1、1华 东 理 工 大 学复 变 函 数 与 积 分 变 换 作 业 （第 1 册）班级_学号_姓名_任课教师_第一次作业教学内容：1.1 复数及其运算 1.2 平面点集的一般概念1填空题：（1） 35arctn2,34,25,23ki(2) arctn,10,3,1ki（3） )(2i(4) 。13,yx2将下列复数化成三角表示式和指数表示式。(1) ;i解： 32)sin3(co2)1(23 ieii (2) 0sinco1解： )2(sin)2sin()2cos(i2i ie2(3) . 32)sin(co5解： 19032532)/()i( iiii ee19snco3求复数 的实部与虚
2、部z解： 2|1|)()(1zzw222 |Im|(iz所以， ，2|1|Rezw2|1|IIzw4. 求方程 的所有的根.083z解： .2,1,2)()1(31kei即原方程有如下三个解： 3,ii5. 若 且 ，证明：以 为顶点的三角形是正三角形.321zz021z321,z证明：记 ，则a| 23232321 |(| zzzz 得 ，同样，32|1|)|21| azz所以 .| 132z6. 设 是两个复数，试证明.2,1z3+ .21z 21z21()z并说明此等式的几何意义.证明： 左式=( )( )+( )( )21z212121=( )( )+( )( )zz= 2121212
3、12121 zzz =2( )=2( )zz7求下列各式的值:(1) ;5)3(i解： =5i 6556532)()23( iiei= ii 1)sn()cos(2) ；31)(i解: i .2,10,2)()2( 3)4(631431 keei ii 可知 的 3 个值分别是1)(i；)12sinco266 ei )7i(6276i )45sin(co6456 ei（3）求 61解： = 可知 的 6 个值分别是.5,421,0)(6/)21(62keiki 61423,1,23656 ieiieii ,412367 iiiiii(4)10 1010105 501+i-i=cos+in2co
4、s-in44 2 5-8化简 2)(ni解：原式 1221ninneii9. 设 ，其中 均为实数，证明：baiyxyx,12解：先求出 的 表达式，因为 ba,yxbiayxiiiyx 222i） （ ）（比较系数得 byxayx22,于是 1)()(22yxb10. 设 是 1 的 n 次根，且 ，证明： 满足方程：012zz解：因 ，即 故nn1)(-12）5由于 ，故 ，即10(12）n 012nzz第二次作业教学内容：1.2 平面点集的一般概念 1.3 复变函数 1. 填空题(1)连接点 与 的直线断的参数方程为i1i4 10)52(1tiiz(2)以原点为中心，焦点在实轴上，长轴为
5、 ，短轴为 的椭圆的参数方程为ab20sincotbtaz2指出下列各题中点 z 的轨迹，并作图.(1) ;1i中心在 半径为 1 的圆周及其外部。(2） .)2Re(z直线 3x(3) 41以-3 与-1 为焦点，长轴为 4 的椭圆(4) )arg(iz以 为起点的射线 1xy(5) 123z直线 及其右半平面5x3指出下列不等式所确定的区域或闭区域，并指出是有界区域还是无界区域，多连通还是单连通的。(1) ;1za解： z2)1()(zaz0122a6时，表示单位圆的内部，有界单连通域。1a时，表示单位圆的外部，无界单连通域， 不表示任何区域。 1a(2) 4)2()(ziiz圆 及其内部
6、区域，有界，单连通区域。91yx(3) 41z中心在 ，半径为 的圆外部区域，无界，多连通5718(4) 且2)arg(6iz.z解： yxxy2tanxyiz2arctn)arg(2arctn6,0r, xyyx 3xy且有 以 为顶点，两边分别与正实轴成角度 与4222z i 6的角形域内部，且以原点为圆心，半径为 的圆外部分，无界单连通区域。4设 t 是实参数，指出下列曲线表示什么图形(1) ;iz;1,1xytyxtiiyx即 为 双 曲 线(2) 。ititbeaz，为椭圆。1)()(22yx5已知函 数 ，求以下曲线的像曲线.zw(1) ;42yx7解： ,1 2222 yxvyx
7、uyxiiyxzw ，是 平面上一圆周。41)(222 vu w(2) ；1x解：由 知 从而, ,1,22yvuyvu221此为 ，是平面上一圆周。2)()(u（3） ；xy，则， ，像曲线为 。iiw21)(xvu21,vu6. 讨论下列函数的连续性：（1） z解：设 为复平面上任一点，因为0 00limzz函数 在平面上处处连续。zw（2） 0,)(2zyxf解：当 沿实轴趋向于零时， x，有zlim)(li00fxz当 沿某一直线趋向于零时 tan1tanli)(lim2200 zzf故 在 处不连续。7. 下列函数在何处可导？求出其导数。（1） nz)(解：对任意的 ，有810102010 )(limli00 nnnnznz zz即由复合函数求导法则，得1)()1(nnzz（2） 2解；由于 在全平面处处可导， 在全平面处处不可导，故 在 处处不可导。zz2z0在 ，由定义可得00limli)(20 zzfz知 除在 可导外，在复平面上不可导。2z
