高考数学二轮复习第四讲导数及其应用文.doc

1、1第四讲 导数及其应用（文）高考在考什么【考题回放】1已知对任意实数 x，有 ()()(ffxgx， ，且 0时，()0()fxg，则 0时（ B ）A x， B ()0()fx，C ()()f， D g，2曲线31yx在点41，处的切线与坐标轴围成的三角形面积为（ A ） 92 323若曲线4yx的一条切线 l与直线 480xy垂直，则 l的方程为 AA 30 B 5xyC 4xy D 34函数 9)(23xaf，已知 )(xf在 时取得极值，则 a=（B ）A.2 B.3 C.4 D.55已知函数3()18fx在区间 3,上的最大值与最小值分别为 ,Mm，则Mm 326已知函数 ()yfx

2、的图象在点 (1)Mf， 处的切线方程是12yx，则(1)f37设 a 为实数,函数 .)(23axxf()求 f(x)的极值.()当 a 在什么范围内取值时 ,曲线 y= f(x)轴仅有一个交点 .解：(I) ()fx=3 22 1若 ()f=0，则 = 3， x=12当 x变化时， ()fx， f变化情况如下表：(，13) (13，1)1 (1，+ )fx+ 0 0 +(A极大值 A极小值 Af(x)的极大值是15()327fa，极小值是 (1)fa(II)函数22()()fxxx由此可知，取足够大的正数时，有 f(x)0，取足够小的负数时有 f(x)0 即 (1，+)时，它的极大值也大于

3、 0，因此曲线 y= f(x)与 x轴仅有一个交点，它在(，13)上。当5,)27a(1，+)时，曲线 y= f(x)与 x 轴仅有一个交点高考要考什么导数的几何意义：函数 ()yfx在点 0处的导数 0()fx，就是曲线 ()yfx在点 0(,)Py处的切线的斜率；（2）函数 ()st在点 0处的导数 0()St，就是物体的运动方程 ()st在时刻 0t时的瞬时速度；2求函数单调区间的步骤：1） 、确定 f(x)的定义域，2） 、求导数 y，3） 、令y0(y0 时，f(x)在相应区间上是增函数；当 y0时，f(x) 在相应区间上是减函数3求极值常按如下步骤： 确定函数的定义域； 求导数；

4、求方程/=0 的根及导数不存在的点，这些根或点也称为可能极值点；通过列表法, 检查在可能极值点的左右两侧的符号，确定极值点。4设函数 f(x)在a,b上连续,在（a,b）内可导，求 f(x)在a,b上的最大（小）值的步骤如下：3(1)求 f(x)在(a,b)内的极值，(2)将 f(x)的各极值与 f(a),f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值。5最值（或极值）点必在下列各种点之中：导数等于零的点、导数不存在的点、端点。 突 破 重 难 点【范例 1】已知函数 xbaxf3)(23在 1处取得极值.（1）讨论 和 1是函数 f(x)的极大值还是极小值；（2）过点 )6,0(A

5、作曲线 y= f(x)的切线，求此切线方程.（1）解： 32bxaxf，依题意， 0)1()ff，即.032,ba解得 ,1. )1(3)(,3)(2xxfxf.令 )(xf，得 1,.若 )(,，则 0)(xf，故f(x)在 )1(上是增函数，f(x)在 ,上是增函数.若 )(x，则 0)(xf，故 f(x)在 )1,(上是减函数.所以， 21f是极大值； 2)f是极小值.（2）解：曲线方程为 xy3，点 )6,0(A不在曲线上.设切点为 ),(0xM，则点 M 的坐标满足 03xy.因 13)20f，故切线的方程为 )(120注意到点 A（0，16）在切线上，有 )0()(1623xx化简

6、得 830x，解得 20x.所以，切点为 ,(，切线方程为 169y.【点晴】过已知点求切线，当点不在曲线上时，求切点的坐标成了解题的关键.【范例 2】(安徽文)设函数 f（x）=-cos2x-4tsin 2xcos +4t2+t2-3t+4,xR,其中 t1，将 f(x)的最小值记为 g(t).4()求 g(t)的表达式；()诗论 g(t)在区间（-1,1）内的单调性并求极值.解：（I）我们有 232cos4incos44xfxttti1223sixttt3(in)4由于2s0xt， 1t ，故当 sinxt时， ()fx达到其最小值 ()gt，即3()4gt（II）我们有2()3()21g

7、ttt，列表如下：t12， 12， 12，()gt00tA极大值12gA极小值12gA由此可见， ()gt在区间，和，单调增加，在区间，单调减小，极小值为12，极大值为42【点晴】本小题主要考查同角三角函数的基本关系，倍角的正弦公式，正弦函数的值域，多项式函数的导数，函数的单调性，考查应用导数分析解决多项式函数的单调区间，极值与最值等问题的综合能力【范例 2】已知函数321()fxaxb在区间 1)， ， (3， 内各有一个极值点 （I）求 4ab的最大值；（ II）当 248时，设函数 )yfx在点(1)Af，处的切线为 l，若 在点 A处穿过函数 ()yfx的图象（即动点在点 A附近沿曲线

8、 yx运动，经过点 时，从 l的一侧进入另一侧） ，求函数 ()fx的表达式5解：（I）因为函数321()fxaxb在区间 1)， ， (3， 内分别有一个极值点，所以2()fxab0在 )， ， (， 内分别有一个实根，设两实根为 12， （ 12x） ，则2214xab，且 2104x 于是204ab， 046ab ，且当 ， 3，即 a， 3b时等号成立故 的最大值是 16（II）解法一：由 (1)f知 ()fx在点 1()f， 处的切线 l的方程是(1)yfx，即23yaba，因为切线 l在点 ()Af， 处空过 ()fx的图象，所以21()13gxfaba在 两边附近的函数值异号，则

9、1不是 的极值点而 ()gx3221(1)3axbaxa，且2 2()xa 若 1a，则 1x和 a都是 )gx的极值点所以 ，即 2，又由 248b，得 1，故321()fxx解法二：同解法一得2()(1)3gxfaxa213()12)3ax因为切线 l在点 ()Af， 处穿过 (yfx的图象，所以 ()gx在 1两边附近的函数值异号，于是存在 12m， （ 12） 当 1x时， ()0gx，当 xm时， ()0x；或当 时， ，当 2时， g6设23()12ahxx，则当 1m时， ()0h，当 21m时， ()0hx；或当 x时， x，当 时， 由 (1)0h知 是 ()h的一个极值点，

10、则3(1)20ah，所以 2a，又由 248ab，得 ，故32()fxx变式：设函数32()fxxc在 1及 时取得极值（）求 a、b 的值；（）若对于任意的 03x， ，都有2()fxc成立，求 c 的取值范围解：（）2()63fxaxb，因为函数 ()f在 1及 取得极值，则有(1)0f， 即6324ab， 解得 ， （）由（）可知，32()918fxxc，2()6186)fx当 0， 时， ()0fx；当 (2)x， 时， ；当 3， 时， ()fx所以，当 1时， 取得极大值 (1)58fc，又 (0)8fc， (3)98fc则当 0x， 时， ()fx的最大值为 39因为对于任意的 3， ，有2()fc恒成立，所以 298c，7解得 1c或 9，因此 的取值范围为 (1)()， ，