直线 对称2a推论 3:函数 与 图象关于直线 对称)(xfy)(xfyx（三）抽象函数的对称性与周期性1、抽象函数的对称性性质 1 若函数 yf(x)关于直线 xa 轴对称，则以下三个式子成立且等价：（1）f(ax)f(ax) （2）f(2ax)f(x) （3）f(2ax)f(x)性质 2 若函数 yf(x)关于点（a，0）中心对称，则以下三个式子成立且

6、等价：（1）f(ax)f(ax)（2）f(2ax)f(x)（3）f(2ax)f(x)易知，yf(x)为偶（或奇）函数分别为性质 1（或 2）当 a0 时的特例。2、复合函数的奇偶性定义 1、 若对于定义域内的任一变量 x，均有 fg(x)fg(x)，则复数函数 yfg(x)为偶函数。定义 2、 若对于定义域内的任一变量 x，均有 fg(x)fg(x)，则复合函数 yfg(x)为奇函数。说明：（1）复数函数 fg(x)为偶函数，则 fg(x)fg(x)而不是 fg(x)fg(x)，复合函数 yfg(x)为奇函数，则 fg(x)fg(x)而不是fg(x)fg(x)。（2）两个特例：yf(xa)为偶

7、函数，则 f(xa)f(xa)；yf(xa)为奇函数，则 f(xa)f(ax)（3）yf(xa)为偶（或奇）函数，等价于单层函数 yf(x)关于直线xa 轴对称（或关于点（a，0）中心对称）3、复合函数的对称性性质 3 复合函数 yf(ax)与 yf(bx)关于直线 x（ba）/2 轴对称性质 4、复合函数 yf(ax)与 yf(bx)关于点（ba）/2，0）中心对称推论 1、 复合函数 yf(ax)与 yf(ax)关于 y 轴轴对称推论 2、 复合函数 yf(ax)与 yf(ax)关于原点中心对称4、函数的周期性若 a 是非零常数，若对于函数 yf(x)定义域内的任一变量 x 点有下列条件之

8、一成立，则函数 yf(x)是周期函数，且 2|a|是它的一个周期。f(xa)f(xa) f(xa)f(x)f(xa)1/f(x) f(xa)1/f(x)5、函数的对称性与周期性性质 5 若函数 yf(x)同时关于直线 xa 与 xb 轴对称，则函数 f(x)必为周期函数，且 T2|ab|性质 6、若函数 yf(x)同时关于点（a，0）与点（b，0）中心对称，则函数 f(x)必为周期函数，且 T2|ab|性质 7、若函数 yf(x)既关于点（a，0）中心对称，又关于直线 xb 轴对称，则函数 f(x)必为周期函数，且 T4|ab|6、函数对称性的应用（1）若 ,即kyhxkhxf 2,),)(

9、/ 对 称 ， 则关 于 点 （ xffx2)(/ nkxfxfnnn )()()() 1121 （2）例题1、 ;)()21)( faxfx） 对 称 ：，关 于 点 （ 2)(0124)(1 xffx ） 对 称 ：，关 于 （ 1(21),( ffxRf （） 对 称 ：，关 于 （2、奇函数的图像关于原点（0，0）对称： 。0)(x3、若 的图像关于直线(),)()2() fyafxfafxf 则或对称。设ax个 不 同 的 实 数 根 ， 则有 n0.naxxxx nn )2()2()(1121 ,( 1aak时 ， 必 有当（四）常用函数的对称性三、函数周期性的几个重要结论1、 (

10、 ) 的周期为 ， ( )也是函数的周期()fxTf0)(xfyTkZ2、 的周期为ab ab3、 的周期为)()(xfxf)(xfy24、 的周期为)(1faffaT5、 的周期为)(xfxf)(xfy26、 的周期为)(1)(faf)(faT37、 的周期为)()(xfxf )(xfy28、 的周期为)(1)(faf)(faT49、 的周期为2xfxf)(xfy610、若 .2,)()(,0pTpfp则11、 有两条对称轴 和 周期xyaxb()a)(xfy)(2abT推论：偶函数 满足 周期)(f)(xff12、 有两个对称中心 和 周期xfy0,()(xfy)(推论：奇函数 满足 周期

11、)(f)(xaffaT413、 有一条对称轴 和一个对称中心 的xfyx)0,(b()fx)(b四、用函数奇偶性、周期性与对称性解题的常见类型灵活应用函数奇偶性、周期性与对称性，可巧妙的解答某些数学问题，它对训练学生分析问题与解决问题的能力有重要作用.下面通过实例说明其应用类型。1.求函数值例 1.（1996 年高考题）设 是 上的奇函数， 当)(xf),),()2(xff时， ，则 等于（-0.5）10xxf)()5.7(f（A）0.5; （B）-0.5; （C）1.5; （D）-1.5.例 2 （1989 年北京市中学生数学竞赛题）已知 是定义在实数集上的函数，且)(xf， 求 的值. 。

12、)(1)(xffxf,321f19823)198(f2、比较函数值大小例 3.若 是以 2 为周期的偶函数，当 时， 试比较)(Rf,0x,)(198xf、 、 的大小.)198(f70154f解： 是以 2 为周期的偶函数，又 在 上是增函数，)(xf198)(xf,且 ，60 ).1504()(70,54)196(7 ffff 即3、求函数解析式例 4.（1989 年高考题）设 是定义在区间 上且以 2 为周期的函数，对)(xf ),(，用 表示区间 已知当 时， 求 在 上的解ZkkI,12,(k0Ix.xf)(fkI析式.解：设 1212),12( kkx时，有 0I22 )()(xf

13、xxf 得由是以 2 为周期的函数， .)(xf ,)( kkf例 5设 是定义在 上以 2 为周期的周期函数，且 是偶函数，在区),()(xf间 上， 求 时， 的解析式.3,2.43)(2xf ,1x)(xf解：当 ，即 ，,4)3(2)(2)() 22xxfxf又 是以 2 为周期的周期函数，于是当 ，即 时，,1243x).2(4)(243)()(2xxf有 .1(24、判断函数奇偶性例 6.已知 的周期为 4，且等式 对任意 均成立，)(xf )2()(xffR判断函数 的奇偶性.解：由 的周期为 4，得 ，由 得)(xf )()xff )2()(xff， 故 为偶函数.,(x5、确

14、定函数图象与 轴交点的个数例 7.设函数 对任意实数 满足 ， )(xf )2()(xff)7(f判断函数 图象在区间 上与 轴至少有多少个交点.,0)7(xf且 )(xf30,解：由题设知函数 图象关于直线 和 对称，又由函数的性质得x是以 10 为周期的函数.在一个周期区间 上，)(xf 1, ,)(0)(2()2()4,0 不 能 恒 为 零且 xfffff故 图象与 轴至少有 2 个交点.(x而区间 有 6 个周期，故在闭区间 上 图象与 轴至少有 13 个3,3,)(xf交点.6、在数列中的应用例 8.在数列 中， ，求数列的通项公式，并计算na)2(1,31nan.197951a分

15、析：此题的思路与例 2 思路类似.解：令 则,1tg)4(1tga 4)1(1,4)1( )2()(4123 ntgantgattannn 于 是不难用归纳法证明数列的通项为： ，且以 4 为周期.4(tn于是有 1，5，9 1997 是以 4 为公差的等差数列，由 得总项数为 500 项，197aa 4)1(n.3501951 7、在二项式中的应用例 9.今天是星期三，试求今天后的第 天是星期几？92分析：转化为二项式的展开式后，利用一周为七天这个循环数来进行计算即可.解： 1911)19(2 290292902 CC)37( )37()37()37(912 2099 C因为展开式中前 92

16、 项中均有 7 这个因子，最后一项为 1，即为余数，故 天为星期四.928、复数中的应用例 10.（上海市 1994 年高考题）设 ，则满足等式)(231是 虚 数 单 位iz且大于 1 的正整数 中最小的是,znn（A） 3 ； （B）4 ； （C）6 ； （D）7.分析：运用 方幂的周期性求值即可.iz23解： ，10)1(, nnn z)(.4)(,1.3 ),3,3minBnkNNkz故 选 择最 小时 即的 倍 数必 须 是9、解“立几”题例 11.ABCD 是单位长方体，黑白二蚁都从点 A 出发，沿棱向前爬行，每走1DCBA一条棱称为“走完一段” 。白蚁爬行的路线是 黑蚁爬行的路线

17、是,11D它们都遵循如下规则：所爬行的第 段所在直线与第 段所在直线必.1AB 2ii须是异面直线（其中 .设黑白二蚁走完第 1990 段后，各停止在正方体的某个顶点处，)Ni这时黑白蚁的距离是 （A）1； （B） ；（C） ； （D）0.23解：依条件列出白蚁的路线 CBA111立即可以发现白蚁走完六段后又回到了 A 点.可验证知：黑白二蚁,1走完六段后必回到起点，可以判断每六段是一个周期.1990=6 ，因此原问题就转化为考虑黑白二蚁走完四段后的位置，不难计算出43在走完四段后黑蚁在 点，白蚁在 C 点，故所求距离是1D.2例题与应用例 1：f(x) 是 R 上的奇函数 f(x)= f(x

18、+4) ，x0，2时 f(x)=x，求 f(2007) 的值 例 2：已知 f(x)是定义在 R 上的函数，且满足 f(x+2)1f(x)=1+f(x)，f(1)=2，求f(2009) 的值 。故 f(2009)= f(2518+1)=f(1)=2例 3：已知 f(x)是定义在 R 上的偶函数，f(x)= f(4-x)，且当 时，f(x)0,2x=2x+1，则当 时求 f(x)的解析式6,4x例 4：已知 f(x)是定义在 R 上的函数，且满足 f(x+999)= ，f(999+x)=f(999x)，)(1xf试判断函数 f(x)的奇偶性.例 5：已知 f(x)是定义在 R 上的偶函数，f(x

19、)= f(4-x)，且当 时，f(x)是0,2x减函数，求证当 时 f(x)为增函数6,4x例 6：f(x)满足 f(x) =-f(6-x)，f(x)= f(2-x)，若 f(a) =-f(2000)，a5，9且f(x)在5，9上单调.求 a 的值. 例 7：已知 f(x)是定义在 R 上的函数，f(x)= f(4x)，f(7+x)= f(7x),f(0)=0，求在区间1000，1000上 f(x)=0 至少有几个根？解：依题意 f(x)关于 x=2，x=7 对称，类比命题 2（2）可知 f(x)的一个周期是 10故 f(x+10)=f(x) f(10)=f(0)=0 又 f(4)=f(0)=

20、0即在区间(0，10上，方程 f(x)=0 至少两个根又 f(x)是周期为 10 的函数，每个周期上至少有两个根，因此方程 f(x)=0 在区间1000，1000上至少有 1+ =401 个根.102例 1、 函数 yf(x)是定义在实数集 R 上的函数，那么 yf(x4)与yf(6x)的图象之间（D ）A关于直线 x5 对称 B关于直线 x1 对称C关于点（5，0）对称 D关于点（1，0）对称解：据复合函数的对称性知函数 yf(x4)与 yf(6x)之间关于点（64）/2，0）即（1，0）中心对称，故选 D。（原卷错选为 C）例 2、 设 f(x)是定义在 R 上的偶函数，其图象关于 x1

21、对称，证明 f(x)是周期函数。（2001 年理工类第 22 题）例 3、 设 f(x)是（，）上的奇函数，f(x2)f(x)，当0x1 时 f(x)x，则 f(7.5)等于（-0.5）（1996 年理工类第 15 题）例 4、 设 f(x)是定义在 R 上的函数，且满足 f(10x)f(10x)，f(20x)f(20x)，则 f(x)是（C ）A偶函数，又是周期函数 B偶函数，但不是周期函数C奇函数，又是周期函数 D奇函数，但不是周期函数六、巩固练习1、函数 yf(x)是定义在实数集 R 上的函数，那么 yf(x4)与 yf(6x)的图象（ ）。A关于直线 x5 对称 B关于直线 x1 对称

22、C关于点（5，0）对称 D关于点（1，0）对称2、设 f(x)是（，）上的奇函数，f(x2)f(x)，当 0x1 时，f(x)x，则 f(7.5)=（ ）。A0.5 B0.5 C1.5 D1.53、设 f(x)是定义在（，）上的函数，且满足 f(10x)f(10x)，f(20x)f(20x)，则 f(x)是（ ）。A偶函数，又是周期函数 B偶函数，但不是周期函数C奇函数，又是周期函数 D奇函数，但不是周期函数4、f(x)是定义在 R 上的偶函数，图象关于 x1 对称，证明 f(x)是周期函数。参考答案：D，B，C，T2。5、在数列 求 =-11221(*)n nnxxN 中 ， 已 知 ， ， 10x