平面向量知识点总结.doc

1、平面向量基础知识复习1平面向量知识点小结一、向量的基本概念1.向量的概念：既有大小又有方向的量，注意向量和数量的区别.向量常用有向线段来表示.注意：不能说向量就是有向线段，为什么？ 提示：向量可以平移.举例 1 已知 ， ，则把向量 按向量 平移后得到的向量是_. 结果：(,2)A(4,)BAB(1,3)a (3,0)2.零向量：长度为 0 的向量叫零向量，记作： ，规定：零向量的方向是任意的；03.单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量（与 共线的单位向量是 ）AB|AB；4.相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性；5.平行向量（也叫共线向量）：方向相同或

2、相反的非零向量 、 叫做平行向量，记作：ab ，ab规定：零向量和任何向量平行.注：相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等；两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线，但两条直线平行不包含两条直线重合；平行向量无传递性！（因为有 )；0三点 共线 共线.ABC、 、 ABC、6.相反向量：长度相等方向相反的向量叫做相反向量. 的相反向量记作 .aa举例 2 如下列命题：（1）若 ，则 .|aba（2）两个向量相等的充要条件是它们的起点相同，终点相同.（3）若 ，则 是平行四边形 .ABDAB（4）若 是平行四边形，则 .CDC（5）若 ， ，则 .abca

3、（6）若 ， 则 .其中正确的是 . 结果：（4） （5）/二、向量的表示方法1.几何表示：用带箭头的有向线段表示，如 ，注意起点在前，终点在后；AB2.符号表示：用一个小写的英文字母来表示，如 ， ， 等；abc3.坐标表示：在平面内建立直角坐标系，以与 轴、 轴方向相同的两个单位向量xy为基底，则平面内的任一向量 可表示为 ，称 为向量 的坐标，,ij a(,)ij(,)xya叫做向量 的坐标表示.()axya结论：如果向量的起点在原点，那么向量的坐标与向量的终点坐标相同.三、平面向量的基本定理定理 设 同一平面内的一组基底向量， 是该平面内任一向量，则存在唯一实数对12,e a，使 .1

4、2(,)a（1）定理核心： ；（2）从左向右看，是对向量 的分解，且表达式唯一；反之，是对向量 的合成.1e a（3）向量的正交分解：当 时，就说 为对向量 的正交分解,12aea举例 3 （1）若 ， ， ，则 . 结果： .(,)a()b(,)cc132ab（2）下列向量组中，能作为平面内所有向量基底的是 BA. ， B. ， C. ， D. ，1(0,)e2(,)e1(,2)e(5,7)e1(3,5)e2(6,0)e1(2,3)e213,4e（3）已知 分别是 的边 ， 上的中线,且 ， ,则 可用向量 表示为 . 结ADEABC ACADaBEbCab果： .24ab（4）已知 中，点

5、 在 边上，且 ， ，则 的值是 . 结果：0.B 2DBrsrs平面向量基础知识复习2四、实数与向量的积实数 与向量 的积是一个向量，记作 ，它的长度和方向规定如下：aa（1）模： ；|（2）方向：当 时， 的方向与 的方向相同，当 时， 的方向与 的方向相0a 0a反，当 时， ，0注意： .a五、平面向量的数量积1.两个向量的夹角：对于非零向量 ， ，作 ， ，则把abOAaBb称为向量 ， 的夹角.(0)AOB当 时， ， 同向；当 时， ， 反向；当 时， ， 垂直.ab2a2.平面向量的数量积：如果两个非零向量 ， ，它们的夹角为 ，我们把数量ab叫做 与 的数量积（或内积或点积）

6、 ，记作： ，即 .|cosab |cosb规定：零向量与任一向量的数量积是 0.注：数量积是一个实数，不再是一个向量.举例 4 （1） 中， ， ， ，则 _. 结果： .ABC|3|4AC|5BABC 9（2）已知 ， ， ， ， 与 的夹角为 ，则 _. 结果：1.,2a10,2bcakbdacd4k（3）已知 ， ， ，则 _. 结果： .|5|23（4）已知 是两个非零向量，且 ，则 与 的夹角为_. 结果： ., |b303.向量 在向量 上的投影： ，它是一个实数，但不一定大于 0.|os举例 5 已知 ， ，且 ，则向量 在向量 上的投影为_. 结果： .|3a|5b12aba

7、 1254. 的几何意义：数量积 等于 的模 与 在 上的投影的积. |a5.向量数量积的性质：设两个非零向量 ， ，其夹角为 ，则：b（1） ；0（2）当 、 同向时， ，特别地， ；ab|ab222|a是 、 同向的充要分条件；|当 、 反向时， ， 是 、 反向的充要分条件；|abab当 为锐角时， ，且 、 不同向， 是 为锐角的必要不充分条件；00当 为钝角时， ，且 、 不反向； 是 为钝角的必要不充分条件.ab（3）非零向量 ， 夹角 的计算公式： ； .cos|ab|ab举例 6 （1）已知 ， ，如果 与 的夹角为锐角，则 的取值范围是_. 结果： 或(,2)a(3,2)ba

8、b 43且 ；03（2）已知 的面积为 ，且 ，若 ，则 ， 夹角 的取值范围是_. 结果：OFQ S1OFQ32SOFQ；,43（3）已知 ， ，且满足 （其中 ）.(cos,in)ax(cos,in)by|3|kabkb0k用 表示 ；求 的最小值，并求此时 与 的夹角 的大小. 结果： ；最小值为 ，kba 21(0)4kab 12.60六、向量的运算平面向量基础知识复习31.几何运算（1）向量加法运算法则：平行四边形法则；三角形法则.运算形式：若 ， ，则向量 叫做 与 的和，即 ；ABaCbACababABC作图：略.注：平行四边形法则只适用于不共线的向量.（2）向量的减法运算法则：

9、三角形法则.运算形式：若 ， ，则 ，即由减向量的终点指向被减向ABabaAB量的终点.作图：略.注：减向量与被减向量的起点相同.举例 7 （1）化简： ； ； . 结果：ABCDABDC()()ABCDB； ； ；ADCB0（2）若正方形 的边长为 1， ， ， ，则 . 结果： ；aCbc|abc2（3）若 是 所在平面内一点，且满足 ，则 的形状为. 结果：直角三角形；O 2OO（4）若 为 的边 的中点， 所在平面内有一点 ，满足 ，设 ，则 的值为 . ABC AB P0ABPC|APD结果：2；（5）若点 是 的外心，且 ，则 的内角 为 . 结果： . 0CABC 122.坐标运

10、算：设 ， ，则1(,)axy2(,)bxy（1）向量的加减法运算： ， .12)12(,)abxy举例 8 （1）已知点 ， ， ，若 ，则当 _时，点 在第一、三象限的角平分(2,3)A(5,4)B(7,0)(APBRP线上. 结果： ；（2）已知 ， ，且 ， ，则 .结果： 或 ；(,)(1,)(sin,co)2xy,(,)2xxy62（3）已知作用在点 的三个力 ， ， ，则合力 的终点坐标是 . 结果：A134F253(1F123F.(9,1)（2）实数与向量的积： .11(,),)a（3）若 ， ，则 ，即一个向量的坐标等于表示这个向1(,)xy2(,)Bxy21ABxy量的有向

11、线段的终点坐标减去起点坐标.举例 9 设 ， ，且 ， ，则 的坐标分别是_. 结果： .(2,3)A(,5)13C3D,C1(,)7,93（4）平面向量数量积： .21abxy举例 10 已知向量 ， ， .(sin,co)ax(sin,)(,0)c（1）若 ，求向量 、 的夹角；3x（2）若 ，函数 的最大值为 ，求 的值.结果：（1） ；（2） 或 .,84()fxab215012（5）向量的模： .222| |yaxy举例 11 已知 均为单位向量，它们的夹角为 ，那么 . 结果： . ,ab 60|3|b13（6）两点间的距离：若 ， ，则 .1(,)Ax2(,)B221|()()A

12、Bxy举例 12 如图，在平面斜坐标系 中， ，平面上任一点 关于斜坐标系Oyy P的斜坐标是这样定义的：若 ，其中 分别为与 轴、 轴同方向的单12Pe12,exy位向量，则 点斜坐标为 .P(,)x（1）若点 的斜坐标为 ，求 到 的距离 ；2|PO（2）求以 为圆心，1 为半径的圆在斜坐标系 中的方Oxy程. Ox60平面向量基础知识复习4结果：（1）2；（2） .210xy七、向量的运算律1.交换律： ， ， ；ab()aab2.结合律： ， ， ；cc()cc()()abab3.分配律： ， ， .()c举例 13 给出下列命题： ； ； ；()aba()ba22()| 若 ，则 或

13、 ；若 则 ； ； ； ；00bcc|a2ab2()ab.22()abab其中正确的是 . 结果：.说明：（1）向量运算和实数运算有类似的地方也有区别：对于一个向量等式，可以移项，两边平方、两边同乘以一个实数，两边同时取模，两边同乘以一个向量，但不能两边同除以一个向量，即两边不能约去一个向量，切记两向量不能相除(相约)；（2）向量的“乘法”不满足结合律，即 ，为什么？()abcc八、向量平行(共线)的充要条件.2212/()| 0abxy举例 14 (1)若向量 ， ，当 _时， 与 共线且方向相同. 结果：2.,1ax(4,)bxab（2）已知 ， ， ， ，且 ，则 . 结果：4.(1,)

14、()uavb/uvx（3）设 ， ， ，则 _时， 共线. 结果： 或 11.2PAk,5B(10,)PCk ,ABC2九、向量垂直的充要条件.120| 0abbxy 特别地 .|A举例 15 (1)已知 ， ，若 ，则 .结果： ；(1,2)OA(3,)BmOBm32m（2）以原点 和 为两个顶点作等腰直角三角形 ， ，则点 的坐标是 .结果：(1,3)或（3，1） ） ；4 A90B（3）已知 向量 ，且 ，则 的坐标是 .结果： 或 .(,)nabn|n(,)ba(,)十、线段的定比分点1.定义：设点 是直线 上异于 、 的任意一点，若存在一个实数 ，使P121P2 ，则实数 叫做点 分

15、有向线段 所成的比 ， 点叫做有向线段 的以定比2PP12P为 的定比分点.2. 的符号与分点 的位置之间的关系（1） 内分线段 ，即点 在线段 上 ；12120（2） 外分线段 时，点 在线段 的延长线上 ，点 在线段 的PP112反向延长线上 .0注：若点 分有向线段 所成的比为 ，则点 分有向线段 所成的比为 .1221P举例 16 若点 分 所成的比为 ，则 分 所成的比为 . 结果： .PAB34ABP 733.线段的定比分点坐标公式：设 ， ，点 分有向线段 所成的比为 ，则定比分点坐标公式为1(,)xy2(,)xy(,)xy12. 21,().y平面向量基础知识复习5特别地，当

16、时，就得到线段 的中点坐标公式112P12,.xy说明：（1）在使用定比分点的坐标公式时，应明确 ， 、 的意义，即分别为分点，起点，终点的坐标.(,)xy1(,)2(,)x（2）在具体计算时应根据题设条件，灵活地确定起点，分点和终点，并根据这些点确定对应的定比 .举例 17 （1）若 ， ，且 ，则点 的坐标为 . 结果： ；(3,2)M(6,1)N13MPNP7(6,)3（2）已知 ， ，直线 与线段 交于 ，且 ，则 . 结果：或 .(,0)Aa,Ba2yaxAB2AMBa 4十一、平移公式如果点 按向量 平移至 ，则 ；曲线 按向量,Pxy(,)hk(,)y,.xhyk(,)0fxy平

17、移得曲线 .(,)ahk 0fy说明：（1）函数按向量平移与平常“左加右减”有何联系？（2）向量平移具有坐标不变性，可别忘了啊！举例 18 （1）按向量 把 平移到 ，则按向量 把点 平移到点_. 结果： ；a(2,3)(1,2)a(7,2)(8,3)（2）函数 的图象按向量 平移后，所得函数的解析式是 ，则 _. 结果： .sinyx cos1yxa(,1)4十二、向量中一些常用的结论1.一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量，要注意运用；2.模的性质： .|abab（1）右边等号成立条件： 同向或 中有 ； 、 、 0|ab（2）左边等号成立条件： 反向或 中有 ；、 、 （3）当 不共

18、线 . ab、 |ab3.三角形重心公式在 中，若 ， ， ，则其重心的坐标为ABC 1(,)xy2(,)Bxy3(,)Cxy.123123(,xyG举例 19 若 的三边的中点分别为 、 、 ，则 的重心的坐标为 .结果： .ABC (2,1)A(3,4)B(1,)CABC 24,35.三角形“三心”的向量表示（1） 为 的重心，特别地 为()3PPG 0PG的重心.AB（2） 为 的垂心.BCABC（3） 为 的内心；向量|0PA所在直线过 的内心.(0)|6.点 分有向线段 所成的比 向量形式P12P设点 分有向线段 所成的比为 ，若 为平面内的任一点，则 ，M12MP特别地 为有向线段 的中点 .1212P平面向量基础知识复习67. 向量 中三终点 共线 存在实数 ，使得 且,PABC,ABC,PABC1举例 20 平面直角坐标系中， 为坐标原点，已知两点 ， ，若点 满足 ,其中 且O(3,1)(,3)BC12O12,R,则点 的轨迹是 . 结果：直线 .12C