二项式定理经典习题及答案.doc

1、二项式定理1. 求 展开式的：()x291（1）第 6 项的二项式系数；（2）第 3 项的系数；（3） 的系数。x9分析：（1）由二项式定理及展开式的通项公式易得：第 6 项的二项式系数为 ；C95126（2） ，故第 3 项的系数为 9；TCx3927219()（3） ，令 ，故 r3，所Cxrrrrrr 19918()r求系数是 ()2392. 求证： 能被 7 整除。51分析： ，42149249215501505105() C除 以外各项都能被 7 整除。C51又 C51371701761762 ()显然能被 7 整除，所以 能被 7 整除。153. 求 除以 100 的余数。92分析

2、： 19090902291212()由此可见，除后两项外均能被 100 整除，而 C8108故 除以 100 的余数为 81。924.（2009 北京卷文）若 4(12)(,ab为有理数） ，则 ab A33 B 29 C23 D19【答案】B.w【解析】本题主要考查二项式定理及其展开式. 属于基础知识、基本运算的考查. 4012344442CC1287，由已知，得 72ab， 719.故选 B.5.（2009 北京卷理）若 5()(,为有理数） ，则 ab （ ）A45 B55 C70 D80【答案】C【解析】本题主要考查二项式定理及其展开式. 属于基础知识、基本运算的考查.50123455

3、5551222CC152024129，由已知，得 49ab， 470.故选 C.6. 已知 的展开式中，前三项系数的绝对值依次成等差数列。()xn（1）证明展开式中没有常数项；（2）求展开式中所有的有理项。分析：依条件可得关于 n 的方程求出 n，然后写出通项 ，讨论常数项和有理项对 rTr1的限制。解：依题意，前三项系数的绝对值分别为 1， 且Cnn2()()，2112Cnn()()即 2980解得 n8 或 n1（舍去） TxCxrrrrrr1848163422()(（1）若 为常数项，当且仅当 ，即 ，而 ，这不可能，故r1 0rrZ展开式中没有常数项。（2）若 为有理数，当且仅当 为整

4、数。Tr11634r08Z，即展开式中的有理项共有三项，r4, TxxTx1459238156， ，7. （1）如果 1227nnCC ，则 012nnnC （答：128） ；（2）化简 023()n n （答： ()）已知 9291()xaxax ，则 0129|aa 等于_（答： 4） ；（2） 20 2421 ，则 002()()0()a_（答：2004） ；（3）设 nn xaxax10,则 na220 _（答：23n） 。8 （湖南理 15）将杨辉三角中的奇数换成 1，偶数换成 0，得到如图 1 所示的 0-1 三角数表从上往下数，第 1 次全行的数都为 1 的是第 1 行，第 2

5、次全行的数都为 1 的是第 3 行，第 次全行的数都为 1 的是第 行；第 61 行中 1 的个数是 n第 1 行 1 1第 2 行 1 0 1第 3 行 1 1 1 1 第 4 行 1 0 0 0 1 第 5 行 1 1 0 0 1 1 图 1【答案】 ，322n9 （04. 上海春季高考）如图，在由二项式系数所构成的杨辉三角形中，第_34 _行中从左至右第 14 与第 15 个数的比为 .3:210.（2009 江西卷理） (1)naxby展开式中不含 x的项的系数绝对值的和为 243，不含y的项的系数绝对值的和为 32，则 ,的值可能为A 2,5abn B 2,1,6bn C 16 D

6、5a . . 答案：D【解析】 5()243nb， 5(1)32n，则可取 1,25abn，选 D11.(2009 湖北卷理)设 22012.nxaxx（ ，则0241351lim(.)(.)nna .1AB .C D 【答案】B【解析】令 0x得 21()na令 1时 20122()n na令 x时 a两式相加得：22022(1)()nnn两式相减得：221321()(1)nnnaa代入极限式可得，故选 B12.（2009 湖北卷文）已知（1+ax） 3,=1+10x+bx3+a3x3,则 b= . .【答案】40【解析】因为 15()rrrTCax .解得 2,40b第 0 行 1第 1

7、行 1 1第 2 行 1 2 1第 3 行 1 3 3 1第 4 行 1 4 6 4 1第 5 行 1 5 10 10 5 1 13.（2009 四川卷文） 61(2)x的展开式的常数项是 （用数字作答）m 【答案】20【解析】 rrrrr xCCT 2661 )1()( ，令 0r，得 3故展开式的常数项为 20314.(2009 湖南卷理)在 33()()()x的展开式中， 的系数为_7_(用数字作答)【答案】：7 . 【解析】由条件易知 333(1),),(1)xx展开式中 x项的系数分别是 123C,，即所求系数是 715.（2009 浙江卷理）观察下列等式：1532C，9739，15

8、15332，971777C，由以上等式推测到一个一般的结论：对于 *nN， 15941414nnnC . .答案： 4122【解析】这是一种需类比推理方法破解的问题，结论由二项构成，第二项前有 1n，二项指数分别为 412,n，因此对于 *nN， 1594414nnnC412n16.在(x 23x2) 5 的展开式中，x 的系数为A.160 B.240 C.360 D.80017.已知 S 在 S 的展开式中，x 3 项1031021010 )(C)()(C)( x的系数为A. 413B. 71025100C.0D.118.(2002 年全国高考题)( x2+1)(x-2)7 的展开式中 x3

9、 项的系数是_.答案: 100819. 展开式中 x4 的系数为54)1(xA.40 B.10 C.40 D.4520.已知( 3x 2)n展开式中各项系数和比各项的二项式系数和大 992.(1)求展开式中二项式系数最大的项；(2)求展开式中系数最大的项.答案：(1) 32632405)(70xx21.设 ，则 。Nn 11 6nnnCC解：由二项式定理得 ，即nn)61(321 ，故原式 。nnnnC7)66(2321 )7(22. 在 的二项展开式中，含 的奇次幂的项之和为 ，当 时， 等于06)xxS2xS（ ）A. B. C. D.308230823093092解：令 ，2065216

10、)( xaxaxx 取 ，分别得,0)()2( 26310 a 39xa两式相减得 0820531)()( 故选 B 项。23. 农民收入由工资性收入和其它收入两部分构成。2003 年某地区农民人均收入为 3150 元（其中工资性收入为 1800 元，其它收入为 1350 元） ，预计该地区自 2004 年起的 5 年内，农民的工资性收入将以每年 6%的年增长率增长，其它收入每年增加 160 元。根据以上数据，2008 年该地区农民人均收入介于（ ）A.4200 元 4400 元 B.4400 元 4600 元C.4600 元 4800 元 D.4800 元 5000 元解：2008 年农民工

11、资性收入为 )06.01(8)06.1(8 2555 C)3.（元）246又 2008 年农民其它人均收入为 （元）1故 2008 年农民人均总收入约为 （元） 。50故选 B 项。24.（2003）已知数列 （n 为正整数）是首项是 a1，公比为 q 的等比数列， （1）求和：a， ；（2）由（1）的结果归纳概括出关于231201Ca 342312031Ca正整数 n 的一个结论，并加以证明。（1） ；21230 )(a；（2）归纳概括的结论为：若数列 是首1343203 )q(a na项为 a1，公比为 q 的等比数列，则 1nn4231n0 C)(aa ，证明略)Nn(25.（2007

12、湖北文、理）如果 的展开式中含有非零常数项，则正整数 n 的最x32小值为（ B ）A.3 B.5 C.6 D.1026 （2007 江苏）若对于任意实数 ，有 ，则x3 2301()()()axax的值为（B）2aA B C D369227 （2007 江西文）设(x 21)(2x1) 9a 0a 1(x2)a 2(x2) 2a 11(x2) 11，则a0a 1a 2 a 11 的值为（ ）A2 B1 C1 D228 （2007 江西理）已知( )n 展开式中，各项系数的和与其各项二项式系数的和x3之比为 64，则 n 等于（ C ）A4 B5 C 6 D729. (2007 安徽文)已知

13、,则(5432105)1( xaxaa的值等于 -256 .3420a30.（2005 浙江卷理第 5 题）在(1 x)5(1 x)6(1 x)7(1 x)8的展开式中，含 x3的项的系数是( )(A) 74 (B) 121 (C) 74 (D) 121答案：D10求 展开式中系数最大的项；84)21(x解：记第 项系数为 ，设第 项系数最大，则有rrTk又 ，那么有1kT182.rCkk.2.882即 )!8(2)!9.(1210.!)!( KK2解得 ， 系数最大的项为第 3 项 和第 4 项 。43k 257xT27xT（1） 系数绝对值最大的项例 11在（ 的展开式中，系数绝对值最大项

14、是 ；7)yx解：求系数绝对最大问题都可以将“ ”型转化为 型来处理，nba)(“)(nba故此答案为第 4 项 ，和第 5 项 。437C527yx31 （99 全国）若 ，43210)2(xax则 的值为 ；231240)()(aa解： 430 xaxx令 ，有 ，121令 ，有 )()()2( 31404故原式= .2310aa= 44.= )(32 （04 天津）若 ，2042102.)( xxx则 ；)(.04010 aaa解： ，24.令 ，有x 1)( 204102令 ，有 4故原式= =2210 3).aa在用“赋值法”求值时，要找准待求代数式与已知条件的联系，一般而言： 特0

15、,1殊值在解题过程中考虑的比较多。33设 ，0156.)2( xx则 ；6210aa分析：解题过程分两步走；第一步确定所给绝对值符号内的数的符号；第二步是用赋值法求的化简后的代数式的值。解： rrrxTC)(61654321020. aaaa = )()3164=034. (江苏省启东中学 2008 年高三综合测试一)若(1+mx) 6=a0+a1x+a2x2+a6x6 且a1+a2+a6=63,则实数 m 的值为（ ）A. 1 B. -1 C. -3 D. 1 或-3 答案：D35. (广东省深圳外国语学校 2008 届第三次质检)若52105 )1(.)1()()( xaxaax，则 0a

16、= （ ）A32 B1 C-1 D-32答案：A36. (河北省正定中学 2008 年高三第五次月考) 若二项式 23nx*()N展开式中含有常数项，则 n的最小取值是 （ ）A 5 B 6 C 7 D 8答案：C37.(黑龙江省哈尔滨九中 2008 年第三次模拟考试) 设 1+（ 1+x） 2+（1+2x） 2+（1+3x）2+（1+ nx） 2=a0+a1x+a2x2，则 120limn的值是（ ）A0 B C1 D212答案：C38.(湖南省长沙市一中 2008 届高三第六次月考 )代数式 52)1(4(xx的展开式中，含 4x项的系数是A30 B30 C70 D90答案：A39. （0

17、8 年辽宁卷 15）已知 的展开式中没有常数项， ，且231(1)nxxn*N2n8，则 n=_分析：本小题主要考查二项式定理中求特定项问题。依题 对 中，31()nx*,28只有 时，其展开式既不出现常数项，也不会出现与 、 乘积为常数的项。故填5 25。40(04 天津) 若 ,则2041x )(04221 Raxa.0300a解析：直接展开由各项系数求解将误入歧途。二项式定理既是公式，又可视为方程式或恒等式，故可用多项式恒等理论和赋值法去求解。解：取 得 ；,x0 1204210故原式= )(2304a41.（2009 北京卷理）若 512)(,b为有理数） ，则 ab （ ）A45 B

18、55 C70 D80【答案】C【解析】本题主要考查二项式定理及其展开式. 属于基础知识、基本运算的考查.501234555551222CC0419，由已知，得 49ab， 70.故选 C.42.（2009 江西卷理） (1)nxy展开式中不含 x的项的系数绝对值的和为 43，不含y的项的系数绝对值的和为 32，则 ,的值可能为A 2,5abn B 2,1,6n C 16 D 5ab . 答案：D【解析】 5()243nb， 5(1)32n，则可取 1,25abn，选 D43.（2009 陕西卷文）若 2092091()xxxR ,则20912aa 的值为（A）2 （B）0 （C） 1 (D)

19、2 答案:C. . 解析:由题意容易发现 1 208208208209 9()29 ,()()9aCa,则081,+=即, 同理可以得出 207+=a,3206+=亦即前 2008 项和为 0, 则原式= 20912aa =2090()1C故选 C.44.（2009 浙江卷理）观察下列等式：1532C，9739，1515332，971777C，由以上等式推测到一个一般的结论：对于 *nN， 15941414nnnC . 答案： 4122【解析】这是一种需类比推理方法破解的问题，结论由二项构成，第二项前有 1n，二项指数分别为 412,n，因此对于 *nN， 1594414nnnC412n45.（安徽卷 6）设 则 中奇数的个数为（A 8801(),xaxa 0,18a）A2 B3 C4 D546.（浙江卷 4）在 的展开式中，含 的项的系数)()(2)( 4x是 A（A）-15 （B）85 （C）-120 （D ）274