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1、严谨 规范 求真 铸魂1-7 两个重要极限练习题 教学过程：引入：考察极限 xsinlm0问题 1：观察当 x0 时函数的变化趋势：x(弧度) 0.50 0.10 0.05 0.04 0.03 0.02 .sin0.9585 0.9983 0.9996 0.9997 0.9998 0.9999 .当 x 取正值趋近于 0 时， 1，即 =1；xsin0lixsn当 x 取负值趋近于 0 时，- x0, -x0, sin(-x)0于是)(ilmsinl0x综上所述，得 一 1il0x的特点：sni(1)它是“ ”型，即若形式地应用商求极限的法则，得到的结果是 ；0 0(2)在分式中同时出现三角函

2、数和 x 的幂推广 如果 (x)=0,(a 可以是有限数 x0, 或)，alim则 = =1snxsinl0例 1 求 xtli0解 = xtanlim0 1coslimsnlico1sinlmcosil 0000 xxxx例 2 求 3解 = xsil0 3sil)3(sil 00 tx令例 3 求 2co1i解 = 20slimx 21sin21lim)(sinlil 02020 xx例 4 求 xarcinl0严谨 规范 求真 铸魂解 令 arcsinx=t，则 x=sint 且 x0 时 t0所以 = arcsinlm01il0例 5 求 3tix解 =30sintalix3030 c

3、os1inlmsicol xxx= 2islii0考察极限 exx)1(lim问题 2：观察当 x+时函数的变化趋势：x 1 2 10 1000 10000 100000 100000 .)(2 2.25 2.594 2.717 2.7181 2.7182 2.71828 .当 x 取正值并无限增大时， 是逐渐增大的，但是不论 x 如何大， 的值x)1( x)1(总不会超过 3实际上如果继续增大 x即当 x+时，可以验证 是趋近于一个确)1(定的无理数 e 2.718281828.当 x-时，函数 有类似的变化趋势，只是它是逐渐减小而趋向于 ex)1(综上所述，得 二 =exx)(lim=e

4、的特点：1（）lim(1+无穷小) ；无 穷 大 案（） “无穷小”与“无穷大”的解析式互为倒数推广 （）若 (x)= ,(a 可以是有限数 x0, 或)，则ali=e；)()(1lim1xxx （）若 (x)=0,(a 可以是有限数 x0, 或) ，则ali=e)(10)(1lixxx 变形 令 =t，则 x时 t0，代入后得到 1 ett0li如果在形式上分别对底和幂求极限，得到的是不确定的结果 1，因此通常称之为 1不定型例 6 求 xx)21(lim严谨 规范 求真 铸魂解 令 =t，则 x= 2t2当 x时 t0，于是 = =e 2x)1(lim102)(lim)(li ttt例 7

5、 求 x23解 令 =1+u，则 x=2 1当 x时 u0，于是 =x)23(lim )1()(lim)(li 20120 uu= =e -121u例 8 求 xxcot0)an1(li解 设 t=tanx，则 cotx t当 x0 时 t0，于是 = =excot)an1(limt10)(li小结：两个重要极限在求极限过程中有着很重要的作用，特别要注意其变式。作业：见首页2-1 导数的概念严谨 规范 求真 铸魂教学过程：引入：一、两个实例实例 1 瞬时速度考察质点的自由落体运动真空中，质点在时刻 t=0 到时刻 t 这一时间段内下落的路程 s 由公式 s= gt2 来确定现在来求 t=1 秒

6、这一时刻质点的速度当 t 很小时，从 1 秒到 1+t 秒这段时间内，质点运动的速度变化不大，可以这段时间内的平均速度作为质点在 t=1 时速度的近似 t (s) s(m) (m/s)t0.1 1.029 10.290.01 0.09849 9.8490.001 0.0098049 9.80490.0001 0.000980049 9.800490.00001 0.00009800049 9.800049上表看出，平均速度 随着 t 变化而变化，当 t 越小时， 越接近于一个定值sts9.8m/s考察下列各式：s= g(1+t)2 g12= g2t+(t)2， 1= g = g(2+t)，t(

7、思考： 当 t 越来越接近于 0 时， 越来越接近于 1 秒时的“速度”现在取 t0 的极s限，得g=9.8(m/s)ts0limt21li0为质点在 =1 秒时速度为瞬时速度 一般地，设质点的位移规律是 s=f(t)，在时刻 t 时时间有改变量 t， s 相应的改变量为s=f(t+t)-f(t)，在时间段 t 到 t+t 内的平均速度为= ，vfs对平均速度取 t0 的极限，得v(t)= ，tfftlimli称 v(t)为时刻 t 的瞬时速。研究类似的例子实例 2 曲线的切线设方程为 y=f(x)曲线为 L其上一点 A 的坐标为( x0,f(x0)在曲线上点 A 附近另取一点 B，它的坐标是

8、( x0+x, f(x0+x)直线 AB 是曲线的割线，它的倾斜角记作 由图中的 RtACB，可知割线 AB 的斜率 严谨 规范 求真 铸魂tan= xffyACB00在数量上，它表示当自变量从 x 变到 x+x 时函数 f(x)关于变量 x 的平均变化率(增长率或减小率) 现在让点 B 沿着曲线 L 趋向于点 A，此时 x0，过点 A 的割线 AB 如果也能趋向于一个极限位置直线 AT，我们就称 L 在点 A 处存在切线 AT记 AT的倾斜角为 ，则 为 的极限，若 90，得切线 AT的斜率为tan= tan= 0limx xffxy)(lili 000在数量上，它表示函数 f(x)在 x

9、处的变化率上述两个实例，虽然表达问题的函数形式 y=f(x)和自变量 x 具体内容不同，但本质都是要求函数 y 关于自变量 x 在某一点 x 处的变化率 1. 自变量 x 作微小变化 x，求出函数在自变量这个段内的平均变化率 = ，作为yx点 x 处变化率的近似；2. 对 求 x0 的极限 ，若它存在，这个极限即为点 x 处变化率的的精确yyx0lim值二、导数的定义1. 函数在一点处可导的概念定义 设函数 y=f(x)在 x0 的某个邻域内有定义对应于自变量 x 在 x0 处有改变量x，函数 y=f(x)相应的改变量为 y=f(x0+x)-f(x0)，若这两个改变量的比0当 x0 时存在极限

10、，我们就称函数 y=f(x)在点 x0 处可导，并把这一极限称为函数 y=f(x)在点 x0 处的导数(或变化率)，记作 或 f(x0)或 或 即0| 0xdy0)(xf=f(x0)= (2-1)|y xlimli 比值 表示函数 y=f(x)在 x0 到 x0+x 之间的平均变化率，导数 则表示了函数 0|xy在点 x0 处的变化率，它反映了函数 y=f(x)在点 x0 处的变化的快慢如果当 x0 时 的极限不存在，我们就称函数 y=f(x)在点 x0 处不可导或导数不存在在定义中，若设 x=x0+x，则(2-1) 可写成f(x0)= (2-2)00limf根据导数的定义，求函数 y=f(x

11、)在点 x0 处的导数的步骤如下：第一步 求函数的改变量 y=f(x0+x)-f(x0)； f(x0+x)xyOABx0 x0+xf(x0)TC严谨 规范 求真 铸魂第二步 求比值 ；xffy)(00第三步 求极限 f(x0)= lim例 1 求 y=f(x)=x2 在点 x=2 处的导数解 y=f(2+x)-f(2)=(2+x)2-22=4x+(x)2；=4+x； = (4+x)=44y0li0li所以 y|x=2=4当 存在时，称其极限值为函数 y=f(x)在点 x0 处的左导数，记作ff00lim；当 存在时，称其极限值为函数 y=f(x)在点 x0 处的右导数，)(0fxx0记作 据极

12、限与左、右极限之间的关系f(x0) 存在 , ，且 = = f(x0)(0xf0)(0xf2. 导函数的概念如果函数 y=f(x)在开区间( a,b)内每一点处都可导，就称函数 y=f(x)在开区间( a,b)内可导这时，对开区间( a,b)内每一个确定的值 x0 都有对应着一个确定的导数 f(x0)，这样就在开区间( a,b)内，构成一个新的函数，我们把这一新的函数称为 f(x)的导函数，记作等 f(x)或y等根据导数定义，就可得出导函数f(x)=y= (2-3)xffx00limli导函数也简称为导数注意 （） f(x)是 x 的函数，而 f(x0)是一个数值（） f(x)在点处的导数 f

13、(x0)就是导函数 f(x)在点 x0 处的函数值 例 2 求 y=C (C 为常数)的导数解 因为 y=C-C=0， =0，所以 y= =00lix即 (C)=0 常数的导数恒等于零） 例 3 求 y=xn(nN, xR)的导数解 因为 y=(x+x)n-xn=nxn-1x+ xn-2(x)2+.+(x)n，2= nxn-1 + xn-2x+.+(x)n-1，2从而有 y= = nxn-1 + xn-2x+.+(x)n-1= nxn-10limx0li2C即 (xn)=nxn-1可以证明，一般的幂函数 y=x, (R, x0)的导数为(x)= x-1严谨 规范 求真 铸魂例如 ( )=( )

14、= ；( )=(x-1)=-x-2=- x2121 21例 4 求 y=sinx, (xR)的导数解 = ，在1-7 中已经求得sinsi=cosx，0limx即 (sinx)=cosx用类似的方法可以求得 y=cosx, (xR)的导数为(cosx)=-sinx例 5 求 y=logax 的导数( a0, a1, x0)解 对 a=e、 y=lnx 的情况，在1-7 中已经求得为(lnx)= 1对一般的 a，只要先用换底公式得 y=logax= ，以下与 1-7 完全相同推导，可得ln(logax)= ln三、导数的几何意义方程为 y=f(x)的曲线，在点 A(x0,f(x0)处存在非垂直切

15、线 AT 的充分必要条件是 f(x)在x0 存在导数 f(x0)，且 AT 的斜率 k=f(x0)导数的几何意义函数 y=f(x)在 x0 处的导数 f(x0)，是函数图象在点( x0,f(x0)处切线的斜率，另一方面也可立即得到切线的方程为y-f(x0)=f(x0)(x-x0) (2-4)过切点 A (x0,f(x0)且垂直于切线的直线，称为曲线 y=f(x)在点 A (x0,f(x0)处的法线，则当切线非水平(即 f(x0)0)时的法线方程为y-f(x0)=- (x-x0) (2-5)1例 6 求曲线 y=sinx 在点( , )处的切线和法线方程62解 （sin x） =cosx = 6

16、63所求的切线和法线方程为 y = (x )，16法线方程 y = (x )23例 7 求曲线 y=lnx 平行于直线 y=2x 的切线方程解 设切点为 A(x0, y0)，则曲线在点 A 处的切线的斜率为 y(x0)，y(x0)=(lnx) = ，1因为切线平行于直线 y=2x， ，所以 =2，即 x0= ；又切点位于曲线上，因而 y0=ln =-02121ln2故所求的切线方程为严谨 规范 求真 铸魂y+ln2=2(x- )，即 y=2x-1-ln221四、可导和连续的关系如果函数 y=f(x)在点 x0 处可导，则存在极限=f(x0)，则 =f(x0)+ ( =0)，或 y= f(x0)

17、 x+x ( =0)，0lim0lim 0lim所以 y= f(x0) x+x=0xli这表明函数 y=f(x)在点 x0 处连续但 y=f(x)在点 x0 处连续，在 x0 处不一定是可导的例如：（） y=|x|在 x=0 处都连续但却不可导（） y= 在 x=0 处都连续但却不可导注意在点 (0,0)处还存在切线，只是切线是3垂直的学生思考：设函数 f(x)= ，讨论函数 f(x)在 x=0 处的连续性和可导性0 ,12小结：明确导数就是函数相对于自变量的变化率。作业：见首页xyOy=|x|1xyOy=3-1-11严谨 规范 求真 铸魂42 换元积分法教学过程复习引入1 不定积分的概念；

18、2 不定积分的基本公式和性质。新课：一、第一类换元积分法例如： ，积分基本公式中只有： =sinx+C为了应用这个公式，可进xdcosdcos行如下变换：sinu+C )2(1cs2xd 21cosdsin2x+C,1因为( sin2x+C)=cos2x，所以 = sin2x+C 是正确的2cos2定理 1 设 f(u)具有原函数 F(u)， (x)是连续函数，那么=F(x)+Cd证明思路 因为 F(u)是 f(u)的一个原函数，所以 F(u)=f(u)； 由复合函数的微分法得：d F(x)=F(u)(x)dx=f(x)(x)dx，所以 =F(x)+Cf基本思想：作变量代换 u=(x), (d

19、(x)= (x)dx)，变原积分为 ，利用已知duf)(f(u)的原函数是 F(u)得到积分，称为第一类换元积分法例 1 求 , (a,b 为常数)10解 因为 dx= d(ax+b)，所以a+C)()(1010xdx 110uad (ax+b)11+C例 2 求 xln解 因为 dx=d(lnx)，所以1令 2x=u u=2x 回代u=ax+b 回代令 ax+b=u严谨 规范 求真 铸魂原式= u2+C (lnx)2+C)(lnxd1d1例 3 求 e2解 因为 xdx= d(x2)，所以1原式= = eu+C +C221d21xe例 4 求 xa2解 因为 xdx= d(x2)= d(a2

20、-x2)，所以1原式= = +C2 21du +Cxa学生思考： 求 d2cos1in第一类换元积分法计算的关键：把被积表达式凑成两部分，一部分为 d(x)，另一部分为 (x)的函数 f(x)，且 f(u)的原函数易于求得因此，第一类换元积分法又形象化地被称为凑微分法常用微分式：dx= d(ax)； xdx= d(x2)； a11dx=d(ln|x|)； dx=2d( )； dx= d( )； dx=d(arctanx)；2 21xdx=d(arcsinx)； e xdx=d(ex)；1xsinxdx= d(cosx)； cos xdx=d(sinx)；sec2xdx=d(tanx)； csc 2xdx=-d(cotx)；secxtanxdx=d(secx)； csc xcotxdx= d(cscx)例 6 求 1cos2解 原式= Cxin)(例 7 求 , (a0)d21令 lnx=u u=lnx 回代令 x2=u u=x2 回代令 a2-x2=ua2-x2=u 回代