高数上册知识点.doc

1、高等数学（上）知识点第 1 页 共 7 页高等数学上册知识点一、函数与极限（一） 函数1、 函数定义及性质（有界性、单调性、奇偶性、周期性） ；2、 反函数、复合函数、函数的运算；3、 初等函数：幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数、双曲函数、反双曲函数；4、 函数的连续性与间断点；函数 在 连续 )(xf0 )(lim00xffx间断点 第一类：左右极限均存在. ( 可去间断点、跳跃间断点)第二类：左右极限、至少有一个不存在. (无穷间断点、振荡间断点)5、 闭区间上连续函数的性质：有界性与最大值最小值定理、零点定理、介值定理及其推论.（二） 极限1、 定义1） 数列极限 : a

2、xNnax nn , , ,0lim2） 函数极限 : AxfAfx )( 0)( 00 使使左极限： 右极限：li)(0f )(lim)(0xfxf)( lim00 ffAx使2、 极限存在准则1） 夹逼准则： 1） )(0nzxyn2） alimli axnlim2） 单调有界准则：单调有界数列必有极限.3、 无穷小（大）量1） 定义：若 则称为无穷小量；若 则称为无穷大量.0limli2） 无穷小的阶：高阶无穷小、同阶无穷小、等价无穷小、 阶无穷小kTh1 ;)(oTh2 （无穷小代换） limli li,使4、 求极限的方法1)单调有界准则； 2)夹逼准则； 3)极限运算准则及函数连续

3、性；4) 两个重要极限： a) b) 1sinl0x exxx )1(lim)1(li05）无穷小代换：（ ） a) b) x arctnrsitani 21cosxc) ,（ ） d) （ ） e) exaln1x)1l(xl)1(log)(高等数学（上）知识点第 2 页 共 7 页二、导数与微分（一） 导数1、 定义： 00)(lim)(0xfxfx左导数： , 右导数：0li0ffx 00)(lim)(0xfxfx函数 在 点可导)(xf )()(0xff2、 几何意义： 为曲线 在点 处的切线的斜率.)0fy,f3、 可导与连续的关系：4、 求导的方法1） 导数定义； 2)基本公式；

4、3)四则运算； 4)复合函数求导（链式法则） ；5) 隐函数求导数； 6)参数方程求导； 7)对数求导法.5、 高阶导数1） 定义： 2)Leibniz 公式：dxy2 nkknvuCuv0)()(（二） 微分1） 定义： ，其中 与 无关.)()(00 xoAffyAx2） 可微与可导的关系：可微 可导，且dffdy)(00三、微分中值定理与导数的应用（一） 中值定理1、 Rolle 定理：若函数 满足：)(xf1） ； 2） ； 3） ；则 .,)(baCxf,baD)(bfa0)(,(fba使2、 Lagrange 中值定理：若函数 满足：)(f1） ；2） ；则 .,)(f ,x )(

5、)(),( aff使3、 Cauchy 中值定理：若函数 满足：)(Ff1） ； 2） ；3）,)(,baCxFf),(,baDx),(,0)(bxF则 )(ff使（二） 洛必达法则（三） Taylor 公式（四） 单调性及极值1、 单调性判别法： ， ，则若 ，则 单调增加；则若 ，,)(baCxf),()baDxf 0)(xf)(xf 0)(xf高等数学（上）知识点第 3 页 共 7 页则 单调减少.)(xf2、 极值及其判定定理：a) 必要条件： 在 可导，若 为 的极值点，则 .)(f0x0x)(f 0)(xfb)第一充分条件： 在 的邻域内可导，且 ，则若当 时， ，当0x0)(xf

6、时， ，则 为极大值点；若当 时， ，当 时，0x)(f0x)(xf，则 为极小值点；若在 的两侧 不变号，则 不是极值点.)(f00)(xf0c) 第二充分条件： 在 处二阶可导，且 ， ，则)(xf00)(f若 ，则 为极大值点；若 ，则 为极小值点.)(0f )(xf03、 凹凸性及其判断，拐点1） 在区间 I 上连续，若 ，则称 在区间 I 上的图形是凹)(xf 2)()( ,12121 ffIx)(xf的；若 ，则称 在区间 I 上的图形是凸的.)( ,121ffxf2）判定定理： 在 上连续，在 上有一阶、二阶导数，则)x,ba,(baa) 若 ,则 在 上的图形是凹的；0(,f)

7、xfb) 若 ,则 在 上的图形是凸的.)x(,ba3）拐点：设 在区间 I 上连续， 是 的内点，如果曲线 经过点 时，(fy0x)(f )(xfy)(,0xf曲线的凹凸性改变了，则称点 为曲线的拐点.)(,0f（五） 不等式证明1、 利用微分中值定理； 2、利用函数单调性； 3、利用极值（最值）.（六） 方程根的讨论1、连续函数的介值定理； 2、Rolle 定理； 3、函数的单调性； 4、极值、最值； 5、凹凸性.（七） 渐近线1、 铅直渐近线： ，则 为一条铅直渐近线；)(limxfaa2、 水平渐近线： ，则 为一条水平渐近线；bxy3、 斜渐近线： , 存在，则 为一条斜渐近线.kf

8、)(li bkxfx)(li bkxy（八） 图形描绘四、不定积分（一） 概念和性质高等数学（上）知识点第 4 页 共 7 页1、 原函数：在区间 I 上，若函数 可导，且 ，则 称为 的一个原函数.)(xF)(xf)(F)(xf2、 不定积分：在区间 I 上，函数 的带有任意常数的原函数称为 在区间 I 上的不定积分.f3、 基本积分表（P188，13 个公式） ；4、 性质（线性性）.（二） 换元积分法1、 第一类换元法（凑微分）： )()(d)( xufxf 2、 第二类换元法（变量代换）： )(1tt（三） 分部积分法： vduu（四） 有理函数积分 ： 1、 “拆” ； 2、变量代换

9、（三角代换、倒代换、根式代换等）.五、定积分（一） 概念与性质：1、 定义： niibaxfdxf10)(lm)(2、 性质：（7 条）性质 7 （积分中值定理） 函数 在区间 上连续，则 ，使)(xf,ba,ba（平均值： ）)()(abfdxfbaabdf)(（二） 微积分基本公式（NL 公式）1、 变上限积分：设 ，则xadtf)()( )(xf推广： )( fftfdx 2、 NL 公式：若 为 的一个原函数，则)(Fxf )()(aFbdxfba（三） 换元法和分部积分1、 换元法： 2、分部积分法：ttfdfba d)()( babavduuv（四） 反常积分1、 无穷积分：, ,

10、 tata xfdxf)(lim)( bttb xfxf)(lim)( 00)()()( xfxfdxf2、 瑕积分：（ a 为瑕点）, （ b 为瑕点）btatba dff)(li)( tabtbafdf)(li)(两个重要的反常积分：高等数学（上）知识点第 5 页 共 7 页1) 2) 1, d1paxap 1 ,)()(d)( 1qabxaxqbqbq六、定积分的应用（一） 平面图形的面积1、 直角坐标： badxffA)(122、 极坐标： dA)(2121（二） 体积1、 旋转体体积：a)曲边梯形 轴，绕 轴旋转而成的旋转体的体积： xbaxfy,),( baxdxfV)(2b)曲边

11、梯形 轴，绕 轴旋转而成的旋转体的体积： （柱壳法）yy2、 平行截面面积已知的立体： badxAV)(（三） 弧长1、 直角坐标： 2、参数方程：baxfs)(1 dtts22)()(3、极坐标： d2)(七、微分方程（一） 概念1、 微分方程：表示未知函数、未知函数的导数及自变量之间关系的方程.阶：微分方程中所出现的未知函数的最高阶导数的阶数.2、 解：使微分方程成为恒等式的函数.通解：方程的解中含有任意的常数，且常数的个数与微分方程的阶数相同.特解：确定了通解中的任意常数后得到的解.（二） 变量可分离的方程 ，两边积分dxfyg)(dxfyg)()(（三） 齐次型方程高等数学（上）知识点

12、第 6 页 共 7 页，设 ，则 ； 或 ，设 ，则)(xydudxuy)(yxvdyvx（四） 一阶线性微分方程，用常数变易法或用公式： )(QyP CxeQedPdxP)()(（五） 可降阶的高阶微分方程1、 ，两边积分 次；)()(xfnn2、 （不显含有 ） ，令 ，则 ；,y ypy3、 （不显含有 ） ，令 ，则)(fxdp（六） 线性微分方程解的结构1、 是齐次线性方程的解，则 也是；2,y 21yC2、 是齐次线性方程的线性无关的特解，则 是方程的通解；21y3、 为非齐次方程的通解，其中 为对应齐次方程的线性无关的解， 非齐次方*21yCy , *y程的特解.（七） 常系数齐次线性微分方程二阶常系数齐次线性方程： 0qyp特征方程： ，特征根： 02qpr21,r特征根 通 解实根 1xrxreCy2121prr1)(21i,2 )sinco2xxeyx（八） 常系数非齐次线性微分方程)(xfqyp1、 ，设特解 ，其中 )(Pefmx )(*xQeymk是 重 根是 一 个 单 根不 是 特 征 根, , k2102、 xxf nl si)(cos)()(设特解 ，xReymmk in)(2)1(*高等数学（上）知识点第 7 页 共 7 页其中 ， ,maxnl是 特 征 根不 是 特 征 根ik ,10