1、振动力学习题集（含答案）1.1 质量为 m 的质点由长度为 l、质量为 m1 的均质细杆约束在铅锤平面内作微幅摆动，如图 E1.1 所示。求系统的固有频率。mlm1x图 E1.1解：系统的动能为： 212xIlmT其中 I 为杆关于铰点的转动惯量： 210212013ldlxdlI则有： 212126xlmlmlT系统的势能为： 2121241 coscosglxglxllU利用 和 可得：xnTlmn1321.2 质量为 m、半径为 R 的均质柱体在水平面上作无滑动的微幅滚动，在 CA=a 的 A点系有两根弹性刚度系数为 k 的水平弹簧，如图 E1.2 所示。求系统的固有频率。k kACaR
2、 图 E1.2解：如图，令 为柱体的转角，则系统的动能和势能分别为： 2222 4311 mRmRITB22akakU利用 和 可得：n mkRakn 343421.3 转动惯量为 J 的圆盘由三段抗扭刚度分别为 ， 和 的轴约束，如图 E1.3 所1k23示。求系统的固有频率。k1 k2 k3J图 E1.3解：系统的动能为： 21JT和 相当于串联，则有：2k3 3232 ,k以上两式联立可得： 32323 ,kk系统的势能为： 232123221 kkU利用 和 可得：nT3213kJn1.4 在图 E1.4 所示的系统中，已知 ，横杆质量不计。求固有bamik , 32,1 和频率。k2
3、k1a bk3mmgbaF2mga bx1 x2x0mgbF1图 E1.4 答案图 E1.4解：对 m 进行受力分析可得：，即3xkmg3kmg如图可得： 2211 ,kbaFxkbaFxmg212110kkbax0321230 则等效弹簧刚度为： 21323121kkke 则固有频率为： 21321 bkabakmen1.7 质量 在倾角为 的光滑斜面上从高 h 处滑下无反弹碰撞质量 ，如图 E1.7 所1m2m示。确定系统由此产生的自由振动。hkm1m2x0x2xx12图 E1.7 答案图 E1.7解：对 由能量守恒可得（其中 的方向为沿斜面向下）：1m1v，即21mghghv对整个系统由
4、动量守恒可得：，即021v21令 引起的静变形为 ，则有：2m2x，即2sinkxgkgmsin2令 + 引起的静变形为 ，同理有：1212kxsi21得： gmin1210则系统的自由振动可表示为： txtxnnsico00其中系统的固有频率为： 21mkn注意到 与 方向相反，得系统的自由振动为：0vx tvtxnnsico001.9 质量为 m、长为 l 的均质杆和弹簧 k 及阻尼器 c 构成振动系统，如图 E1.9 所示。以杆偏角 为广义坐标，建立系统的动力学方程，给出存在自由振动的条件。若在弹簧原长处立即释手，问杆的最大振幅是多少？发生在何时？最大角速度是多少？发生在何时？是否在过静
5、平衡位置时？kacO aklc图 E1.9 答案图 E1.9解：利用动量矩定理得：，lcakI 231mlI，0322lml 2lkan，nlc233 12mklcmcn，aklg020kagl1.12 面积为 S、质量为 m 的薄板连接于弹簧下端，在粘性流体中振动，如图 E1.12 所示。作用于薄板的阻尼力为 ，2S 为薄板总面积，v 为速度。若测得薄板无阻尼Fd自由振动的周期为 ，在粘性流体中自由振动的周期为 。求系数 。0TdT图 E1.12解：平面在液体中上下振动时： 02kxSxm，0TkndndT21，nnmSmS 2kS22k221200202 TSmkTdd 2.1 图 E2.
6、2 所示系统中，已知 m，c， ， ， 和 。求系统动力学方程和稳态响1k20F应。c1 c2k1 k2 x2x1mk2 c2k1 c1mx1mxk2c21x1图 E2.1 答案图 E2.1(a) 答案图 E2.1(b)解：等价于分别为 和 的响应之和。先考虑 ，此时右端固结，系统等价为图（a） ，受1x21x力为图（b） ，故： xckckm 12121 （1）tAxcossin， ，2121kmn21（1）的解可参照释义（2.56） ，为： （2）22112211 cossintkstkAtY 其中：，ns121stg21212121 kckcs 2121121 12122 kcmk 故（
7、2）为： 212112211212111 sincossintcmkAtAtktxmkctgkmctgstg 2112121121 12ct考虑到 的影响，则叠加后的 为：tx2 tx iiii iiii kctgmkctgcmkAt 1211 2122 sn2.1 一弹簧质量系统沿光滑斜面作自由振动，如图 T 2-1 所示。已知， ，m = 1 30kg，k = 49 N/cm，开始运动时弹簧无伸长，速度为零，求系统的运动规律。mk mgx0 x图 T 2-1 答案图 T 2-1解：， cm0sinkxmg1.04928.1sinkmgrad/s710492ncmttxncos.cos02.2 如图 T 2-2 所示，重物 悬挂在刚度为 k 的弹簧上并处于静平衡位置，另一重物1W从高度为 h 处自由下落到 上而无弹跳。求 下降的最大距离和两物体碰撞后的运动2W2规律。khW2W1 xx0x1x12平衡位置图 T 2-2 答案图 T 2-2解：， 221vghgh动量守恒：，122vWvg21平衡位置：，1kx1，21k2故： Wx21202121kgkn 故： tvtxxnnsico 1200
