1、习 题2.1 什么是线性系统?其最重要的特性是什么?下列用微分方程表示的系统中, 表示系统输出, 表示系统输入,哪些是线性系统?xoxi(1) (2) ioo2 xtiooo2(3) (4) io i解: 凡是能用线性微分方程描述的系统就是线性系统。线性系统的一个最重要特性就是它满足叠加原理。该题中（2）和（3）是线性系统。2.2 图（题 2.2）中三同分别表示了三个机械系统。求出它们各自的微分方程，图中 表示输入位移， 表示输出位移，假设输出端无xi xo负载效应。图(题 2.2)解: (1) 对图 (a)所示系统，由牛顿定律有xmcxi o2o1)(即 i11(2)对图 (b)所示系统，引
2、入一中间变量 x,并由牛顿定律有)()()(1xckxoi 22o消除中间变量有xckxkcio121o21)(3)对图 (c)所示系统，由牛顿定律有ooioi 21)(即 xkckxciio 1212.3 求出图(题 2.3)所示电系统的微分方程。图（题 2.3）解:(1)对图 (a)所示系统,设 为流过 的电流 , 为总电流,则有i1R1idtCuo2ioi1dtiCuoi )(11消除中间变量,并化简有uRCuRiiiooo 122121 22121 )(2) 对图(b)所示系统，设 i 为电流，则有idtoi 1tCuo22消除中间变量,并化简有uCRRiioo 222121 1)()
3、( 2.4 求图(题 2.4)所示机械系统的微分方程。图中 M 为输入转矩,为圆周阻尼，J 为转动惯量。Cm解：设系统输入为 M（即） ，输出 (即) ，分别对圆盘和质块进行动力学分析，列写动力学方程如下：)(xRkCJMmcxk)(消除中间变量 ,即可得到系统动力学方程Kcm CRckKJckRJJ mmm ）（ 22 )()()42.5 输出 y(t)与输入 x(t)的关系为 y(t)= 2x(t)+0.5 (t)。x3（1）求当工作点为 =0, =1, =2 时相应的稳态时输出值；xoo（2）在这些工作点处作小偏差线性化模型，并以对工作的偏差来定义 x 和 y，写出新的线性化模型。解:
4、(1) 将 =0, =1, =2 分别代入 y(t)= 2x(t)+0.5 (t)中,即当工oxo x3作点为 =0, =1, =2 时相应的稳态输出值分别为 ,0yo,5.20y。8o(2) 根据非线性系统线性化的方法有，在工作点 附近,将)(yxo非线性函数展开成泰勒级数,并略去高阶项得xyxoooo |5.12(.0223xo|).(2若令 , 有 xy0当工作点为 时, 0o 5.12当工作点为 时, 1x.3)(0当工作点为 时, 2xo xy8)5.1(202.6 已知滑阀节流口流量方程式为 ，式中Q 为通pcwv过节流阀流口的流量；p 为节流阀流口的前后油压差； 为节流阀xv的位
5、移量；c 为疏量系数； w 为节流口面积梯度； 为油密度。试以Q 与 p 为变量（即将 Q 作为 P 的函数）将节流阀流量方程线性化。解：利用小偏差线性化的概念，将函数 Q=F( ，p)在预定工作xv点 F( ， )处按泰勒级数展开为xo ppxFpovPFvovv ),(),(,(消除高阶项，有pxpxFpxQovPFvovov ),(),(),(),(),(ovv),(),(),(),( pxFpxpxFpx ovovPFvovov xovPFvov),(),(若令 ， ，）（ pxFKov,|)(1）（ pxFKov,|)(2Qv2将上式改写为增量方程的形式pxv212.7 已知系统的动
6、力学方程如下 ,试写出它们的传递函数 Y(s)/R(s)。（1） )(2)(50)()(5trtyttyt （2） .r（3） ttt（4） )(4)()(6)( trdyy解：根据传递函数的定义，求系统的传递函数，只需将其动力学方程两边分别在零初始条件下进行拉式变换，然后求 Y(s)/R(s)。(1)(2)(50)()(15)( 223 sRsYssYs 1/22R(2) )(.)()(2 ssY250/(3) )(.)(2 sRSssRSY25.0)(/(4) )(41632 sYYs)(/2s2.8 如图（题 2.8）为汽车或摩托车悬浮系统简化的物理模型，试以位移 x 为输入量，位移 y
7、 为输出量，求系统的传递函数 Y(s)/X(s)。2.9 试分析当反馈环节 H(s)=1,前向通道传递函数 G(s)分别为惯性环节、微分环节、积分环节时，输入、输出的闭环传递函数。解：由于惯性环节、微分环节、积分环节的传递函数分别为, , ,而闭环传递函数为1)(TsKGs)(KG)(,则)(HB(1)当反馈环节 H(s)=1,前向通道传递函数 G(s)为惯性环节时， KTssGsB 1)(1)(2)当反馈环节 H(s)=1,前向通道传递函数 G(s)为微分环节时，TsHsB1)(1)(3)当反馈环节 H(s)=1,前向通道传递函数 G(s)为积分环节时，KssGsB1)(1)(2.10 证明
8、图（题 2.10）与图（题 2.3（a）所示系统是相似系统（即证明两系统的传递函数具有相同形式） 。解：对题 2.4(a)系统，可列出相应的方程。)1(12idtCRuo21oi)3()(1tioi对以上三式分别作 Laplce 别换，并注意到初始条件为零,即0)(0)(21II则 ）（ 4)()(222 sICRsIRsUO ）（ 51Sii ）（ 6)()(sIsOi,得 sC1)5( )7()(110sICRsUi , 得 R)6(1 )8()()(1101 sICRsIUsi , 得 87(10RsCi即 )(1)()1sIRsIOi 则 9(0RsUi 将(4)式中的 代入(9)式)(0)(1)(2sICsIsi(1sR再用(4) 式与上式相比以消去 ,即得电系统的传递函数为)sI)(1()(210 sICRssUG)1(2ss而本题中，引入中间变量 x,依动力学知识有
