高等数学练习题附答案.doc

1、 1高等数学专业 年级 学号 姓名 一、判断题. 将或填入相应的括号内.（每题 2 分，共 20 分）（ ）1. 收敛的数列必有界.（ ）2. 无穷大量与有界量之积是无穷大量.（ ）3. 闭区间上的间断函数必无界.（ ）4. 单调函数的导函数也是单调函数.（ ）5. 若 在 点可导，则 也在 点可导.)(xf0)(xf0（ ）6. 若连续函数 在 点不可导，则曲线 在 点没有fy0 )(xfy)(,0f切线.（ ）7. 若 在 上可积，则 在 上连续.)(xfba,)(xfba,（ ） 8. 若 在（ ）处的两个一阶偏导数存在，则函数 在yz0, ),(yxfz（ ）处可微.0,yx（ ）9.

2、 微分方程的含有任意常数的解是该微分方程的通解.（ ）10. 设偶函数 在区间 内具有二阶导数，且 , 则)(xf)1,( 1)0(ff为 的一个极小值.)0(fxf二、填空题.（每题 2 分，共 20 分）1. 设 ，则 .)1(f)1(xf2. 若 ，则 .2)(1xf0limx3. 设单调可微函数 的反函数为 , 则 .)(f)(xg6)3(,2)1(,3fff )(g4. 设 , 则 .yudu5. 曲线 在 点切线的斜率为 .326x)2,(26. 设 为可导函数, ,则 .)(xf )(1)(,)12xffxFf 1(F7. 若 则 .,(2)(0dtf 28. 在0,4 上的最大

3、值为 .xf)(9. 广义积分 .de2010. 设 D 为圆形区域 .dxyyxD521,三、计算题（每题 5 分，共 40 分）1. 计算 .)2()1(lim22nnn2. 求 在（0，+ ）内的导数.13xxxy 3. 求不定积分 .d)1(4. 计算定积分 .x053sini5. 求函数 的极值.224),(yxyf 6. 设平面区域 D 是由 围成，计算 .x, dxyDsin7. 计算由曲线 围成的平面图形在第一象限的面积.yxy3,2,18. 求微分方程 的通解.四、证明题（每题 10 分，共 20 分）1. 证明： .2tanrcsi1xrx)(x2. 设 在闭区间 上连续，

4、且)(f,b,0)f3dtftfxFxb0)(1)()(证明：方程 在区间 内有且仅有一个实根.0)(x,ba高等数学参考答案一、判断题. 将或填入相应的括号内（每题 2 分，共 20 分）1. ；2. ；3.； 4. ；5.； 6. ；7. ；8. ；9. ；10.二、 填空题.（每题 2 分，共 20 分）1. ； 2. 1； 3. 1/2； 4. ； 42x dyxdy)/()/1(25. 2/3 ； 6. 1 ； 7. ； 8. 8 ； 9. 1/2 ； 10. 0.36三、计算题（每题 5 分，共 40 分）1.解：因为 2()n2211()()nn 且 ， =0 lim0nli由迫

5、敛性定理知： =0 )2(1)(122n2.解：先求对数 0lll xxxy11)(0)(xy )02xx3.解：原式= d12= x2)(=2 carsin44.解：原式= dx023cosin= 202i223sincxd= 203sinixd23sii= 205si25si=4/5 5.解： 832yxfx 02yxfy故 或 0当 时 ， ，yx8),(xf 2)0,(yf 2)0,(xyf且 A=2)(8（0，0）为极大值点 且 0),(f当 时 ， ， 2yx4),(xf 2,y 2),(xyf无法判断 0)(426.解：D= yxyx,10),(= 02sinsinyDdddyx

6、2si10= )i(i105= 10coscosydy= 10d= 1sin7.解：令 ， ；则 ， xyuv2u3vvuvyxJvu 2123ln113DddA8.解：令 ，知 uy2x4)(由微分公式知： )22cdexd)4(xe22cex四.证明题（每题 10 分，共 20 分）1.解：设 21arsinrt)( xxf=0 22211)( xxxf cf)( 令 即：原式成立。 0x00c2.解： 上连续,)(baxF在6且 0dtfaFb)(1)( dtfbFa)()(故方程 在 上至少有一个实根. 0x,又 )()(xff 0)(f2F即 在区间 上单调递增 )(x,ba在区间

7、上有且仅有一个实根. F高等数学专业 学号 姓名 一、判断题（对的打，错的打；每题 分，共 分）2101. 在点 处有定义是 在点 处连续的必要条件.)(xf0)(xf02. 若 在点 不可导，则曲线 在 处一定没有切线.fy)(xfy)(,0xf3. 若 在 上可积， 在 上不可积，则 在 上必不可)(x,ba)(xg,bag,ba积.4. 方程 和 在空间直角坐标系中分别表示三个坐标轴和一个点.0yz022zy5. 设 是一阶线性非齐次微分方程的一个特解， 是其所对应的齐次方程的通解，则* y为一阶线性微分方程的通解.y二、填空题（每题 分，共 分）201. 设 则 .,5)(,1)3(a

8、fxf2. 设 ，当 时， 在点 连续.arcsinl)(xf03. 设 ，则 .xttxf2)1(lm)()(f74. 已知 在 处可导，且 ，则 . )(xfaAaf)( haffh )3()2(lim05. 若 ，并且 ，则 .2)(cos)(2xfdf 1)(f)(xf6. 若 在点 左连续，且 ，,gxb)(,gbg)bxa则 与 大小比较为 )(f )(f).(x7. 若 ，则 ； .2siny2xdydy8. 设 ，则 .xtf2l)()1(f9. 设 ，则 .yxez)1,(z10. 累次积分 化为极坐标下的累次积分为 .dyxfdR)202三、计算题（前 题每题 分，后两题每

9、题 分，共 分）656421. ; 2. 设 ，求 ; 3. ;xtxdt0sin1i)(lm1ln2xeyy dx2sin1co4. ; 5. 设 , 求 .20242yxzyxz2,6. 求由方程 所确定的函数 的微分 .)ln()(yxy)(d7. 设平面区域 是由 围成，计算 . D, yDsin8. 求方程 在初始条件 下的特解. 0)l(lndyxydex1四、 （ 分）7已知 在 处有极值 ，试确定系数 、 ，并求出所有的极baxf23)(12ab大值与极小值.五、应用题（每题 分，共 分）7481. 一艘轮船在航行中的燃料费和它的速度的立方成正比. 已知当速度为 时，)/(10

10、hkm燃料费为每小时 元，而其它与速度无关的费用为每小时 元. 问轮船的速度为多少时, 每696航行 所消耗的费用最小？km12. 过点 向曲线 作切线，求：（1）切线与曲线所围成图形的面积；)0,(2xy（2）图形绕 y轴旋转所得旋转体的体积. 六、证明题（ 分）7设函数 在 上的二阶导数存在，且 , . 证明)(xfa00)(f 0)(xf在 上单调增加 .g)(高等数学参考答案一、判断题 1.； 2.； 3. ； 4. ； 5.二、填空题1. 36 ； 2. ； 3. ； 4. ； 5. ； 32xe2)1(4A5xsin16. ；7. ； 8. ； 9. ； 10.22cos,csxx

11、lndyx2.20)(Rrdfd三、计算题1. 原式 xxxsinco)1(limsi109e12. 2222 )1(1 xxxxx eeey22)(xxexe213原式= dx2)cos(in)cos(ini xCxcosin14设 则 tx2tdcs2原式= 0i22cosin16t200 )4cs1(i4 dttd)sn(2t5 2322)(yxyxyz 3212322 )()( xyxz 10322)(yx6两边同时微分得：)(1)()ln()(2 dyxyxddy 即 lndx故 y)l(3（本题求出导数后，用 解出结果也可）d7 102sinsinyDdxxy)i(iy1010cosscosdy1iny1sin8原方程可化为 yxdyl通解为 1lnln1Cdexlnlnyyl1ld)(ln21lyyCln2代入通解得 eyx11故所求特解为： 0l)(l2yx