轨迹方程的求法及典型例题含答案.doc

1、1轨迹方程的求法一、知识复习轨迹方程的求法常见的有（1）直接法；（2）定义法；（3）待定系数法（4）参数法（5）交轨法；（6）相关点法注意：求轨迹方程时注意去杂点，找漏点.一、知识复习例 1：点 P（3，0）是圆 x2+y26x55=0 内的定点，动圆 M 与已知圆相切，且过点P，求圆心 M 的轨迹方程。2例 2、如图所示，已知 P(4，0)是圆 x2+y2=36 内的一点，A、B 是圆上两动点，且满足APB=90，求矩形 APBQ 的顶点 Q 的轨迹方程.解：设 AB 的中点为 R，坐标为( x,y)，则在 RtABP 中，|AR|=| PR|.又因为 R 是弦 AB 的中点，依垂径定理：在

2、 RtOAR 中，|AR|2=|AO|2|OR| 2=36(x 2+y2)又|AR |=|PR|= )4(所以有(x4) 2+y2=36(x 2+y2),即 x2+y24x10=0因此点 R 在一个圆上，而当 R 在此圆上运动时，Q 点即在所求的轨迹上运动.设 Q(x,y)， R(x1,y1)，因为 R 是 PQ 的中点，所以 x1= ,20,41y代入方程 x2+y24x10=0,得10=0)(4(x整理得：x 2+y2=56,这就是所求的轨迹方程.3例 3、如图, 直线 L1 和 L2 相交于点 M, L1L2, 点 N L1. 以 A, B 为端点的曲线段 C上的任一点到 L2 的距离与

3、到点 N 的距离相等. 若AMN 为锐角三角形, |AM|= , |AN| 17= 3, 且|BN|=6. 建立适当的坐标系,求曲线段 C 的方程. 解法一：如图建立坐标系，以l 1为x轴，MN的垂直平分线为y轴，点O 为坐标原点。依题意知：曲线段C是以点N为焦点，以l 2为准线的抛物线的一段，其中 A，B 分别为C的端点。设曲线段C 的方程为 ，)0,(),02yxpyBA其中x A,xB分别为A，B的横坐标， P=|MN|。)2(92)(173|,1| )0(2(AApxxNMp得由所 以由，两式联立解得 。再将其代入式并由p0解得pA4214AAxp或因为AMN是锐角三角形，所以 ，故舍

4、去Ax22Axpp=4,x A=1由点B在曲线段C上，得 。42|pBNx4综上得曲线段C的方程为 )0,41(82yxy解法二：如图建立坐标系，分别以l 1、l 2为轴，M 为坐标原点。作AE l1,ADl 2，BFl 2垂足分别为E、D、F设A(x A, yA)、 B(xB, yB)、N(x N, 0)依题意有)0,63)(28 0,|,()6| 4| | 2| 32 22222yxyCyxx PyPNBEAMxDDyANEx BABNA的 方 程故 曲 线 段 属 于 集 合上 任 一 点 则 由 题 意 知是 曲 线 段设 点 为 锐 角 三 角 形 故 有由 于5例 4、已知两点 以

5、及一条直线 ：y=x，设长为 的线段 AB 在直线 上移动，)2,0(,(QP2求直线 PA 和 QB 交点 M 的轨迹方程解：PA 和 QB 的交点 M（x，y）随 A、B 的移动而变化，故可设 ，)1,(),tBtA则 PA： QB：),2(2tty ).1(2txy消去 t，得 .08yx当 t=2，或 t=1 时，PA 与 QB 的交点坐标也满足上式，所以点 M 的轨迹方程是.yxyx6例 5、设点 A 和 B 为抛物线 y2=4px(p0) 上原点以外的两个动点，已知OA OB， OMAB ，求点 M 的轨迹方程，并说明它表示什么曲线 .解法一：设 M(x,y)，直线 AB 的方程为

6、 y=kx+b由 OMAB，得 k=由 y2=4px 及 y=kx+b，消去 y,得 k2x2+(2kb4p)x+b 2=0所以 x1x2= , y1y2= ，kp4由 OAOB，得 y1y2=x 1x2所以 = , b=4kp kp42故 y=kx+b=k(x4p), 得 x2+y24px=0(x0)故动点 M 的轨迹方程为 x2+y24px=0(x0)，它表示以(2p,0) 为圆心，以 2p 为半径的圆，去掉坐标原点.7解法二：设 A(x1,y1),B(x2,y2),M(x,y)依题意，有 121212214xyxyxyp得(y 1y 2)(y1+y2)=4p(x1x 2)若 x1x 2,

7、则有 ,得 y12y22=16p2x1x2 代入上式21214x有 y1y2=16p 2 代入，得 代入，得 所以yxyp214 pyxyp442112121214)(ypxy即 4pxy 12=y(y1+y2)y 12y 1y2 、代入上式，得 x2+y24px=0(x0)当 x1=x2 时，ABx 轴，易得 M(4p,0)仍满足方程.故点 M 的轨迹方程为 x2+y24px=0(x0)它表示以 (2p,0)为圆心，以 2p 为半径的圆，去掉坐标原点.|8轨 迹 方 程(练习 1)1(08 、山东文 22)已知曲线 ： 所围成的封闭图形的面积为1C|10)xyab，曲线 的内切圆半径为 ，记

8、 为以曲线 与坐451C25321C标轴的交点为顶点的椭圆(1)求椭圆 的标准方程；2(2)设 是过椭圆 中心的任意弦， 是线段 的AB2LAB垂直平分线， 是 上异于椭圆中心的点ML若 ( 为坐标原点)，当点 在椭圆 上|O| 2C运动时，求点 的轨迹方程； 若 是 与椭圆 的交点，求 的面积的最小值L2CAMB9解：(1) 由题意得 2453ab4522ba，椭圆方程： 154xy(2)若 AB 所在的斜率存在且不为零，设AB 所在直线方程为 ykx(k0)，A( )Ayx，由2154,xyk 222004545AAkxyk，222()|AOy设 M(x，y)，由|MO|OA|(0) |M

9、O|2 2|OA|2 220(1)45kxy因为 L 是 AB 的垂直平分线，所以直线 L 的方程为 y k ，代入上式有：1，由 ，222220(1)0()4545xxyyxy02yx22540xy当 k0 或不存时，上式仍然成立.，综上所述，M 的轨迹方程为 ， （ 0） 2245xy当 k 存在且 k 0 时， |OA|2 222004545AAkxyk， 220(1)Ak由 2154xyk22 25MMxykk， 22(1)|kO 2222110()()454kkOA010 22219| 0OABOM|OBA940 ，|SM |当且仅当 45k 254k 2 时，即 k 1 时等号成立当 ；140059AMBk，当 k 不存在时， 2ABS综上所述， 的面积的最小值为 409