20172微积分A2复习题.doc

1、微积分 A2 复习题一、 基本题: （一） 向量代数、空间解析几何：1、设 ， ，则 ， .32aijk1,babab2、设 ， 且 则 .,3k3、设 、 、 为单位向量，且满足 ，则 .abc0abcabca4、曲线 在 坐标面上投影曲线方程为 .2210xyzxoy5、 平面内曲线 绕 轴旋转所形成的旋转曲面方程 .yoz2绕 轴旋转所形成的旋转曲面方程 .6、点 到平面 的距离为 .1,M30xyz7、过点 且与平面 垂直的直线方程为 .02218、过点 且与直线 平行的直线方程为 .1,33xtyzt9、过点 且与平面 平行的平面方程为 .0,2M2x10、过点 且与直线 垂直的平面

2、方程是 .1313yz（二） 微分学：1、函数 的定义域是 .223ln1zxyxy2、 .22,0,coslimxyxye3、设 ，则 = .(,)43fhffh)2,1(,(lim04、已知函数 ，则 = . 2,)fxyyx,fyfx5、设 则 .ln(2)z21xyz6、设 ，则 .zuxydu_7、若 ，则 ， .23,fxuy_8、 （1） 在点 处可微分是在该点连续的 条件；,fxy,在点 处连续是在该点可微分的 条件xy（2） 在点 处两偏导数存在是在该点处可微分的 条件；,fxy,在点 处可微分是在该点处两偏导数存在的 条件,f,xy（3） 在点 处两偏导数存在且连续是在该点

3、处可微分的 条xy件（4） 在点 处两二阶混合偏导 连续是该两混合偏导相,f, 2,zxy等的 条件9、曲线 在 t=1 处的切线方程为 ,32,xtytz法平面方程为 .10、曲面 在点(1 ，-1，2)处的法线方程为 ,32z切平面方程为 . 11、函数 在点 处的方向导数为 ,22(,)fxyy(1,)该点处各方向导数中的最大值是 ,方向是 ,最小值是 , 方向是 .（三） 积分学：1、 2(,)14,2_.DDxyd设 则2、设 ，则 .9xy3、 2(,)01,3_.xyz dv设 则4、二次积分 交换积分次序后为 .210,xdfy5、二次积分 交换积分次序后为 .2ydx6、二次

4、积分 化为极坐标形式的二次积分为 .120xfy7、设 是抛物线 上点 的一段弧，则 .L24y,01,2Lyds8、设 是以点 为顶点的三角形整个边界，方向为逆时针方向，则,.ydx9、已知曲线积分 与路径无关，则3cossinx xLeyfxdeyd fx.10、表达式 为某一函数的全微分的充要条件是 ,PdQ（ ）（A） （B） （C） （D） xyPyxPQxyPQyx（四） 级数：1、级数 的和为 .123n2、若级数 收敛，则 的取值范围为 .21pn3、若级数 收敛，则 = .2141(3)nalimna4、设 的敛散性 .11lim,nnnbb5、判断下列级数的敛散性（1） ；

5、 （2） ；（3） ； （4）312n21ne413ln1n6、若级数 在 处收敛，则此级数在 的敛散性为 .1nax32x7、若级数 在 处发散，则此级数在 的敛散性为 .1n 48、若级数 在 处收敛，则在 敛散性为 . 12nnax13x9、若级数 在 处发散，则在 敛散性为 .1nn410、幂级数 的和函数为 _.03!nx二、计算题：（一） 向量、空间解析几何：1、 过点 且与直线 垂直的平面方程.2,01123xyz2、过直线 且与平面 垂直的平面方程。xyz03、过点 且与平面 ， 都平行的直线方程0,421xz32yz（二） 微分学：1、设 ，求 .23()xzey2,zxy2

6、、设设 ， 求 ； .2x()0zxy3、设 23,sin,.uvtdzetve而 求4、设方程 确定函数 ，求 ；220xyz,zxyzy5、求函数 的极值.32,fx（三） 积分学：1、计算二重积分： ，其中 是由曲线 及直线 、 所围成的区2Dxyd1yxyx2域.2、计算二重积分： ，其中 是由直线 、 、 所围成的区域.sinDxyD0y1x3、计算二重积分： ，其中 是由直线 、 及曲线21dy所围成的在第一象限内的区域区域.21xy4、计算二重积分： ，其中 .2xyd2,1,0Dxyx5、计算三重积分 ，其中 为三个坐标面及平面 所围成的闭区域.Dvz6、计算三重积分 ，其中

7、为曲面 与平面 所围成的闭区域.zd2zxy47、计算曲线积分 ，其中 为抛物线 上从点 再沿直2LyxL1,AB线到 所围成的曲线段. 0,C8、计算 ，其中 是以点 沿曲线sin2cosx xLeydeyd L0,到点 的一段弧.y,0A9、计算 ， 其中 为抛物线 32 2cos1sin3Lxyxyxy 2xy上从点 . 0,B10、验证 2 2cos)(sini)xyxdyxyd（在整个 xoy 平面内是某一函数 u(x,y)的全微分，并求这样的一个函数 u(x,y).11、计算 ，其中 ：柱面 被 截下的第一zdz210,3z卦限内的部分（取前侧） 。12、 上侧。222211,:,

8、xyzdzxdxyzxyz （四） 级数：1、判别级数 的敛散性.12!n2、判别级数 的敛散性，若收敛，指明是绝对收敛还是条件收敛？1321n3、求下列幂级数的收敛半径、收敛区间、收敛域.1） ， 2） ， 3）3nx21()nnx 12nnx4、求幂级数 的和函数.1n5、求 的和函数，并求 值.13nx 123n6、将函数 展开成 幂级数展开成关于 幂级数，并指明收敛域.2lfxxx7、 将函数 展开成 的幂级数.sinf 38、将函数 在 展开成幂级数.21fx4x三、应用题：1、要做一个容积为 的带盖的长方形盒子，其底边成 1:2，问此盒子的边长各位多少372m时，所用材料最省?2、求过点（2,1,2）的一平面，使此平面与三个坐标面在第一卦象内所围成立体的体积最小.3、求曲面 所围成的立体的体积.22zxyzxy与 曲 面 =四、证明题： 21arctn,xzuvyyuv、 设 其 中 证 明 ：2、 证明： 11()()(bx bn na adyfdyfd3、若级数 都收敛，证明：级数 也收敛.21,n1n4、已知 收敛， ，证明 也收敛.21na0n1na