一元二次方程专题能力培优含答案.doc

1、第 2 章 一元二次方程2.1 一元二次方程专题一 利用一元二次方程的定义确定字母的取值 1.已知 是关于 x的一元二次方程，则 m的取值范围是（ ）2(3)1mxA.m3 B.m3 C.m-2 D. m-2 且 m32. 已知关于 x的方程 ，问：21()()10mxx（1）m 取何值时，它是一元二次方程并写出这个方程；（2）m 取何值时，它是一元一次方程？专题二 利用一元二次方程的项的概念求字母的取值3.关于 x的一元二次方程（m-1）x 2+5x+m2-1=0的常数项为 0，求 m的值4.若一元二次方程 没有一次项，则 a的值为 .(24)(36)8axxa专题三 利用一元二次方程的解的

2、概念求字母、代数式5.已知关于 x的方程 x2+bx+a=0的一个根是-a（a0） ，则 a-b值为（ ）A.1 B.0 C.1 D.26.若一元二次方程 ax2+bx+c=0中，ab+c=0，则此方程必有一个根为 .7.已知实数 a 是一元二次方程 x22013x+1=0 的解，求代数式 的值.22103a知识要点：1.只含有一个未知数（一元） ，并且未知数的最高次数是 2（二次） ，等号两边都是整式的方程，叫做一元二次方程.2.一元二次方程的一般形式是 ax2+bx+c=0（a0） ，其中 ax2是二次项，a 是二次项系数；bx是一次项，b 是一次项系数； c是常数项.3.使一元二次方程的

3、两边相等的未知数的值，叫做一元二次方程的解，又叫一元二次方程的根.温馨提示：1.一元二次方程概念中一定要注意二次项系数不为 0的条件.2.一元二次方程的根是两个而不再是一个.方法技巧：1.axk+bx+c=0是一元一次方程的情况有两种，需要分类讨论.2.利用一元二次方程的解求字母或者代数式的值时常常用到整体思想，需要同学们认真领会.答案：1. D 解析： ，解得 m-2 且 m3302m2.解：（1）当 时，它是一元二次方程.解得：m=11,0当 m=1时，原方程可化为 2x2-x-1=0；（2）当 或者当 m+1+（m-2）0 且 m2+1=1时，它是一元一次方程. 2,1m解得：m=-1，

4、m=0.故当 m=-1或 0时，为一元一次方程3.解：由题意，得： 解得：m=120,.m4.a=-2 解析：由题意得 解得 a=2.36,240.a5. A 解析：关于 x的方程 x2+bx+a=0的一个根是-a（a0） ，a 2ab+a=0.a（ab+1）=0.a0，1-b+a=0.a-b=-16.x=1 解析：比较两个式子会发现：（1）等号右边相同；（2）等号左边最后一项相同；（3）第一个式子 x2对应了第二个式子中的 1，第一个式子中的 x 对应了第二个式子中的-1.故 .解得 x=1.217. 解：实数 a 是一元二次方程 x22013x+1=0 的解，a 22013a+1=0.a

5、2+1=2013a，a 22013a=1.2.2 一元二次方程的解法专题一 利用配方法求字母的取值或者求代数式的极值1. 若方程 25x2-（k-1）x+1=0 的左边可以写成一个完全平方式；则 k的值为（ ）A-9 或 11 B-7 或 8 C-8 或 9 C-8 或 92.如果代数式 x2+6x+m2是一个完全平方式，则 m= .3. 用配方法证明：无论 x 为何实数，代数式2x 2+4x 5 的值恒小于零专题二 利用判定一元二次方程根的情况或者判定字母的取值范围4.已知 a，b，c 分别是三角形的三边，则方程（a+b ）x 2+2cx+（a+b）=0 的根的情况是（ ）A.没有实数根 B

6、.可能有且只有一个实数根C.有两个相等的实数根 D.有两个不相等的实数根5.关于 x的方程 kx2+3x+2=0有实数根，则 k的取值范围是（ ）6.定义：如果一元二次方程 ax2bxc 0（a0）满足 abc0，那么我们称这个方程为“凤凰”方程已知 ax2bxc0（a0）是“凤凰” 方程，且有两个相等的实数根，则下列结论正确的是（ ）Aac Bab C bc Dabc专题三 解绝对值方程和高次方程7.若方程（x 2+y2-5） 2=64，则 x2+y2= .8. 阅读题例，解答下题：例：解方程 x2|x 1|1=0.解：（1）当 x10，即 x1 时，x 2（x1）1=0，x 2x=0.解得

7、：x 1=0（不合题设，舍去） ，x 2=1.（2）当 x10，即 x1 时，x 2+（x1）1=0，x 2+x2=0.解得 x1=1（不合题设，舍去） ，x 2=2.综上所述，原方程的解是 x=1或 x=2.依照上例解法，解方程 x2+2|x+2|4=0专题四 一元二次方程、二次三项式因式分解、不等式组之间的微妙联系9.探究下表中的奥秘，并完成填空：10.请先阅读例题的解答过程，然后再解答：代数第三册在解方程 3x（x+2）=5（x+2）时，先将方程变形为 3x（x+2）-5（x+2）=0，这个方程左边可以分解成两个一次因式的积，所以方程变形为（x+2） （3x-5）=0我们知道，如果两个因

8、式的积等于 0，那么这两个因式中至少有一个等于 0；反过来，如果两个因式有一个等于 0，它们的积等于 0因此，解方程（x+2） （3x-5）=0，就相当于解方程x+2=0或 3x-5=0，得到原方程的解为 x1=-2，x 2= 53根据上面解一元二次方程的过程，王力推测：ab0，则有 或者 请判断0,ab,.王力的推测是否正确？若正确，请你求出不等式 的解集，如果不正确，请说明理5123x由专题五 利用根与系数的关系求字母的取值范围及求代数式的值11. 设 x1、x 2 是一元二次方程 x2+4x3=0 的两个根，2x 1（x 22+5x23）+a=2，则 a= 12.（2012怀化）已知 x

9、1、 x2是一元二次方程 的两个实数根，06a是否存在实数 a，使x 1x 1x2=4x 2成立？若存在，求出 a 的值；若不存在，请你说明理由；求使（x 11） （x 21）为负整数的实数 a 的整数值13.(1)教材中我们学习了：若关于 x的一元二次方程 ax2+bx+c=0的两根为 x1、x 2,x1+x2=, x1x2= .根据这一性质，我们可以求出已知方程关于 x1、x 2的代数式的值例如：已ba ca知 x1、x 2为方程 x2-2x-1=0的两根，则：（1）x 1+x2=_，x 1x2=_，那么 x12+x22=( x1+x2)2-2 x1x2=_ _请你完成以上的填空（2）阅读

10、材料：已知 ，且 求 的值0,0mnmn解：由 可知 .210nn210n210n又 且 ，即 是方程 的两根,mm,x =1n（3）根据阅读材料所提供的的方法及（1）的方法完成下题的解答已知 ，且 求 的值2210,30n1n2mn知识要点：1.解一元二次方程的基本思想降次，解一元二次方程的常用方法：直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法.2.一元二次方程的根的判别式=b-4ac 与一元二次方程 ax2+bx+c=0（a0）的根的关系：当0 时，一元二次方程有两个不相等的实数解；当=0 时，一元二次方程有两个相等的实数解；0，k0 时，a（x+h） 2+kk；当 a0，k0 时，a（x+h

11、） 2+kk.2.若一元二次方程 ax2+bx+c=0 的两个根为 x1x 2，则 ax2+bx+c=a（x x1） （xx 2） 3.解绝对值方程的基本思路是将绝对值符号去掉，所以要讨论绝对值符号内的式子与 0的大小关系.4.解高次方程的基本思想是将高次方程将次转化为关于某个式子的一元二次方程求解.5.利用根与系数求解时，常常用到整体思想.答案：1.A 解析：根据题意知，-（k-1）=251，k-1=10，即 k-1=10或 k-1=-10，得k=11或 k=-9 2. 3 解析：据题意得，m 2=9，m=33.证明：2x 2+4x5=2（x 22x）5=2（x 22x+1）5+2=2（x1

12、） 23.（x1） 20，2（x1） 20，2（x1） 230.无论 x为何实数，代数式2x 2+4x-5的值恒小于零4.A 解析：=（2 c） 24（ a+b） （ a+b）=4（ a+b+c） （ c a b）.根据三角形三边关系，得 c a b0， a+b+c00该方程没有实数根5.A 解析：当 kx2+3x+1=0为一元一次方程方程时，必有实数根，此时 k=0；当 kx2+3x+1=0为一元二次方程且有实数根时，如果有实数根，则 .解得2034k且 k0.综上所述 .98k98k6.A 解析：一元二次方程 ax2 bx c0（ a0）有两个相等的实数根， b24 ac0，又 a b c

13、0，即 b a c，代入 b24 ac0 得（ a c） 24 ac0，化简得（ a c） 20，所以 a c7.13 解析：由题意得 x2+y2-5=8.解得 x2+y2=13或者 x2+y2=3（舍去）.8.解：当 x+20，即 x2 时，x 2+2（x+2）4=0，x 2+2x=0.解得 x1=0，x 2=2；当 x+20，即 x-2 时，x 22（x+2）4=0，x 22x8=0.解得 x1=4（不合题设，舍去） ，x 2=2（不合题设，舍去） 综上所述，原方程的解是 x=0或 x=29. ，3； ，34发现的一般结论为：若一元二次方程 ax2+bx+c=0的两个根为 x1 x2，则a

14、x2+bx+c=a（ x x1） （ x x2） 11.8 解析： x1x23， x22+4x23=0，2 x1(x22+5x23)+ a =2转化为 2x1(x22+4x23+ x2)+a =2.2 x1x2+a =2.2(3)+ a2.解得 a8.12.解：（1）根据题意，得=（2 a） 24 a（ a6）=24 a0 a0又 a60， a6由根与系数关系得： x1 x2= ， x1x2= .6由 x1 x1x2=4 x2 得 x1 x2 4= x1x2. 4 = ，解得 a=24a6经检验 a=24是方程 4 = 的解62a（2）原式= x1 x2 x1x2 1= 1= 为负整数，6aa

15、6 a为1 或2，3，6.解得 a=7或 8，9，1213.解：（1）2，1， 6（3）由 n2+3n-2=0可知 n0,1+ =0. 1=0.3n 2n2 2n2 3n又 2m2-3m-1=0,且 mn1，即 m 1nm、 是方程 2x2-3x-1=0的两根1nm+ = ,m = ,m 2+ =(m+ )2-2m =( )2-2( )= .1n 32 1n 12 1n2 1n 1n 32 12 1342.3 一元二次方程的应用专题一、利用一元二次方程解决面积问题1.在高度为 2.8m的一面墙上，准备开凿一个矩形窗户现用 9.5m长的铝合金条制成如图所示的窗框问：窗户的宽和高各是多少时，其透光

16、面积为 3m2（铝合金条的宽度忽略不计） 2.如图：要设计一幅宽 20cm，长 30cm的矩形图案，其中有两横两竖的彩条，横、竖彩条的宽度比为 2：3，如果要使所有彩条所占面积为原矩形图案面积的三分之一，应如何设计每个彩条的宽度？3. 数学的学习贵在举一反三，触类旁通.仔细观察图形，认真思考，解决下面的问题：（1）在长为 m，宽为 m的一块草坪上修了一条 1m宽的笔直小路（如图（ 1） ） ，则余下ab草坪的面积可表示为 ；2（2）现为了增加美感，设计师把这条小路改为宽恒为 1m的弯曲小路（如图（2） ） ，则此时余下草坪的面积为 ；（3）聪明的鲁鲁结合上面的问题编写了一道应用题，你能解决吗？

17、相信自己哦！（如图（3） ） ，在长为 50m，宽为 30m的一块草坪上修了一条宽为 xm的笔直小路和一条长恒为 xm的弯曲小路（如图 3） ，此时余下草坪的面积为 1421 求小路的宽 x.2m专题二、利用一元二次方程解决变化率问题4.据报道，我省农作物秸杆的资源巨大，但合理利用量十分有限，2012 年的利用率只有 30%，大部分秸杆被直接焚烧了，假定我省每年产出的农作物秸杆总量不变，且合理利用量的增长率相同，要使 2014年的利用率提高到 60%，求每年的增长率 （取 1.41）25.某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有 81 台电脑被感染请你用学过的知识分析，

18、每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？若病毒得不到有效控制，3 轮感染后，被感染的电脑会不会超过 700 台？6.（2012广元）某中心城市有一楼盘，开发商准备以每平方米 7000元的价格出售，由于国家出台了有关调控房地产的政策，开发商经过两次下调销售价后，决定以每平方米 5670元的价格销售（1）求平均每次下调的百分率；（2）房产销售经理向开放商建议：先公布下调 5%，再下调 15%，这样更有吸引力请问房产销售经理的方案对购房者是否更优惠？为什么？专题三、利用一元二次方程解决市场经济问题7.（2012济宁）一学校为了绿化校园环境，向某园林公司购买了一批树苗，园林公司规定：如果购买树苗不超过

19、60 棵，每棵售价为 120 元；如果购买树苗超过 60 棵，每增加 1 棵，所出售的这批树苗每棵售价均降低 0.5 元，但每棵树苗最低售价不得少于 100 元该校最终向园林公司支付树苗款 8800 元请问该校共购买了多少棵树苗？8.（2012南京）某汽车销售公司 6月份销售某厂家的汽车，在一定范围内，每部汽车的售价与销售量有如下关系：若当月仅售出 1部汽车，则该部汽车的进价为 27万元,每多售出1部，所有售出的汽车的进价均降低 0.1万元/部；月底厂家根据销售量一次性返利给销售公司，销售 10部以内（含 10部） ，每部返利 0.5万元；销售量在 10部以上，每部返利 1万元.(1)若该公司

20、当月售出 3部汽车，则每部汽车的进价为 万元.(2)如果汽车的售价为 28万元/部，该公司计划当月盈利 12万元，那么需要售出多少部汽车？（盈利=销售利润+返利）专题四、利用一元二次方程解决生活中的其他问题9. (1)经过凸 n边形( 3)其中一个顶点的对角线有 条.(2)一个凸多边形共有 14条对角线,它是几边形？(3)是否存在有 21条对角线的凸多边形？如果存在,它是几边形？如果不存在,说明得出结论的道理.10.如图每个正方形是由边长为 1的小正方形组成（1）观察图形，请填与下列表格： 正方形边长 1 3 5 7 n（奇数）红色小正方形个数 正方形边长 2 4 6 8 n（偶数）红色小正方

21、形个数 （2）在边长为 n（n1）的正方形中，设红色小正方形的个数为 P1，白色小正方形的个数为 P2，问是否存在偶数 n，使 P2=5P1？若存在，请写出 n的值；若不存在，请说明理由知识要点：列方程解决实际问题的常见类型：面积问题，增长率问题、经济问题、疾病传播问题、生活中的其他问题.温馨提示：1.若设每次的平均增长(或降低 )率为 x，增长(或降低) 前的数量为 a，则第一次增长( 或降低)后的数量为 a(1x)，第二次增长 (或降低)后的数量为 a(1x)22.面积(体积) 问题属于几何图形的应用题，解决问题的关键是将不规则图形分割或组合、平移成规则图形，找出未知量与已知量的内在联系，

22、根据面积(体积) 公式列出一元二次方程3.列方程解决实际问题时，方程的解必须使实际问题有意义，因此要注意检验结果的合理性.方法技巧：1. 变化率问题中常用 a（1x） n=b，其中 a是起始量，b 是终止量，n 是变出次数，x 是变化率.变化率问题用直接开平方法求解简单.2.解决面积问题常常用到平移的方法，利用平移前后图形面积不变建立等量关系.答案：1.解：设高为 x 米，则宽为 米.由题意，得 .9.5023x9.5023xx解得 (舍去,高度为 2.8m 的一面墙上).12.5,3当 x=1.5 时，宽 .9.0.2x答：高为 1.5 米,宽为 2 米.2.解：设横、竖彩条的宽度分别为 2xcm、3xcm，由题意，得（206x） （304x）=（1 ）2030.整理，得 6x265x500.3解，得 x1 ，x 210（不合题意，舍去）.2x ，3x .5653