1、 反比例函数一、基础知识1. 定义：一般地，形如 （ 为常数， ）的函数称为反比例函数。xkyok还可以写成xky12. 反比例函数解析式的特征：等号左边是函数 ，等号右边是一个分式。分子是不为零的常数 （也叫y k做比例系数 ） ，分母中含有自变量 ，且指数为 1.kx比例系数 0自变量 的取值为一切非零实数。x函数 的取值是一切非零实数。y3. 反比例函数的图像图像的画法：描点法 列表（应以 O 为中心，沿 O 的两边分别取三对或以上互为相反的数） 描点（有小到大的顺序） 连线（从左到右光滑的曲线）反比例函数的图像是双曲线， （ 为常数， ）中自变量 ，xky0k0x函数值 ，所以双曲线是
2、不经过原点，断开的两个分支，延伸部分逐0y渐靠近坐标轴，但是永远不与坐标轴相交。反比例函数的图像是是轴对称图形（对称轴是 或 ） 。xy反比例函数 （ ）中比例系数 的几何意义是：过双曲线 xkykxky（ ）上任意引 轴 轴的垂线，所得矩形面积为 。0k k4反比例函数性质如下表：的取值 图像所在象限 函数的增减性ok一、三象限 在每个象限内， 值随 的增大而减小yx二、四象限 在每个象限内， 值随 的增大而增大5. 反比例函数解析式的确定：利用待定系数法（只需一对对应值或图像上一个点的坐标即可求出 ）k6 “反比例关系”与“反比例函数”：成反比例的关系式不一定是反比例函数,但是反比例函数
3、中的两个变量必成反比例关系。xy7. 反比例函数的应用二、例题【例 1】如果函数 的图像是双曲线，且在第二，四象限内，那么的2kxy值是多少？【解析】有函数图像为双曲线则此函数为反比例函数 ， （ ）即xky0kxy（ ）又在第二，四象限内，则 可以求出的值10k 0k【答案】由反比例函数的定义，得：解得1221k或k时函数 为2kxyxy【例 2】在反比例函数 的图像上有三点 ， ， ， ， ， 11xy2xy3xy。若 则下列各式正确的是（ ）3210xxA B C D 3y12y321y231y【解析】可直接以数的角度比较大小，也可用图像法，还可取特殊值法。解法一：由题意得 ， ，1x2
4、x3x， 所以选 A3210xy解法二：用图像法，在直角坐标系中作出 的图像xy1描出三个点，满足 观察图像直接得到 选 A3210xx 213y解法三：用特殊值法 213321321321 ,0 yyx 令【例 3】如果一次函数 相交于点的 图 像与 反 比 例 函 数 xmnmnxy0（ ） ，那么该直线与双曲线的另一个交点为（ ）2，【解析】 123213 nmnxnynmxy 解 得，相 交 于与 双 曲 线直 线oyxyxoyxoyxoA B C D21 121,12yx xyxyxy得 解 方 程 组双 曲 线 为直 线 为 1，另 一 个 点 为【例 4】 如图，在 中，点 是直
5、线 与双曲线 在第一象AOBRtmxyxy限的交点，且 ，则 的值是_.2Sm图解:因为直线 与双曲线 过点 ,设 点的坐标为 .mxyxyAAyx,则有 .所以 .AA,又点 在第一象限,所以 .AAyBxO,所以 .而已知 .myBSAAOB2121 2OBS所以 .4m三、练习题1.反比例函数 的图像位于（ ）xyA第一、二象限 B第一、三象限 C第二、三象限 D第二、四象限2.若 与 成反比例， 与 成正比例，则 是 的（ ）yzyzA、正比例函数 B、反比例函数 C、一次函数 D、不能确定3.如果矩形的面积为 6cm2，那么它的长 cm 与宽 cm 之间的函数图象大致为（ x）4.某
6、气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压 P ( kPa ) 是气体体积 V ( m3 ) 的反比例函数，其图象如图所示当气球内气压大于 120 kPa 时，气球将爆炸为了安全起见，气球的体积应（ ）A、不小于 m3 B、小于 m3 C、不小于 m3 D、小于 m3545445455如图 ，A、C 是函数 的图象上的任意两点，过 A 作xy1轴的垂线，垂足为 B，过 C 作 y 轴的垂线，垂足为 D，记xRtAOB 的面积为 S1，RtCOD 的面积为 S2则 （ ）A S1 S 2 B S 1 0 D. =1k21k21k21k24. 反比例函数 y 的图象过点 P（1.5，2） ，则 k_kx5. 点 P（2 m3，1）在反比例函数 y 的图象上，则 m_1x6. 已知反比例函数的图象经过点（ m，2）和（2，3）则 m 的值为_7. 已知反比例函数 的图象上两点 ，当 时，xy221,yxBA210x有 ，则 的取值范围是？21y8.已知 y 与 x-1 成反比例，并且 x-2 时 y7，求：(1)求 y 和 x 之间的函数关系式； (2)当 x=8 时，求 y 的值； (3)y-2 时，x 的值。9. 已知 ,且反比例函数 的图象在每个象限内， 随 的增大而增3bxby1yx大,如果点 在双曲线上 ，求 a 是多少？a
