1、习题 1313-3如习题 13-3 图所示，把一块原来不带电的金属板 B 移近一块已带有正电荷 Q 的金属板 A，平行放置。设两板面积都是 S，板间距为 d，忽略边缘效应，求：(1) 板 B 不接地时，两板间的电势差。(2)板 B 接地时，两板间的电势差。解 (1)两带电平板导体相向面上电量大小相等符号相反，而相背面上电量大小相等符号相同，因此当板 B 不接地，电荷分布为因而板间电场 强度为 SQE02电势差为 SQdEU0AB2(2) 板 B 接地时，在 B 板上感应出负电荷，电荷分布为故板间电场强度为 S0电势差为 QdEU0ABBA-Q/2/Q/2 AB-Q0013-4 两块靠近的平行金
2、属板间原为真空。使两板分别带上面电荷密度为 0 的等量异号电荷，这时两板间电压为 U0=300V。保持两板上电量不变，将板间空间一半如图习题 13-4图所示充以相对电容率为 r=5 的电介质，试求（1） 金属板间有电介质部分和无电介质部分的 E,D 和板上的自由电荷密度；（2） 金属板间电压变为多少？电介质上下表面束缚电荷面密度多大？13-5如习题 13-5 图所示，三个无限长的同轴导体圆柱面 A、B 和 C，半径分别为RA、R B、R C。圆柱面 B 上带电荷，A 和 C 都接地。求 B的内表面上线电荷密度 1 和外表面上线电荷密度 2 之比值1/2。解 由 A、C 接地 BCAU由高斯定理
3、知 rE01I2rE02IAB0101IBAlnddABRrURRrIBC0202IBC lnddCBRrURRrEB02A01lnln2因此 AC21l:R13-6如习题 13-6 图所示，一厚度为 d 的无限大均匀带电导体板，单位面积上两表面带电量之和为。试求离左表面的距离为 a 的点与离右表面的距离为 b 的点之间的电势差。解 导体板内场强 ，由高斯定理可得板外场强0内E为 02故 A、B 两点间电势差为 abxxxUbdadaa 000 22d lE13-7为了测量电介质材料的相对电容率，将一块厚为 1.5cm 的平板材料慢慢地插进一电容器的距离为 2.0cm 的两平行板中间。在插入过
4、程中，电容器的电荷保持不变。插入之后，两板间的电势差减小到原来的 60，求电介质的相对电容率。解 设两平行板间距离为 d，介质板厚度为 ，插入前电容器电势差为 U，插入后为d，电容器上面电荷密度为U 插入介质板前电容器内场强 ，电势差0E0EU插入介质板后，电容器内空气中场强仍为 E，介质内场强 r0两板间的电势差 r00ddEU已知 ，因此有.60r00. d解此方程得 BA1.204.51.0r d13-8半径都是 R 的两根无限长均匀带电直导线，其线电荷密度分别为 和 ，两直导线平行放置，相距为 d(dR)。试求该导体组单位长度的电容。解 可用叠加原理及高斯定理计算两导线间垂直连线上任意
5、点 P 的场强。如图所示，过 P 分别做两个长为 L，与两条直导线共轴的闭合圆柱面作为高斯面。根据高斯定理分别计算每条线上电荷产生的场强。 llrLE0011 1d2dS所以 r01同理 rdE02根据叠加原理，P 点总场强为 rd1201两条线间电压为 RdrdrURdRd ln1200lE故单位长度电容 RdCln013-9一电容器由两个很长的同轴薄圆筒组成，内、外圆筒半径分别为 R1=2cm，R 2 =5cm，其间充满相对电容率为 r 的各向同性均匀电介质，电容器接在 U=32V 的电源上( 如习题 13-9 图所示)。试求距离轴线 R=3.5cm 的点 A 处的电场强度和点 A 与外筒
6、间的电势差。解 由 QSDdLr2因此 r2rE012r0lnd321 RURRrPdR因此 12r0lnRU所以 1-12r012r0r0A m98lnlnVRUE-m98VrAe=12.5 V22dRREU13-10置于球心的点电荷+Q 被两同心球壳所包围，大球壳为导体，小球壳为电介质，相对电容率为 r，球壳的尺寸如习题 13-10 图所示。试求以下各量与场点矢径 r 的关系：(1)电位移 D；(2)电电场强度度 E； (3)极化强度 P；(4) 束缚电荷激发的电电场强度度 E；(5)面电荷密度；(6) 电能密度 e。解 (1) 由有介质的高斯定理 QSDd1rcrQ042内e(2) 由静
7、电场的性能方程 得EDr0drcbarQc0420reE内(3) 由 得P1rbraQ内042re(4) 在电介质内 E0所以 re 14r20Q在其它位置 (5) 由束缚电荷 ，在电介质中212nP2r2a4aQ2r1bbP在导体中，自由电荷 nD2c4QDd(6) 由 得Ew21drcbarQdrc03240e内内13-11一电容为 C 的空气平行板电容器，接端电压为 U 的电源充电后随即断开。试求把两个极板间距增大至 n 倍时外力所作的功。解 断开电源后 Q 不变，电容由原来的 ，变为dSC0ndS0外力所做的功即相当于系统静电能的改变量 21CUW由于 Q 不变， ，所以nnU因此 2
8、112 CW即外力做功 12nCUA13-12球形电容器由半径为 R1 的导体球和与它同心的导体球壳构成，壳的内半径为R2，其间充有两层均匀电介质，分界面的半径为 r，内外层电介质的相对电容率分别为 r1和 r2。已知内球带电量为-Q，试求：(1) 各介质表面上的束缚面荷密度；(2)电容器的静电面aP2n212面bP1n212能和电场总能量。解 (1) r 1R24rQD2r1014QEr 224r2r02E时，1R21r21r0r10r101212 41 RQEP n时，r 2rr101212r EP 2r12r02r10 444Q时，2Rr2202020212 4411REPrrrr n(2) DEw2rQrQVWRrRe d4162d4162d1 2r202r102 RrQ 21rr02r201r02 888
